中学数学 利用导数研究函数的极值和最值（含答案）

专题4利用导数研究函数的极值和最值专题知识梳理1.函数的极值（1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都有.就说是函数的一个极小值，记作y极小值=，是极小值点。极大值与极小值统称为极值.(2)判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.(3)求可导函数f(x)的极值的步骤:①确定函数的定义区间，求导数;②求出方程的定义域内的所有实数根；③用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。④根据表格下结论并求出需要的极值。2.函数的最值（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作;（2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值．（3）求函数在上的最大值与最小值的步骤：①求在内的极值；②将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,从而得出函数在上的最值。考点探究考向1利用导数研究函数的极值【例】已知函数，求函数的极值.【解析】因为，所以,令，得，列表:-0+单调递减极小值单调递增所以是的极小值1，无极大值。题组训练1.函数的极大值是________，极小值是________．【解析】，令，解得.当变化时，，的变化情况如下表：－2(－2,2)2＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝eq\f(17,3)；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－5.2.已知函数在处有极值10，求的值。【解析】,或．①当时,在处不存在极值．②当时，，；,符合题意．所以．．3.（易错题）若函数SKIPIF1<0在其定义域内的一个子区间SKIPIF1<0内有极值，则实数的取值范围_____.【解析】因为函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0；知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，在SKIPIF1<0上是减函数．因此要使函数SKIPIF1<0在其定义域内的一个子区间SKIPIF1<0内不是单调函数，必须且只需SKIPIF1<0．4.已知函数的极大值点和极小值点都在区间内,则实数的取值范围是．【解析】考向2利用导数研究函数的最值【例】已知函数.(1)求函数在上的最值；(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．【解析】(1)因为f′(x)＝lnx＋1，令，得，列表：-0+单调递减极小值单调递增所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,e)lneq\f(1,e)＝－eq\f(1,e).又因为,所以(2)由题知F(x)＝lnx－eq\f(a,x)，F′(x)＝eq\f(x＋a,x2).①当时，在上恒成立，F(x)在[1，e]上单调递增，F(x)min＝F(1)＝－a＝eq\f(3,2)，解得：(舍去)．②当时，在上恒成立，F(x)在[1，e]上单调递减，，解得：(舍去)．③时，令,解得,列表：-0+单调递减极小值单调递增,解得：综上所述，.题组训练1.函数在区间上的最小值为______．【解析】，．令，解得，当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：＋－单调递增极大值单调递减极小值π由上表可知，函数在区间上的极小值为,又因为，所以在区间上的最小值为0.2.设函数．（1）若在上递增，求实数的取值范围；（2）求在上的最小值．【解析】（1）由已知在上恒成立，则，又，.(2)，①当时，，单调递增，则；②当时，在上单调递减，在上单调递增，则；③当时，，单调递减，则；综上：考向3最（极）值的综合问题【例】已知函数．(1)求函数的单调区间和极值点；(2)若在恒成立，求实数的取值范围．【解析】：（1）函数的定义域为,①即时，恒成立，所以在上单调递增，无极值点 ②即时，令，解得,列表＋－+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的增区间是，减区间是,极大值点是，极小值点是。（2）即,因为,所以令,则,在上恒成立，所以在上递增，,即,故在上为增函数,所以.题组训练1.已知函数的定义域为为的导函数．（1）求方程的解集；（2）求函数的最大值与最小值；（3）若函数在定义域上恰有2个极值点，求实数的取值范围.【解析】（1）因为,令,解得：或（2）因为令，解得或0001所以的最大值为，所以的最小值为（3）因为，所以函数在定义域上恰有2个极值点，等价于在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即与的图象恰有两个交点。由（2）知，，若，则，所以至多只有1个零点，不成立。所以只有若,则，所以只有1个零点，不成立。所以若，即,在处同号，不成立，若，则有3个零点，不成立，所以只有.所以满足条件：解得：或2.设函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是____________．【解析】f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(2,3)，又f(1)＝eq\f(7,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(157,27)，f(－1)＝eq\f(11,2)，f(2)＝7，故f(x)min＝eq\f(7,2)，所以a<eq\f(7,2).3.已知函数．（1）求函数在区间上的最小值；（2）若，使成立，求实数的最大值．【解析】（1），令，则，当时，在上单调递增，的最小值为；当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，的最小值为.综上，.（2），.，，使得成立.令，则，令，则由可得或（舍）当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增.在上恒成立.在上单调递增.，即.实数a的最大值为1.4.已知函数（为实数），（其中为常数