天津市初中毕业生学业考试数学第(25)题分析

博学笃行明德至善2021年天津市初中毕业生学业考试数学第〔25〕题分析——二次函数最值问题2021年天津中考数学第25题二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅰ〕当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值；〔Ⅱ〕当c=5时，假设在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．说题二、背景源头

三、各点分析四、拓展引申五、教学设计

一、考查立意

一、考查立意题目来源天津市2021年中考数学试卷第25题基于二次函数的根本知识，在变化的解析式和变化的自变量取值范围中动态地探究函数值变化的一道综合题共3小问，分值为10分一、考查立意在知识方面，主要考查了二次函数的解析式二次函数的图象和性质二次函数与一元二次方程之间的联系解一元二次方程、不等式〔组〕……一、考查立意在能力方面，主要考查了运算能力推理能力数形结合思想分类讨论思想……二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅰ〕当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值；二、背景源头教材P56复习题22二、背景源头二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅱ〕当c=5时，假设在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；基础知识基本能力质量检测P36二、背景源头二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．变化的范围变化的对称轴数形结合地分析各种情况利用好函数的增减性教师教学用书P105拓展资源三、各点分析解析：〔Ⅰ〕方法一：当b=2，c=-3时，二次函数的解析式为y=x2+2x-3，配方得：y=(x+1)2-4． ∴当x=-1时，二次函数取得最小值-4．二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅰ〕当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值；方法二：直接利用二次函数顶点纵坐标公式，最小值为根据二次函数的顶点式或顶点坐标公式，即可顺利切入，求出最小值.难点：配方法的运用易错点：计算错误三、各点分析二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅱ〕当c=5时，假设在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；解析：〔Ⅱ〕方法一：当c=5时，二次函数解析式为y=x2+bx+5．由题意，得方程x2+bx+5=1有两个相等的实数根．有△=b2-16=0，解得b1=4，b2=-4．∴此时二次函数解析式为y=x2+4x+5或y=x2-4x+5切入点：当函数值取确定值，求自变量取值问题，等同于求对应的一元二次方程的解.难点：从函数角度看方程易错点：解方程〔计算〕三、各点分析二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅱ〕当c=5时，假设在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；切入点：利用数形结合，抓住抛物线的最低点，将此题转化为二次函数最小值问题.难点：数形结合易错点：解方程求b值三、各点分析二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．切入点：根据自变量取值范围的变化，画出不同情况的示意图，再通过数形结合，合理利用函数增减性，确定不同情况下的最值.f(m)f(n)f(m)f(n)三种情况！b≤x≤b+3三、各点分析二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．①若->b+3，即b<-2，当x=b+3时，y=3b2+9b+9为最小值．∴3b2+9b+9=21，解得b1=1（舍），b2=-4．∴三、各点分析二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．②若b≤-≤b+3，即-2≤b≤0，当x=-时，为最小值．∴，解得（舍），（舍）．

三、各点分析二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．③若-<b，即b>0，当x=b时，y=3b2为最小值．∴3b2=21，解得b1=-（舍），b2=．∴难点：能否根据给定自变量的含参范围， 不重不漏的画出对应示意图易错点：学生想当然的认为顶点纵坐标就是最小值四、拓展引申1、此题第〔Ⅲ〕问，除了可以求函数的解析式，还可以求函数的最大值，如：①假设>b+3，即b<-2，当x=b时，y=3b2为最大值，代入b=-4，得最大值为48；②假设<b，即b>0，当x=b+3时，y=3b2+9b+9为最大值，代入，得最大值为．〔1〕从题目本身拓展2、二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为21，求此时二次函数的解析式．变式训练①若->b+3，即b<-2，当x=b时，y=3b2为最大值．∴3b2=21，解得b1=-，b2=（舍）．∴变式训练二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为21，求此时二次函数的解析式．②若b≤-≤b+3，即-2≤b≤0：i.当>，即-2≤b<-1，x=b时，y=3b2为最大值21

变式训练二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为21，求此时二次函数的解析式．

②若b≤-≤b+3，即-2≤b≤0：i.当>，即-2≤b<-1，∴解得b1=-（舍），

b2=（舍）．

变式训练二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为21，求此时二次函数的解析式．②若b≤-≤b+3，即-2≤b≤0：ii.当≤，即-1≤b≤0，x=b+3时，y=3b2+9b+9为最大值21．

变式训练二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为21，求此时二次函数的解析式．②若b≤-≤b+3，即-2≤b≤0：ii.当≤，即-1≤b≤0，∴解得b1=1（舍），

b2=-4（舍）．

变式训练二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为21，求此时二次函数的解析式．③若-<b，即b>0，当x=b+3时，y=3b2+9b+9为最大值．∴3b2+9b+9=21，解得b1=1，b2=-4（舍）．∴四、拓展引申此题的主要类型和条件均围绕二次函数的最值问题而设置，层层递进，不断深入。如将此题中的考查重点进行分解、归类，那么可得出解决二次函数最值问题的几点总结：〔2〕从知识结构拓展四、拓展引申〔一〕从知识点上分析：1、二次函数的最值问题，核心是对抛物线对称轴与给定自变量取值范围的相对位置关系的讨论，一般分为三种情况：自变量取值范围在对称轴的左边、两边或右边；〔2〕从知识结构拓展四、拓展引申2、对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当m≤x≤n时，其最大值与最小值的几种情况为：（1）当a>0时，开口向上①若m≤≤n，则必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；②若x=并不在m≤x≤n范围内，则根据单调性，在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值；四、拓展引申函数最值结合图象总结如下：〔当a>0时〕四、拓展引申〔2〕当a<0时，开口向下四、拓展引申〔二〕从题型归类上分析：1、正向型：二次函数解析式和自变量取值范围，求最值。此时，对称轴与自变量取值范围的相互位置关系的讨论成为解题关键。主要有以下四种情形：〔2〕从知识结构拓展四、拓展引申①轴定，范围定：例如：当-2≤x≤2时，求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值．②轴定，范围变：例如：当t≤x≤t+2时，求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值．③轴变，范围定：例如：当-2≤x≤2时，求函数y=x2-tx-3的最大值和最小值．④轴变，范围变：例如：当t≤x≤t+2时，求函数y=x2-tx-3的最大值和最小值．四、拓展引申〔二〕从题型归类上分析：2、逆向型：二次函数在某自变量取值范围内的最值，求该函数或某些参数值。 由于逆向型在某种程度上讲就是正向型的题设和结论的互换，故不再过多赘述。而今天所说的这道中考25题，第〔Ⅰ〕问是正向型中的①轴定，范围定；第〔Ⅱ〕问是逆向型中的③轴变，范围定；第〔Ⅲ〕问是逆向型中的④轴变，范围变。〔2〕从知识结构拓展二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅰ〕当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值；二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅱ〕当c=5时，假设在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；二次函数y=x2+bx+c〔b，c为常数〕.〔Ⅲ〕当c=b2时，假设在自变量的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．博学笃行明德至善希望您提出宝贵意见，谢谢！五、教学设计〔一〕学情分析〔二〕教法学法〔三〕教学目标〔四〕教学过程五、教学设计〔一〕学情分析根底上下参差不齐，两极分化明显对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚对后进生来说，简单的根底知识还不能有效的掌握，成绩较差五、教学设计〔二〕教法学法学案导学探究发现、合作交流等加强对函数图象和性质的认识变式训练，深入探究五、教学设计〔三〕教学目标掌握当自变量取值范围发生变化时，求二次函数最值的方法；在求最值的过程中，深入体会数形结合思想和分类讨论思想．五、教学设计〔四〕教学过程1、温故知新2、变式训练3、拓展提高4、直击中考五、教学设计温故知新问题〔1〕求函数的对称轴和最小值，并画出函数的大致图象．问题〔2〕当-2≤x≤2时，求函数的最小值．归纳总结：当对称轴位置在自变量取值范围内时，二次函数的最值情况是五、教学设计变式训练问题〔3〕当-2≤x≤-1时，求函数的最小值．问题〔4