37四川省雅安市天立教育集团2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题

天立教育集团2023年11月高2022级期中测试数学试卷本试卷共4页，22题，全卷满分150分，考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．2．请将答案正确填写在答题卡上．一、单选题（共8个小题，每题5分，满分40分）1．与向量共线的单位向量可以为（）．A． B． C． D．2．已知直线与直线平行，则实数（）．A． B．1 C． D．33．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（）．A． B．C． D．4．在四棱锥中，棱长为2的侧棱PD垂直底面边长为2的正方形ABCD，M为棱PD的中点，过直线BM的平面分别与侧棱PA、PC相交于点E、F，当时，截面MEBF的面积为（）．A． B．2 C． D．35．若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为（）．A． B． C． D．6．若直线把圆分成长度为的两段圆弧，则（）．更多免费优质滋源请家威杏MXSJ663A． B． C． D．7．从只读过《论语》的3名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为（）．A． B． C． D．8．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（）．A． B． C． D．二、多选题（共4个小题，每题5分，满分20分）9．已知向量，，则（）．A． B．与同向的单位向量为C． D．10．下列说法错误的是（）．A．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．过，两点的所有直线的方程为D．方程与方程可表示同一直线11．有关圆与圆的下列哪些结论是正确的（）．A．圆的圆心坐标为，半径为5B．若M，N分别为两圆上两个点，则MN的最大距离为C．两圆外切D．若P，Q为圆上的两个动点，且，则PQ的中点的轨迹方程为12．在四面体中，以下说法正确的有（）．A．若，则可知B．若Q为的重心，则C．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则D．若，，则三、填空题（共4个小题，每题5分，满分20分）13．已知，集合，，且，那么______．14．在三棱柱中，点M在线段上，且，若以为基底表示，则______．15．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是______．16．已知圆，直线，点，点．给出下列4个结论：①当时，直线l与圆P相离；②若直线l是圆P的一条对称轴，则；③若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得，则a的最大值为；④N为圆P上的一动点，若，则t的最大值为．其中所有正确结论的序号是______．四、解答题（共6个小题，第17题10分，剩余每题12分，满分70分）17．已知空间三点，，．（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量分别与，垂直，且，求的坐标．18．如图，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，．（1）求线段AM的长．（2）求与所成角的余弦值．19．如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，O为BD的中点，，．（1）证明：平面ABCD；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①的周长为12；②的面积为6．若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．21．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件，试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：日销售量406080100频数91263（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件．该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店．假设该4S店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：日销售量507090110频数51582（ⅰ）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；（ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？22．已知圆，点．（1）若，求以P为圆心且与圆M相切的圆的方程；（2）若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为，且与y轴分别交于点S、T，，求t的值．参考答案1．D【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量．【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或．故选：D．2．B【分析】根据直线平行的条件求解即可．【详解】由两直线平行，得，解得．当时，直线与直线平行，故．故选：B．3．B【分析】根据空间向量基本定理进行求解．【详解】因为，点N为BC中点，所以，，故．故选：B．4．A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出．【详解】由题意，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设，，则，又，，所以，则，由题意，M、E、B、F四点共面，所以，所以，解得，，所以，，所以，，所以，即，所以，所以，又，，所以，即，所以，所以，所以截面MEBF的面积为．故选：A．5．C【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由倾斜角与斜率的关系求解．【详解】∵直线l的一个方向向量为，∴直线l的斜率，设直线的倾斜角为，∴，∴．故选：C．6．D【分析】直线和圆相交于AB，则根据较短弧长与较长弧长之比为得到，利用点与直线的距离建立条件关系即可．【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，设直线和圆相交于AB，若较短弧长与较长弧长之比为，则，则圆心到直线的距离，即，即．故选：D．7．A【解析】利用列举法，求得基本事件的总数，再求得选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】将只读过《论语》的3名同学分别记为x，y，z，只读过《红楼梦》的3名同学分别记为a，b，c．设“选中的2人都读过《红楼梦》”为事件A，则从6名同学中任选2人的所有可能情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中事件A包含的可能情况有，，，共3种，故．故选：A．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．D【分析】设，，，由可得，即点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．而可看作圆上的点到原点的距离的平方，结合圆的性质即可求解．【详解】由题意，设，，，由，得，即，所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．又，其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，所以，所以，即的最大值为．故选：D．9．ABD【分析】由点坐标求向量的模，单位向量的定义求与同向的单位向量，坐标运算求数量积、夹角判断各项正误．【详解】由题设，与同向的单位向量为，A、B正确；由数量积的坐标运算得，C错误；由，则，D正确．故选：ABD．10．CD【分析】利用充要条件的定义判断A；求出直线斜率范围，进而求出倾斜角范围判断B；举例说明判断CD作答．【详解】对于A，当时，直线与平行，当直线与直线平行时，，解得，经检验满足题意，因此“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，A正确；对于B，直线的斜率，则，，B正确；对于C，当时，过给定两点的直线方程为，显然给定方程不含此直线，C错误；对于D，方程表示去掉点的直线，误．故选：CD．11．ABD【分析】对于A，将圆的方程化为标准方程即可判断；对于B，画出图形结合三角不等式即可求解；对于C，由，，的关系即可判断；对于D，画出图形，结合垂径分线定理分析即可．【详解】对于A，将圆的方程化为标准方程得，由此可知圆的圆心坐标为，半径为5，故A选项正确；对于B，将圆的方程化为，如图所示：不妨设M，N分别为两圆，上两个点，四个点，，，共线，则由三角不等式可知，而，分别为两圆，的半径，即，，是指两圆圆心，之间的距离，即，所以，由等号成立的条件可知，当且仅当点M与点重合，点N与点重合时，，故B选项正确；对于C，由B选项分析可知，故两圆相交，而不是外切，故C选项错误；对于D，如图所示：由题意不妨设，P，Q中点为R，则，又由于的半径为，所以由垂径分线定理可知，即，所以点R的坐标为，又点的坐标为，所以，故D选项正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于B、D两选项的判断，因而是否能够准确作出图形、利用数学结合的思想来判断B、D两选项是解题的关键．12．ABD【分析】A：令，利用平面向量基本定理及向量加减、数乘的几何意义，求，，之间含的线性关系，结合已知即可求；B：根据线段的空间位置及空间向量的加减、数乘运算，求，，，的线性关系；C：由正四面体性质求MN的长度即可；D：由题设有，利用空间向量数量积的运算律及空间向量的加减几何含义求证结论．【详解】A：由，则D在线段BC上，又，若，则，又，故，所以，即，正确；B：若D为AB的中点，，又，而，所以，又，，则，整理得，正确；C：由题设知：，即，且，故，错误；D：若，，则，又，所以，整理得，故，正确．故选：ABD．13．或或或0【分析】由集合A，B以及两集合的交集不是空集，确定出即可．【详解】∵，集合，集合，且，∴或或，又，∴或或或0．故答案为：或或或0．【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．14．【分析】利用向量的线性关系结合图形运算即得．【详解】在三棱柱中，点M在线段上，且，所以，，所以．故答案为：．15．0.98【详解】设甲闹钟准时响为事件A，乙闹钟准时响为事件B，则两个闹钟没有一个准时响为事件，事件A与事件B相互独立，得，，．两个闹钟至少有一个准时响与事件对立，故两个闹钟至少有一个准时响的概率为．16．①②④【分析】对于①：，，圆心，半径，直线l与圆P相离；对于②：若直线l圆P的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理，，设．得到，但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④：N为圆P上的一个动点．若，设，，利用参数方程解决即可．【详解】对于①：当时，直线，圆心，半径，直线l与圆P相离，故表述①正确；对于②：若直线l圆P的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故，故表述②正确；本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：设MN的中点为Q，以MN为直径作圆Q，连接PQ，QA，PA，PM．则在圆Q上．对于③：由垂径定理，，设．一方面，若，则．当且仅当，且P，Q，A三点共线时，等号成立，此时直线PA的斜率为．另一方面，当时，直线．故点P到直线l的距离，此时．当且仅当A为点P在直线l上的射影时等号成立，此时直线PA的斜率为．对比发现，，但两处等号无法同时取到，矛盾．故表述③错误．对于④：N为圆P上的一个动点．若，设，，则．注意到，故，当且仅当且点A在点Q正上方时，等号成立．故表述④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意图是解决问题的关键．17．（1） （2）或【分析】（1）利用空间向量的夹角余弦公式求出，从而得到以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；（2）设出，根据空间向量垂直关系和模长，列出方程组，求出的坐标．【详解】（1）∵，，∴，∴．∵，∴．故以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．（2）设．∵，，且，，解得或．故或．18．（1） （2）【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得AM的长．（2）利用向量法求得与所成角的余弦值．【详解】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，即线段AM的长为．（2），，，，所以，，，．所以，所以．所以，与所成角的余弦值为．19．（1）证明见解析 （2）【分析】（1）连接OC，根据题意，证得，，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面ABCD；（2）由（1）和等腰可知，OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC和平面PAD的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，连接OC，在直角中，由，且O为BD的中点，可得，因为，，所以，且，又因为，，，可得，所以．因为，，且平面ABCD，，所以平面ABCD．（2）解：由（1）和等腰可知，OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，，则，又由，可得点A的坐标为，设平面PBC的法向量为，由，，则，取，可得，，所以平面PBC的一个法向量为．设平面PAD的法向量为，由，，则，取，可得，，所以平面PAD的一个法向量为，则，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．20．．【详解】试题分析：设直线的方程，若满足（1）可得，，联立可解a，b，即可得方程；（2）若满足，可得，，同样可得方程，它们公共的方程即为所求．【试题解析】设直线方程为，若满足条件（1），则，①又∵直线过点，∵．②由①②可得，解得，或．∴所求直线的方程为或，即或．若满足条件（2），则，③由题意得，，④由③④整理得，解得，或．∴所求直线的方程为或，即或．综上所述：存在同时满足（1）（2）两个条件的直线方程，为．点睛：本题主要考查了直线的截距式方程的应用，其中解答中涉及到直线与坐标轴围成的三角形的面积和三角形的周长问题，以及方程组的求解等知识点的综合应用，解答中熟记直线的截距式方程和方程组的求解是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．21．（1）0.3（2）（ⅰ）93.32万元 （ⅱ）每天应该批发两大箱【分析】（1）求出日销售总利润不低于24500元所需的日销售件数，得出符合要求的天数，可求对应频率；（2）每天的利润等于销售额加九折的转让费减成本，分别算出两大箱和两小箱30天的总利润作比较．【详解】解：（1）∵试销期间每个零件的利润为元，所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于，∴所求频率为．（2）（ⅰ