2021届陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（一）附答案详解

2021届陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（一）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A={%|0WXW2},B={x\x2<9,xGZ},则4nB等于（）

A.{0,1,2}B.[0,1]C.{0,2}D.{0,1}

2.已知复数z满足冒=i,则复数z的共轨复数在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，

仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，

假设蝗虫的日增长率为5%,最初有No只，则大约经过（）天才能达到最初的16000倍（参考数据:

/nl.05»0.0488,仇1.520.4055,/nl600«7.3778,/nl6000«9.6803）

A.100B.150C.180D.200

4.三棱锥的高为3,侧棱长均相等且为5色，底面是等边三角形，则这个三棱锥的体积为（）

5.以下判断正确的是（）

A.函数y=/（x）为R上的可导函数，则（（与）=0是出为函数-X）极值点的充要条件

B.命题“存在％£R,x2+x-1<0"的否定是“任意xGR,x2+x-1>0''

C.线性回归方程y=bx+a对应的直线一定经过其样本数据点（Xi，yi）（>2，y2）…（Xn，%）中的一

个

D.“b=0”是“函数/（X）=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件”

6.从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是（）

A.；B.：C.ID.；

3234

7.圆/+丫2+以+2=0与直线,相切于点4（-3,1）则直线1的方程为（）

A.x+y+2=0B.x—2y-2=0C.%—y+4=0D.2x—y-5=0

8.如图，已知点P是函数/（x）=4cos（x+0）（x6R,4>0,取<g）图象上的一个最高点，M,N是

函数/'（x）的图象与％轴的两个交点，若丽・丽=0，则4的值为（）

y

A.2B.C.4D.n

9.如图，为了测量隧道两口之间48的长度，对给出的四组数据，计算时要求最简便，测量时要求

最容易，应当采用的一组是()

A.a,b,yB.a,b,aC.a,b,/?D.a,/?,a

10.已知双曲线C的焦点为Fi，F2,点P是双曲线上任意一点，若双曲线的离心率为2,且|P0|=2|PF2|,

则COSZPFZFI=

A1B1cV2DV2

4343

11.在体积为6的长方体4BCD-4iBiC[Di中，已知4B=2,4cli8也，则该长方体的外接球表面

积为()

A.147rB.127rC.IOTTD.n

12.已知a,b€R,定义运算“③”：a(8)b=居'。[?Q设函数/(x)=2、+】⑤(2-4丫)，xeR.

若函数丫=/0)-。的图象与％轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,1)U(1,2)

C.(1,2)D.(0,V3-1)U(V3-1,2)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

x-y>0

13.设x,y满足约束条件％+2yW3,则z=x+4y的最大值为.

.%-2y<1

14.在。-3尸的展开式中，若第3项的系数为27,则n=.

15.已知梯形ZBCD中，AD//BC,力。=遮,AB=4,4/WC=60。,/4CB=45。，贝胆。=.

16.若微海帆悬酒鸣揶普愚=鼠则下列不等式对于一切满足条件的璃滴？恒成立的是(写出

所以正确命题的编号)

①隘山；②“得居士收；③3#妒会：④%%篝.

:阈悬

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在边长为2正方体HQ中：

(1)求证：AG1平面&CD1；

(2)求直线CCi与平面B】CDi所成角的正弦值；

(3)线段AB上是否存在一点M(不与端点重合)，使得二面角4-MC-G所成平面角的余弦值为意,

若存在，求|AM|的值，若不存在，请说明理由.

18.根据下列条件求值：

(1)在等差数列｛a“｝中,%=2,S3=12,求。6；

(2)在等比数列｛an｝中,=4,a7=16,求斯.

19.某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、

化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年

夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分

为A,B,C,D,E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%,2%,

等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将4到E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别

转换到［86,100］、［71,85］,［56,70］＞［41,55］、［30,40］五个分数区间,得到考生的等级分，等级

转换分满分为100分，具体转换区间如表：

等级4BCDE

比例15%35%35%13%2%

赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

而等比例转换法是通过公式计算：然=篝.

Y~Y1r-Tl

其中%，%分别表示原始分区间的最低分和最高分，71，72分别表示等级分区间的最低分和最高

分，丫表示原始分，r表示转换分，当原始分为H，匕时，等级分分别为n，T2.

假设小南的化学考试成绩信息如表：

考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间

化学75分B等级[69,84][71,85]

设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得：*s=黑，所以r=76.6X77(四舍五入取整),

/O—oy/~/I

小南最终化学成绩为77分.

己知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其

中化学成绩获得4等级的学生原始成绩统计如表：

成绩95939190888785

人数1232322

(1)从化学成绩获得4等级的学生中任取2名.求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率;

(2)从化学成绩获得4等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为。求f的

分布列和期望.

20.已知抛物线C：/=2「丫9>0)上一点4(犯4)到其焦点f的距离为*

(1)求P与血的值；

(2)若直线1过焦点产交抛物线于P,Q两点，且|PQ|=5,求直线，的方程.

21.已知函数/(%)=%—仇X-Q有两个相异零点％1，X2(%1<x2).

(1)求Q的取值范围；

(2)求证：+%2<472.

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为%;£；D(a为参数)•以坐标原点.为极点，

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程为0=0°,(P6R).

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设直线，与曲线C相交于不同的两点A，P2,指出如的范围，并求归9+备的取值范围.

23.解不等式⑴的一4|>1朴如(2)解不等式:U富愉—

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：­•-A={x[0<x<2),B=[x\x2<9,xGZ}={x|-3<%<3,xeZ}={-2,-1,0,1,2),

：.AnB={x|0<x<2}n{-2,-1,04,2}=[0,1,2).

故选:A.

求解一元二次不等式化简B,再由交集运算得答案.

本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题.

2.答案：B

解析：解：•••=i,­•-z==--2=^T7-2=-2-i,

ZII-it

・••复数Z的共转复数-2+i在复平面内对应的点(-2,1)在第二象限.

故选：B.

利用复数的运算法则、共扼复数、几何意义即可得出.

本题考查了复数的运算法则、共辄复数、几何意义，属于基础题.

3.答案：D

解析：解：由题意可设N=Nox(1+5%尸，

•••16000/Vo=NoX(1+5%)n,

.•.)16000=nlnl.05,

解得ny198.36,

故选：D.

利用题中的条件可知蝗虫的增长是指数函数模型，设出模型函数，直接计算即可.

本题考查了指数函数的应用，指数方程的解法，学生的应用能力，属于基础题.

4.答案:D

解析：试题分析：由题意知为正三棱锥，高为3,侧棱长为篙5,因此底面三角形的边长为3,所以

该三棱锥的体积为睇=3.豳=3%由然警海=空.

3S44

考点：空间几何体的体积、空间想象能力.

5.答案：D

解析：解：若a为函数f(x)极值点，则尸(和)=0,反之，若/'(殉)=0,X。不一定为函数f(x)极值

点，如故A错误；

命题“存在X6R,x2+x-1<0"的否定是“任意XWR,x2+x-l>0^^,故B错误；

线性回归方程y=bx+a对应的直线可能不经过其样本数据点(%1，丫1)。2，丫2)-(如，％)中的任何一

个，故C错误；

若b=0,则函数/(x)=aM+c是偶函数，反之，若函数/(x)=a/+.+c是偶函数，贝！］/(-x)-

/(%)-ax2-bx+c—ax2—bx—c=0恒成立，即—2bx=。恒成立，.：b=0,即"b=0"是"函

数/(X)=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件”.

故选D.

由可导函数的极值点处的导数为0,导数为0的点不一定是极值点判断4直接写出命题的否定判断B；

由线性回归方程y-bx+a对应的直线可能不经过其样本数据点(Xi，yi)(x2，y2)…(力,%)中的任何

一个判断C；利用偶函数的性质结合必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法判断D.

本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，存在量词命题的否定，函数的奇偶性，利用导

数研究函数的极值和回归直线方程，属于基础题.

6.答案：B

解析：解：从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，

基本事件总数n=废=6,

这名女生被选中包含的基本事件个数m=ClCl=3,

・•.这名女生被选中的概率p=：=冷.

故选：B.

基本事件总数n=《=6,这名女生被选中包含的基本事件个数m=询盘=3,由此能求出这名女

生被选中的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.答案：C

解析：

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.先代入切点的坐标求出a,再求出圆心坐标，利用圆的

切线与过切点的半径垂直求出直线1的斜率，从而求出直线的方程.

解：将点4(—3,1)代入圆的方程得a=4,

1

二圆心坐标为。(一2,0),KOA=°=-1,

・••切线I的斜率K=1.

•••直线I的方程为：y-1=x+3,

即：%—y+4=0,

故选：C.

8.答案：B

解析：解：函数/'(x)=4cos(x+0)的周期T=午=2兀，则|MN|=/=7T,

又由•丽=0，为等腰直角三角形，

yP=^\MN\=pA=1.

故选：B.

求出函数的周期7,得到|MN|,再丽.丽=0,得MPN为等腰直角三角形，由此求出4的值.

本题考查数量积与向量垂直的关系，考查y=4sm(3X+R)型函数的图象与性质，是基础题.

9.答案:A

解析：解：根据实际情况a、?都是不易测量的数据，在A4BC中，a,b可以测得，角y也可测得，

根据余弦定理能直接求出4B的长.

故选：A.

为了测量隧道两口之间力B的长度，a,6可以测得，角y也可测得，a、夕都是不易测量的数据，利用

余弦定理可直接求出48,故可知结论

本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接

测量

10.答案:A

解析：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题.

解：设|PFi|=2|PF2l=2m,则根据双曲线的定义，可得m=2a，A|PF1|=4a,|PF2l=2a,

16a2+4/-16a22

♦.•离心率为2,因用|=4a,：.cosN招产用

2x4ax2a4

故答案选：A.

11.答案：C

z

解析：解：以。为原点，ZM为%轴，DC为y轴，DDi为z

小

轴，建立空间直角坐标系，

设4。=X,贝1」44]—

33

-A(xf0,0),G(0,2,0，B^x,2,-),

C(020),

AC^—(—x,2,-),B[C=(-%0,-0，

vACr1B〔C,

福*•即=£2一5=0,解得/技

:.AD=V3»AA1=痘,

该长方体的外接球半径R=3尹=乎，

该长方体的外接球表面积：

S—=4兀xU=107r.

4TTR24

故选：C.

以。为原点，04为x轴，OC为y轴，0。1为z轴，建立空间直角坐标系，设40=x,则A4=：,由4QJ_

BC求出力。=百，4&=遍，从而该长方体的外接球半径R=手，由此能求出该长方体的外接

球表面积.

本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查长方体及其外接球的性质等基础知识，考查运算求

解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

12.答案：A

解析：解：由2>1-(2-4、)W1,得4丫+2•2*-340,

得(2-1)(2*+3)<0,

得一3<2X<1,即x<0,

即

,函数y=/(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，

二由/(无)-c=0得/(x)=c,有两个不同的根，

作出f(x)的图象，

要使y=/(x)与y=c有两个不同的交点，

则0<c<1,

故选：A.

根据定义运算求出f(x)的表达式，结合函数与方程之间的关系转化为/(%)与y=c的交点个数问题,

利用数形结合进行求解即可.

本题主要考查函数与方程的应用，结合定义求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个

图象交点问题是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.

13.答案：5

X-y>0

解析：解：由约束条件x+2yW3作出可行域如图，

,x-2y<1

联立｛7;短°3,解得C(L1)-

化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得y=

由图可知，当直线丫=-3》+(过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大.

此时zmax=1+4X1=5.

故答案为：5.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优

解的坐标，代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

14.答案：3

解析:

本题考查了二项展开式的特除项的系数，考查了组合数公式.

利用二项展开式的通项，求得第3项系数，根据系数为27,求出ri.

解：•••(x-3尸的展开式的第3项系数为27,

则：量X(-3)2=27=鬣=3,

解得n=3,

故答案是3.

15.答案：V15

解析：解：♦.•在AABC中，4aBe=60。，^ACB=45°,AB=4,

.•.由正弦定理AB缶，可得高=焉，解得"=黑箸

s\nz.BCA

4X”l

飞-=2①,

2

•••/LACB=ADAC=45°,

.•.在△4co中，由余弦定理可得CO=>JAD2+AC2-2AD-AC-cos^DAC=

j3+24-2xV3x2V6Xy=V15-

故答案为：V15.

在AABC中，由已知利用正弦定理可解得AC=丝等=2n，由已知可求乙4cB=4ZMC=45。，

sm45°

在A4CD中，由余弦定理可求得CD的值.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础

题.

16.答案：①③④

解析：试题分析：根据题意可知，由于诵•舒阚黝:净僦谢朴巅=鼠那么可知根据均值不等式，

城三世强炉=1，故命题1成立，命题2中，由于函H通俨=湎书题午餐盛海公，因此不成立,

兽

命题3中，由于豳;陋镇二卷胴蟒北巍渝二鬟二储井胪空窑故成立

对于命题4,由于3昔口=更型=之封塞故成立，因此选&

磔浦'喊!喊

考点：不等式的性质，函数恒成立

点评：本题考查函数恒成立的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式的灵活运用.

17.答案：(1)证明:由正方体的性质知，JL平面4&GD1，•••J.&D1，

•.•正方形4B1GD1，41cl1B也,

•••46nAAl=41，AC、441u平面4CC1A1，

B1D1_L平面当么1ACr,

同理可得，ACi^BiC,

又B[D]CB[C=Bi，B1D1>/Cu平面/CDi，

•••AC】_L平面名皿.

(2)解：•••正方体的各个面均为正方形，

:.BiC=B、Di=CD。即ABiCOi为等边三角形，且边长为2企,

S^BICDI=3x2>/2xV6=2>/3>

设点G到平面B】CDi的距离为八，

tfCO]=%LCQDI，

,'1'S^B'CDi=•SACCQI=3B1G--CC-i-Ci©i,

即g/i-2百=[x2x2x2x2,

,2V3

h=—

3

设直线CG与平面/CDI所成角为d则sin。=上=11,

23

故直线CCi与平面Bi。。1所成角的正弦值为三.

(3)解：以4为原点，AB.AD.分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,2),C[2,2,0),G(2,2,2),

设M(a,0,0),ae(0,2),

.•.祝=(2-a,2,0)，A^C=(2,2,-2),鬲=(0,0,2)，

m-MC=0-a)x+2y=0

设平面为MC的法向量为沅=(x,y,z),则

+2y-2z=0

m-ArC-0

令x=l,则、=等，z=a.•.记=(1,等,沙<

同理可得，平面MCG的法向量为元=(1,节,0),

••・二面角41-MC-6所成平面角的余弦值为羲，

_、I_I沅员I_1+_5

.•.|3＜记,"I=1哂1="(?2+(.卜(等/=福

化简得，6a2+。一2=0,解得a=1或一|,

vaE(0,2),・,・a=|,

故存在点M符合题意，且MM|=[.

解析：(1)先证当心，平面ACG4,从而有81劣14C1，同理可证力G1BC故Ag，平面8停。1；

(2)由等体积法％LBIC/=%LCCQJ求得点G到平面8道5的距离九，再由言，即可得解；

(3)以4为原点，AB.AD.A4分别为登y、z轴建立空间直角坐标系，设M(a,0,0),ae(0,2),依

次求得平面4MC和平面MCG的法向量记与元，由|cos(沆，元＞|=费，解出a的值即可.

本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质

定理，等体积法，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻

辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.

18.答案：解：(1)设公差为d,%=2,S3=12

；・2+2+d+2+2d=12,

解得d=2,

=Q1+5d—12,

(2)设公比为q,a5=4,a7=16,

.一07一/

"q-『4'

解得q=2或一2,

a541

.•・a】=7=W=Z，

nln-1nln-1n-3

an=ar-q-=[x2=2n-3.或a“=U1-q~=；x(-2)=(-2).

解析：本题考查了等差数列，等比数列通项公式的灵活应用问题，是简单的计算题目.

(1)根据等差数列的通项公式即可求出，

(2)根据等比数列的通项公式即可求出.

19.答案：解：(1)设化学成绩获得4等级的学生原始成绩为x,等级成绩为y,由转换公式得:

些=U,B|J14(Z-85)6=14Z-33O

x-85y-86)1010

所以史滑296,得x>92.1,

显然原始成绩满足x>92.1的同学有3人，获得4等级的考生有15人，

c|c

恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概为P=里=工；

匾35

(2)由题意得：等级成绩不小于96分的人数为3人，获得4等级的考生有15人,

c?cc|cc|cc|c

zx51224,D/a41245112200122,

PD(f=o)=盂=£=1)=瓦=£'p(f=2)=鬲=£，p(e=3)=商=鼠

则分布列为：

0123

2445202

p

91919191

则E(f)若+2X爱+3x5=l.

解析：(1)根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于

96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；

(2)列出随机变量f的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可.

本题考查了古典概型的概率，考查了统计表的应用，考查了超几何分布，考查数据处理能力和计算

能力，属于中档题.

20.答案：解：(1)由9=4+].•.「=右

・•・X2=y,

・・.Tn2=4,m=±2；

(2)可设PQ的方程为2：y=fc%+i,

联立片丘+:

lx2=y

消去X,得y2-G+k2)y+2=0,

-yi+y2=[+12,

而|PQI=yi+y2+p=l+l=5,

k2=5—1=4,k=±2.

・,・直线I的方程为y=2x+[或y=-2x+"

44

解析：本题考查抛物线的性质、标准方程和直线与抛物线的位置关系，属于一般题.

(1)利用焦半径可得P，再利用抛物线方程即可得出m；

(2)可设PQ的方程为八y=kx+\,与抛物线的方程联立得到关于y的一元二次方程，再利用过焦点

的弦长公式即可得出.

21.答案:解:(l)f(x)=^(x>0),

当0<x<1,时,/'(%)<0,/(%)单调递减,

当%>1时，f(%)>0,f(%)单调递增；

要使函数/(%)=%一"％-a有两个相异零点，必有/(I)=1一Q<0,二a>1,

当a>1时,ve~a<1,且f(e-a)=e~a>0,.,.函数/'(%)在(0,1)上有一个零点,

>1,・,•函数/(%)在。+8)有一个零点，

・•.a的取值范围为(L+8).

(2)由(1)知,0<%!<1<%2»

・・

v%1—lnxr-a=0,•Q=—lnxr,

4a+24a+24(x1-Znx1)+2x-4lnx+2

要证》14-%2<xX=一%11

~3~，2z<-3n-----1131=3

故构造函数g(x)=X-4,X+2,(0<欠<1),

则g'(x)=啜<0，所以g(x)在(0,1)单调递减,g(x)>g(l)=1.

因为金＞1,所以XL4：.+2＞],

构造函数九(x)=/(%)-〃j；+2),(0<%<1)

小心、2X+1,1X-4

h(%)=-------1----------

、'3xx-4lnx+2x

下面证明＞0,即证明团》-巨鬻22＜0,

构造函数"(x)=Inx-*鼠，,(0<x<1).

H'M=篇%＞。在(0,1)上恒成立,

因此H(x)在(0,1)递增，从而HQ)<"(1)=0,

/i\x)>0,九。)在(0,1)递增,

h(x)<h(l)=0,

%1—4lnx1+2