2021高三数学高考压轴题第一轮复习培优汇编4-三角公式汇总

高三第一轮复习一一三角公式汇总

一、公式归纳汇总

【1、扇形弧长与面积公式】：

1,1

高中：弧长公式：l=aR,扇形面积公式：S=上aR2=±/R；(其中。为弧度制

22

初中：弧长公式：/=—也・2成，扇形面积公式：S=」L•成2；(其中〃为中心角度数)。

360360

【2、三角恒等式】：

®sin2<z+cos2«=1；1+tan2a=sec2a；1+cot2a=esc2a；

②tanacota=l；sina・csca=l；cosa，seca=l；

【3、诱导公式】：

C-rr+a)的本质是：奇变偶不变(对人而言，指左取奇数或偶数)，符号看象限(看原

2

三角比，同时可把。看成是锐角).

(1)2k兀±aa；

(2)

、71

(3)—±oc—CL;

2

3乃

(4)--±a'a；

2

(兀A

例如：cos(；F-a)=-cosa；tan—+a\=-cota；cot(2左乃+a)=cota,左6Z；

、2J

【4、和差公式】：

差公式：

@cos(a-/?)=cosacos+sinasin(3；

②sin(a—/7)=sinacos/?—cosasin(3；

c/c、tana-tanS

③tan(a-p)=-------------—；

1+tanatanft

④coQ-p)=c°tac°S+l；

COty^-COt<Z

和公式：

①cos(a4-0)=cosacos°―sinersinp；

②sin(a+/?)=sinacosp+cosasin/?；

与/c、tana+tan/?

③tan(a+/?)=--------------；

1一tanatan(3

④c°Q+砥Cl；

cota+cot/?

【5、二倍角公式】:

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1—2sin?a；

-2tana

tan2a=-------；-

1-taiTa

a

还有一组常用的：a——，

2

.0•aa

sina=2sin—cos—

22

2Ct.2。-2a[[c.2a

类比可得：cosa=cos-----sin-—=2cos-----1=l-2sin—；

2222

-2tan—a

2

tana=----------

l।-tani」a

2

半角公式】:

.a,l-cosa

(1)sin—=±

22

a

(2)cos—

2

a“一cosa

(3)tan—=±J-----------

2v1+cosa

【7、升嘉(降黑)公式】：

.a1-cosaa1+cosa

;in~2-=-----------,cos2—=------------

【8、万能公式】：

,、.-2sinacosa2sin«cosa2tana

(1)sin2a=---------------=——z----------z-=--------2-

1sin~a+cos~al+tan~a

、仁cos2(7-sin2acos2。一sin2a1-tan2a

(z2)cos2a=-------------------=——z----------z—=--------z-

1sina+cosal+tan-a

sin2a1-cos2a

(3)tana=-------------=-------------

1+cos2asin2a

【9、辅助角公式】：

asinx+Z?cosx=+（其中6角所在的象限由a,b的符号确定，。角的值

由sine=7£=,cos6=,&,tan。=2确定）在求最值、化简时起着重要作用.

232

V«+ba

【10、正弦“三兄妹”公式】：

①sinx+cosx；②sinx-cosx；(3)sinxcosx；

若sinx±cosx=f,则sin九cosx二士^特别提醒：/G[->/2,V2].

【11、和差化积（积化和差）】:

（1）积化和差公式

sin6Zcosp=—[sin(<7+/7)+sin(cr-/7)].

cosasinP=；[sin(a+，)-sin(a-7?)].

cosacos/?=—[cos(a+/?)+cos(a-/7)].

sinasin(3=-g[cos(a+,)-cos(a

(2)和差化积公式

sin(7+sinP=2sin°j,cos。J.

..Qa+B.a-/3

sin。-sinp=2cos---sin---.

c八a+£a—B

cosa+cosp=2cos---cos---.

。.a+/7.a—P

cosa-cospQ=-2sin—h-sin—.

【12、三角形面积公式】:

（2）,"为"为一边，〃为这一边上的高）；

（3）S—（C为三角形ABC的周长'「为A^c的内切圆半径）;

>11

Q+0+C、

⑷；(),(其中

SMBC--x2%]5SMI)C=y1p(p-a\p-b)(p-c)p=---);

%3%1

【11、正弦定理】：

-^—=-^—=-^—=2R,通过变式可得：

sinAsinBsinC

2

SMBC=2RsinAsinBsinC；

S^ABC=—(其中R是AABC的外接圆半径);

4A

【12、余弦定理】：

a2=Z?24-c2-2Z?ccosA；

b2=a2+c2-2accosB；

c2—cT+b2-2abcosC；

变式得：

N+c?-储

cosA=

2bc

a2+c2-h2

cosB=

2ac

"+"一。2

cosC=

2ab

【13、其它公式】;

(1)在锐角三角形ABC中：tanA+tan3+tanC=tanAtanBlanC；

(2)三倍角公式

sin3a=3sina—4sin3a,cos3a=4cos2a—3cosa；

(3)cotA•cotB+cotA•cotC+cotB-cotC=1；

/“、A8BCCA

(4)tan——tan—+tan——tan—+tan—tan—=1t；

222222

ABC

(5)sinA+sinB+sinC=4cos-cos-cos一；

222

ABC

(6)cosA+cosB+cosC=l+4sin-sin-sin一；

222

(7)tan(a+/?+/)-tana+tan/?+tan/-tanatanptany

1-tanortan/?-tan/?tany-tanytana

二、几个经典的三角公式化简题

例1：当百tanJ]=tanB+tanC,且sin2A、sin2B、sin2c的倒数成等差数列时,

tanA

求cosua的值。

2

【解答】：

&tanAtanC-tanA=tanB-+-tanC<=>\/3tanAtanC=tanA+tanB4-tanC

ox/3tanAtanC=tanAtanBtanC<=>tanB=V3,B=—

3

又因为：

----2---------1---+1--------<—>--s-i-n-2--A---+--s-i-n--2--c-——4

sin23sin2Asin2Csin2Asin2C73

2sin(A+C)cos(A-C)4

o-j-------------------------------------=~R

-1[cos(2A+2C)-cos(2A-2C)]小

2

将A+C=一»代入，得:

3

5/3cos(A-C)4

<=>3cos(A-C)=l+2cos(2A-2C)

；---cos(2A-2C)耳

1

<=>4COS*9-(A-C)-3cos(A-C)-1=0ocos(A-C)=1或——

4

,C-Ar-■IC—A11+cos(C—A).>/6

由于cos------->0，所以cos--------=J-----------------=1或——

22V24

例2：设a,/?,/均为锐角，求证：s讥加/+$疗尸2+2cosacQs%0sy成立的充要

条件是a+/?+y=».

证明：①充分性：

八.,,、、1-cos2a1-cos2/71-cos2/

若。+〃+/=4，则左边=——-——+——厂上+——丁上

3131

=---(cos2a+cos2/7+2cos2^)=-^-—[2cos(or+/7)cos(«->?)+cos2(a+尸)]

二T-g12cos(a+/?)cos(a_,)+2cos2(a+⑶_1]

=2-cos(a+乃)[cos(0+/?)+cos(a-尸)]=2-2cos(a+力)cosacos/7

2+2cOS6ZCOSy9COS/=右边；

②必要性：扑sin*236r+sin2/?+sin2/=2+2cosacos/?cos/,

则1-cos26Z+1-cos2/74-1-cos2y=2+2cosacos£cosy，

所以：^l+cos2Cif+COS2/?)4-COS2/+2cOSdZCOS/?COS/=0

=cos(a+0)cos(a-0)+cos2y+2cosacos£cos/=0，

=cos(a+/?)co40一/?)+cos2y+[co〈0+/?)+co-/7)]cosy=0.

=>cos(6z+yff)cos(<z-/?)+coS(6r+^)cos/+cos(6z-^)cos/+cos2/=0：

=cos(a4-尸)[cos(a-7?)+cos/]+kos(a-⑶+cos/]cosy=0

=>[cos(a+/7)+cos/Jcos(a-/?)+cosy]=0；

由和差化积公式可得：

a+尸+ya+(3_ya-B-ya-B-\-y八

cos-------------cos--------------cos--------------cos-------------=()•

2222

山二,/，/均为锐角，

,a+0—ya—0_ya—/7+/

所以：cos------------>0，cos------------->0,cos------------->0，

222

故：只有：COSa+m+7=0,即：a+尸+/=»：得证。

例3：已知A4BC的内角A、B、C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-3)+L,

2

面积S满足14S42,记。、b、c分别为A、B、C所对的边，则下列不等式成立的是

A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16y/2C.6<abc<\2D.\2<abc<2^

【解析】：由题知，sin2A+sin(^--2B)=sin(2C-.所以

2

sin2A+sin2B+sin2C=—.

2

所以sin(2万-2B-2C)+sin23+sin2C=—,

2

所以一sin(2B+2C)+sin28+sin2C=g，

化简得sinAsin8sinC=L,设AA8C的外接圆半径为R,

8

iqi

由5=—H?sinC及正弦定理得：sinAsinsinC=--=-，所以R2=4S，

22R~8

因为1WSK2,所以44/?2«8,由41145布55由。=1可得次七=&€[8,160],显然

8

选项C、D均不一定正确°

对丁A：hc(h+c)>ahc>S>故A选项是正确的；

对于B：a/?(a+Z?)>出?,故B选项不一定正确；

故：答案选A

例4：在AA5c中，cotA+cotB+cotC=73,试确定AABC的形状。

解析：

cotA+cotjB+cotC=cotA+cotB+cot(^-A-jB)=cotA+cotB-cot(A+B)=V3

cotA-cotB-1

因为：cot（A+8）

cotA+cotB

.n1-COtAcotBFT

所以：cotA+cotB+-------------------=J3

cotA+cotB

cotA+cot5=xi-

令：=>xo2-yJ3x+l=y

cotAcotB=y

设:cotAcotB为一元二次方程的两个根，则:

产一H+y=0

即：方程•定有2个实根，所以：A=x2—4yN0,把nd—岳+1=丁带入得:

/—4（J-瓜+1）20=卜回》一21<0,即"=平时成立;

1百

从而y=—=>cotA=cotB=——，所以AABC为等边三角形。

33

一”-3兀4八3V2cos(cr+A)cos(a+B)V2,,..,

例5：设。二一，cosAcosB=—,---------------------------=——,n则ltana的值s为

45cosa5

(sinasinA-cosacosA)(sinasinB-cosacos8)_叵

解答：由题意得:

cos%5

因此：(tanasinA-cosA^anasinB-cosfi)=

可仔：tan2asinAsinB-1an6z(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosB=-y

叵

化简得：tan2asinAsinB-tancrsin(A+B)+cosAcosB=^-.

因为：。=网，则A+B=工，所以：sin(A+B)=—：

442

3J2