吉林省十一校联考2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2023~2024学年度高一年级上学期期中考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的运算求解即可.【详解】因为，所以．故选：B.2.“所有的长方体都有12条棱”的否定是（）A.所有的长方体都没有12条棱 B.有些长方体没有12条棱C.有些长方体有12条棱 D.所有的长方体不都有12条棱【答案】B【解析】【分析】利用全称命题否定的方法进行判断.更多优质支援请嘉威鑫MXSJ663【详解】“所有长方体都有12条棱”的否定是“有些长方体没有12条棱”.故选：B.3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可.【详解】因为的定义域为，所以，解得．故选：D.4.高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（）A.3人 B.2人 C.1人 D.4人【答案】C【解析】【分析】作出图形即可得到方程，解出即可.【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得．故选：C.5.函数部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.【详解】由已知，，则，故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；当时，，则，故AD项错误，应选B.又设，且，则，故，则有，即，故在上单调递减.综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.故选：B.6.设等腰三角形腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案.【详解】若“的周长为16”，则，解得，所以“其中一条边长为6”.若“其中一条边长为6”，如，则，此时三角形的周长为，即无法得出“的周长为16”，所以“的周长为16”是“其中一条边长为6”充分不必要条件.故选：A7.若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分和两种情况讨论即可.【详解】不等式转化为．当，即时，恒成立，符合题意．当时，，解得．故的取值范围为．故选：D.8.定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】依题意，定义域为的函数满足，所以的图象关于直线对称，而时，恒成立，所以在区间上单调递增，，，，，所以，所以.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.【详解】选项A，因为，且两函数定义域都是，故两函数是同一个函数，所以A正确；选项B，因为的定义域为，而的定义域为，故两函数不是同一个函数，所以B错误；选项C，，且定义域都，故两函数是同一个函数，所以C正确；选项D，的定义域为，的定义域为，故两函数不是同一个函数，所以D错误.故选：AC.10.已知幂函数满足，则（）A. B.C.的图象经过原点 D.的图象不经过第二象限【答案】ACD【解析】【分析】根据幂函数的概念与指数幂的运算得，结合图象逐项判断即可得答案.【详解】设幂函数，根据题意可得，解得，则，的图象如图所示：则的图象经过原点，不经过第二象限．故选：ACD.11.已知函数的定义域为，则“为偶函数”的一个必要不充分条件可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用偶函数的性质逐项判断即可.【详解】若为偶函数，不一定成立，但，．由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个必要不充分条件，故A正确；；若，则为偶函数，是“为偶函数”的一个充分必要条件，故B错误；由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个不必要不充分条件，故C错误；由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个必要不充分条件，故D正确；故选：AD.12.函数在上的最大值为4，最小值为，则的值可能为（）A. B. C.8 D.9【答案】BCD【解析】【分析】分类讨论得到的图象，然后分、和三种情况讨论求解即可.【详解】当时，；当时，．作出的图象，如图所示．当时，由，即，解得．当时，．当时，由，即，解得．当时，．根据在上的最大值为4，最小值为，可对作如下讨论：若，则，不合题意；若，则，不合题意；若，则，令，解得（舍去）或5．综上可得，，，故．故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某停车场的收费规则：停车1小时以内（含1小时整）收费5元；停车超过1小时，超出部分按每小时2元收费，不足1小时按1小时收费．王先生某日上午10：00进入该停车场停车，当日下午2：35驶出该停车场，则王先生应付的停车费为______元．【答案】13【解析】【分析】根据题意得到王先生的停车时长，然后求停车费即可.【详解】依题意得，王先生的停车时长为4小时35分，则按5小时计费，王先生应付的停车费为元．故答案为：13.14.已知是定义在上的奇函数，则______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，又因为是奇函数，则恒成立，即恒成立，化简得，因为该等式对恒成立，所以.故答案为：；.15.已知，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】因为，所以，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：16.已知是定义在上的单调函数，且，，则______．【答案】14【解析】【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.【详解】，，是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，，解得，得，所以.故答案为：14.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到集合，然后求交集即可；（2）根据得到，然后分和两种情况求解即可.【小问1详解】当时，，因为，所以．【小问2详解】因为，所以．当时，，解得．当时，，解得．综上，m的取值范围为．18.已知正实数，满足．（1）求的最大值；（2）证明：．【答案】（1）9（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式求最大值即可；（2）利用基本不等式证明即可.【小问1详解】解：因为，，，所以，则，解得，即，当且仅当时，等号成立．故的最大值为9．【小问2详解】证明：（方法一）因为，解得或（舍去），当且仅当时，等号成立．故，即得证．（方法二）由（1）得，则，故，即得证．19.已知函数．（1）求的解析式；（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）（2）单调递增，证明详见解析【解析】【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.【小问1详解】，所以.【小问2详解】，在上单调递增，证明如下：设，，其中，所以，所以，所以在上单调递增.20.已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，【答案】（1）当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低（2），最大值为万元【解析】【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.【小问1详解】依题意，，解得，所以，，当且仅当时等号成立，所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.【小问2详解】依题意，，当万吨时，取得最大值为万元.21.已知关于的不等式．（1）若原不等式的解集为或，求的值；（2）若，且原不等式的解集中恰有8个质数，求的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集和方程的根之间的关系求解即可；（2）根据不等式的解集和质数的定义列不等式求解即可.【小问1详解】由题意得，1是关于的方程的两根，且，则，，解得．【小问2详解】不等式可化，因为，所以关于的方程的两