第1章 全等三角形（单元测试·拔尖卷）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第1章全等三角形（单元测试·拔尖卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定全等 B．腰对应相等的两个等腰三角形全等C．形状相同的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等2．已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（）A．， B．，C．， D．，3．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝（

）A．49° B．59° C．41° D．51°4．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点F，与延长线交于点E．则四边形的面积是（）

A．4 B．6 C．10 D．165．如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点，，，都在格点上，连接，相交于，那么的大小是（

）A． B． C． D．6．△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BA、BC于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则图中与BC相等的线段有（）A．BD B．CD C．BD和AD D．CD和AD7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D．下列说法错误的是（）A． B．若，则点D到AB的距离为2C．若，则 D．8．如图，长方形中，点为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点恰好落在的中点上，点为的中点，点为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是(

)

A． B． C． D．9．如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为（

）A．1或3 B．1或C．1或或 D．1或或510．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（

）A． B． C． D．4填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为．12．数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是．13．如图，已知，，，直线与，分别交于点，，且，，则的度数为．14．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，连接MN，已知MN＝4，则BD＝．15．如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有．16．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为．17．如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接，；④过点作交于点，连接，则．其中正确的结论有．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，，点E在BC上，且，．(1)求证：；(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．20．（8分）如图，在五边形中，，．(1)请你添加一个条件，使得，并说明理由；(2)在(1)的条件下，若，，求的度数．21．（10分）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：(1)若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．(2)若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由．22．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边三角形ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，证明≌；（2）会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（3）P、Q运动几秒时，是直角三角形？（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数。23．（10分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．（1）连接BD，OE．求证：BD＝OE；（2）连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．24．（12分）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF．（2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．参考答案1．D【分析】根据全等图形的判定和性质对各个选项进行判断即可．解：两个等边三角形边长不一定相等，所以不一定全等，A错误；腰对应相等的两个等腰三角形对应角不一定相等，所以不一定全等，B错误；形状相同的两个三角形对应边不一定相等，所以不一定全等，C错误；全等三角形的面积一定相等，所以D正确，故选D．【点拨】本题考查了全等图形的判定和性质，对应角相等、对应边相等的两个图形确定，全等形的周长和面积相等．2．B【分析】由与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得，，，可得；，可得，由大角对大边可得；利用，可得，即，由上可得正确选项．解：≌，，，，，．，，．．，，即．．，．故选：B．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．3．C【分析】由△ABE≌△BCD（SAS），可求出∠BAE＝∠CBD＝21°，△ABC是等腰三角形，BF是底边AC的高，可以求出∠DBF＝90°﹣（∠CBD＋∠C）.解：在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BAE＝∠CBD，∵∠BAE＝21°，∠C＝28°，∴∠CBD＝21°，∴∠BDF＝∠CBD＋∠C＝21°＋28°＝49°，∵BF⊥AC，∴∠BFD＝90°，∴∠FBD＝90°﹣∠BDF＝90°﹣49°＝41°故选：C.【点拨】本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质，此类题型比较灵活，但围绕的知识点是固定的，解题时注意结合图形寻找已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向.4．D【分析】由四边形为正方形可以得到，，又，而由此可以推出，，进一步得到，所以根据可以证明，所以，那么，据此求解即可．解：四边形为正方形，，，，，，，，，，∴，即：．故选：D．【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的面积等知识点，熟悉相关知识是解题的关键．5．C【分析】取格点，连接，先证明，得出，再证明得出，最后证明是等腰直角三角形，得出，从而得出即可．解：取格点，连接，由已知条件可知：，∴，∴，同理可得：，∴，∴，∴，∵，∴,∴,∴是等腰直角三角形，∴,即，故选：．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，所求角转换成容易求出度数的角，合理的添加辅助线是解决本题的关键．6．C【分析】由基本作图得到BP平分∠ABC，所以∠ABP=∠CBP=36°，则利用等腰三角形的性质得∠C=∠ABC=72°，再利用三角形内角和定理计算出∠A=36°，于是得到AD=BD，然后计算出∠BDC=72°，从而得到∠BDC=∠C，所以BD=BC.解：由画法得BP平分∠ABC，则∠ABP＝∠CBP＝，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝72°，∴∠A＝180°﹣2×72°＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，即BC＝BD＝AD．故选C．【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的判定与性质.7．D【分析】根据角平分线的性质定理即可一一判断；解：如图作DE⊥AB于E．由作图可知，DA平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAB，故A正确，∵DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，故B正确，若∠B=30°，则∠CAB=60°，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=60°，∴∠CDA=∠CAB，故C正确，无法判断BD=2CD，故D错误，故选D．【点拨】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识8．D【分析】取的中点，连接、，可得所以当、、三点共线时，的值最小．解：取的中点，连接、，

四边形是长方形，是的中点，四边形是长方形，；由折叠可知：，是的中点，是的中点，，在和中，，，，,当、、三点共线时，的值最小，最小值为：故选：D．【点拨】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解决问题的关键是作辅助线，利用两边之和大于第三边解决问题．9．C【分析】分三种情况讨论，①当点P在AC上，点Q在CE上时，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，由全等三角形的判定和性质可求解．解：当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5−2t＝6−3t，∴t＝1，当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5−2t＝3t−6，∴t＝，当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴2t−5＝18−3t，∴t＝综上所述：t的值为1或或或故选：C．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．10．B【分析】证明得出，证明得出，进而即可求解．解：如图，在上截取，连接平分，平分，，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，周长为，，，，．故选：B．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．11．6【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边.解：把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6.【点拨】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单.12．SSS【分析】根据SSS证明三角形全等即可解答．解：在和△中，，．故答案为：．【点拨】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，读懂图形信息得到证明三角形全等的条件是解题的关键．13．【分析】根据SSS得到，进而得到，，再结合对顶角相等，可得，最后再利用角的和差即可求解．解：∵，，，，，，与是对顶角，∴，∴，∴，∴，故答案为：10°．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，对顶角的性质、角的和差计算等内容，识别出与这一组对顶角，得到的度数是解题的关键．14．2【分析】延长BD到E，使DE=BD，连接AE，证明△ADE≌△CDB（SAS），可得AE=CB，∠EAD=∠BCD，再根据△ABM和△BCN是等腰直角三角形，证明△MBN≌△BAE，可得MN=BE，进而可得BD与MN的数量关系即可求解．解：如图，延长BD到E，使DE=BD，连接AE，∵点D是AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=CB，∠EAD=∠BCD，∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，∴AB=BM，CB=NB，∠ABM=∠CBN=90°，∴BN=AE，又∠MBN+∠ABC=360°-90°-90°=180°，∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠MBN=∠BCA+∠BAC=∠EAD+∠BAC=∠BAE，在△MBN和△BAE中，，∴△MBN≌△BAE（SAS），∴MN=BE，∵BE=2BD，∴MN=2BD．又MN=4，∴BD=2，故答案为：2．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．15．3【分析】过点作，垂足为点．证明、，最后利用全等三角形的性质即可解答．解：过点作，垂足为点．∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，且，∴，∴，∵，∴故①错误，在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确，∵∴，∵，∴，故③正确，∵，∴，∴．故④正确．故答案为3．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键．16．【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得，由对应边、对应角相等可得出，进而可求出，则．解：作FH垂直于FE，交AC于点H，∵又∵，∴∵，FA=CF∴∴FH=FE∵∵∴又∵DF=DF∴∴∵∴∵∴∴故答案为：．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题的关键．17．①②③【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断；④无法证明，从而无法证明．解：∵在与中，，∴故①正确；∵∴∵∴∴∴∴故②正确；如图，连接，过点D作，过点D作，∵，∴，∵，，∴∵，，∴是的角平分线∵∴∴故③正确；如图，过点作交于点，连接，若∵则∵则若，则∵∴∵∴则∴∴故④错误．【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键是能够根据题目条件，进行推论，能够作出辅助线连接，过点D作，过点D作．18．4【分析】根据题意过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ=FN，连接PJ，进而利用全等三角形的性质证明EF=EM+EN，即可得出结论．解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，∴PM＝PK，PK＝PN，∴PM＝PN，∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，∴四边形PMCN是矩形，∴四边形PMCN是正方形，∴CM＝PM，∴∠MPN＝90°，在△PMJ和△PNF中，，∴△PMJ≌△PNF（SAS），∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，∴∠JPF＝∠MPN＝90°，∵∠EPF＝45°，∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，在△PEF和△PEJ中，，∴△PEF≌△PEJ（SAS），∴EF＝EJ，∴EF＝EM+FN，∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2EM＝2PM，∵S△ABC＝•BC•AC＝（AC+BC+AB）•PM，∴PM＝2，∴△ECF的周长为4，故答案为：4．【点拨】本题考查角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问．19．(1)见解析；(2)，理由见解析【分析】（1）运用SSS证明即可；（2）由（1）得，根据内错角相等，两直线平行可得结论．解：（1）在和中，，∴(SSS)；（2）AC和BD的位置关系是，理由如下：∵∴，∴．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．20．(1)见解析；(2)．【分析】（1）或．根据或，证明即可求解；（2）根据得出，继而根据三角形内角和定理得出，根据即可求解．解：（1）证明：添加：或．∵在和中，∴或．（2）∵，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．21．(1)仍是真命题，证明见解析；(2)仍能得到，作图和证明见解析【分析】（1）由角边角得出和全等，对应边相等即可．（2）由（1）问可知BM=CN，故可由边角边得出和全等，对应角相等，即可得出．解：（1）∵∴∵∴在和中有∴∴故结论仍为真命题．（2）∵BM=CN∴CM=AN∵AB=AC，，在和中有∴∴∴故仍能得到，如图所示【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．22．（1）见解析；（2）∠CMQ=60°，不变；（3）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（4）∠CMQ=120°，不变．【分析】（1）利用SAS可证全等；（2）先证△ABQ≌△CAP，得出∠BAQ=∠ACP，通过角度转化，可得出∠CMQ=60°；（3）存在2种情况，一种是∠PQB=90°，另一种是∠BPQ=90°，分别根据直角三角形边直角的关系可求得t的值；（4）先证△PBC≌△ACQ，从而得出∠BPC=∠MQC，然后利用角度转化可得出∠CMQ=120°．解：（1）证明：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°又由题中“点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.”可知：AP=BQ∴≌；（2）∠CMQ=60°不变∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°又由条件得AP=BQ，∴△ABQ≌△CAP(SAS)，∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；（3）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t，①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=；②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BQ，得t=2（4-t），t=；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（4）∠CMQ=120°不变，∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，∴∠PBC=∠ACQ=120°，又由条件得BP=CQ，∴△PBC≌△ACQ(SAS)，∴∠BPC=∠MQC，又∵∠PCB=∠MCQ，∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°．【点拨】本题考查动点问题中三角形的全等，解题关键是找出图形中的全等三角形，利用全等三角形的性质进行角度转化，得出需要的结论．23．(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）连接OD，易证△ADO为等边三角形，再证△ABD≌△AEO即可．（2）作EH⊥AB于H，先证△ABO≌△AEH，得AO＝EH，再证△AFD≌△HFE即可．解：证明：（1）连接OD，如图1，∵△ABE是等边三角形，∴AB＝BE，∠EAB＝60°，∵DA⊥BA，∴∠DAB＝90°，∵∠BAO＝30°，∴∠DAO＝90°﹣30°＝60°，∴∠OAE＝∠DAB，∵MN垂直平分OA，∴OD＝D