（人教A版）2021年新高一数学暑假讲义-第三讲 集合之间的关系（一）（教师版）

第三讲：集合之间的关系(一)

W【学习目标】

1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念;

2.能用符号和Venn图表达集合间的关系；

3.掌握列举有限集的所有子集的方法.

解【基础知识】

一、子集、真子集、集合相等

1.子集、真子集、集合相等的相关概念

定义符号表示图形表示

如果集合A中的任意一个元素都是集

AQB

子集合8中的元素，就称集合A是集合3（^0）

（或8口4）

的子集

如果集合但存在元素x68,

AUB

真子集且出,就称集合A是集合8的真子

（或3BA）

集

如果集合A的任何一个元素都是集合

B的元素，同时集合B的任何一个元

集合相等A=B

素都是集合A的元素，那么集合A与

集合B相等

二、子集的性质

(1)任何一个集合是它本身的子集,即AUA.

(2)对于集合A,B,C,如果AUB,且BUC,那么AUC.

三、空集

1.定义：不含任何元素的集合叫做空集,记为巴

2.规定：空集是任何集会的子集.

学【考点剖析】

考点一：简单集合间关系的判断

k1k1

八―例1.设集合〃={X|X=7+：«£Z},N={X|X|X=：+不ZEZ},则M，N的关系为（）

LEI3663

A.MqNB.M=NC.MD.MeN

【答案】A

【详解】

k1k12^+1

集合M={x|x=—+—,ZEZ}中的元素，满足%=勺+:=」^,keZ、

36366

k\k1斤+2

集合N={x|x|%=:,ZEZ}中的元素，满足x=5+：=keZ,

63636

・・・2Z+1表示所有的奇数，Z+2表示所有的整数：

:.MjN

故选：A.

变式训练1：集合M=k|x=2",〃eN},N={x|x=2〃,〃cN},则集合"与N的关系是（）

A.M=NB.NjMC.AfQ=0D.MgN且.NgM

【答案】D

【详解】

因为leM，leN且OeN,O^M,所以M（zN且N（zM.

故选：D.

7/TTTTTT

变式训练2：若集合M={x|x=h2—2,左eZ},N={x|x=旌兰+2,ZeZ},则（）

2442

A.M=NB.M=NC.N三MD.Mp|N=0

【答案】B

【详解】

77'JI

k--------=（2^-1）--,keZ时，2攵一1取得所有奇数，

244

'Ji'）1

k--+-^（k+2）--,ZeZ时，Z+2取得整数

424

因此MqN.

故选:B.

变式训练3：设集合P={y|y=x2+i},M={Ny=x2+i},则集合用与集合P的关系是（）

A.M=PB.PGMC.MVPD.PUM

【答案】D

【详解】

「=卜}=炉+1}={田丁21}=[1，M），M=岗），=》2+1}=火，

所以PUM.

故选：D.

考点二：集合之间的关系

例2：下列六个关系式：①{兄。}={d。}；②{a,例三协,。}；③0={0}；④{0}=0；⑤01{0}；

⑥0G{（）}.其中正确的个数是（）

A.1B.3C.4D.6

答案：C

解析：①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，。表示空集，而{0}

表示的是含0这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为0€{0};④错误，。表示空集，而{0}表示

含有一个元素。的集合，并非空集，应改为0c{0}：⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是

元素与集合的关系.

变式训练1：以下六个关系式：0e{0},{0}30,0.3/Q,OeN,{a,b}^{b,a},

{x|V—2=o,xeZ}是空集，错误的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【详解】

根据元素与集合间的关系可判定0e{0}、OeN正确，0.3任。不正确，根据集合与集合之间的关系可判定

{O}o0,{a,b}^{b,a},{x|/-2=0,》62}是空集正确

故选：D

变式训练2：下列写法：(1){0}e{2,3,4);(2)0o{O};(3){-1,0,1}={0,-1,1}：(4)Oe0,

其中错误写法的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】

由集合与集合的关系可知，（1）错误；空集是任何集合的子集，（2）正确；由集合的无序性以及集合相等

的定义可知，（3）正确；空集是不含任何元素的集合，（4）错误；

故选：B

变式训练3已知集合4=@|/=4},①2qA；②{-2}eA；③。叫A；④{—2,2}=A；⑤一2G4则

上列式子表示正确的有几个（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】

'.1A=x2=41={-2,2},故④正确，

，2eA,故①错误；—2eA，故⑤正确；{一2}14,故②错误；0=4,故③正确.

所以正确的有3个.

故选：C.

考点三：确定集合的子集、真子集

例2.设4={%|（》2—16）（/+5》+4）=0},写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集.

解：由（x2—16）（x2+5x+4）=0,得（x—4）（x+l）（x+4）2=0,

解方程得x=—4或x=—1或x=4.

故集合A={-4,-1,4）.

山0个元素构成的子集为0;

由1个元素构成的子集为{-4},{一1},{4}；

由2个元素构成的子集为{-4,-1）,{-4,4},{-1,4}；

由3个元素构成的子集为{-4,-1,4}.

因此集合A的子集为0,{-4},{一1},{4},{-4,-1},{-4,4}.{-1,4},{-4,-1,4}.

真子集为0，L4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4}.{-1,4}.

变式训练1：集合{1,2}的子集有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

答案：A

解析：集合{1,2}的子集有。，{1},{2},{1,2},共4个.

变式训练2：写出集合{a,。,c}的所有子集，并指出其中的真子集的个数.

解：集合{a,b,c）的子集有0,{a},{b},（c）,（a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其中除{a,b,c}外,

都是{a,b,c）的真子集，共7个.

考点四：子集、真子集的个数

d」4.集合A={a,h,c,d}非空子集的个数是（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【详解】

,集合A={a,b,c,d}中有4个元素,

.••非空子集的个数为：24-1=15,

故选：C.

变式训练1：已知集合用={0,1,2},则M的子集有（）

A.3个B.4个C.7个D.8个

【答案】D

【详解】

因为集合M={0,1,2}共有3个元素，所以子集个数为23=8个.

故选：D.

变式训练2：若集合A={xeZ|—1<x<2）,则A的真子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】

因为集合4={xeZ|—l<x<2},所有集合人={0,1},

所以A的真子集个数为：22—2=3.

故选：C

变式训练3：已知集合4={42*—[42,xeZ},则集合A的子集个数为（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【详解】

A=|x||2x-l|<2,xeZ}=jx|-^<x<|,xez|={O,l},共两个元素

则集合A的子集个数为2?=4

故选：D

考点三：子集、真子集的个数

任[例4.已知集合满足{l,2}qAq{l,2,3},则集合A可以是（）

A.{3}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2}

【答案】D

【详解】

・•・{1,2}口41{1,2,3},

二集合A可以是{1,2},{1,2,3）.

故选：D.

变式训练1：设全集Q={x|2f-5x«0,xeN},且PqQ,则满足条件的集合P的个数是（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【详解】

由不等式2f—5x<0,解得04x«|,即°=卜疝2—5%〈0,%€珏={0,1,2}

又由。£Q，可得满足条件的集合P的个数为23=8.

故选：D

变式训练2：已知{出2-3》+2=0}141{1,2,3,4,5,6},则集合A的个数为（）

A.18B.16C.15D.8

【答案】B

【详解】

•.•｛X|X2-3X+2=0｝=｛1,2｝,所以，｛1,2｝q｛1,2,3,4,5,6｝,

则满足条件的集合A有:｛1,2｝、｛1,2,3｝、｛1,2,4｝、｛1,2,5｝、｛1,2,6｝、｛1,2,3,4｝、｛1,2,3,5｝、｛1,2,3,6｝、

｛124,5｝、｛1,2,4,6｝、｛1,2,5,6｝、｛1,2,3,4,5｝、｛1,2,3,4,6｝、｛1,2,3,5,6｝、｛1,2,4,5,6｝,｛1,2,3,4,5,6｝,

共16个，

故选：B.

变式训练3：已知集合4=｛小2-3%+2=0｝,8=｛x[0<x<6,xeN｝,则满足的集合C的

个数为()

A.7B.6C.5D.8

【答案】A

【详解】

解：A=｛X|X2_3X+2=O｝=｛],2｝,8=｛x|0<x<6,xeN｝=｛l,2,3,4,5｝,

AcCB,

则集合C的个数与集合｛3,4,5｝的真子集个数一样，即有23-1=7个.

故选：A.

考点四：集合相等

例4.已知集合A=｛O,a+b,j-｝,B=｛0,1-),1｝,(。，/?€7?),若71=3，则。+26=()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【详解】

•.•集合A=",a+%),8=｛0,l—仇1｝,且A=B，

a+b=\—b^—=1,或a+Z?=l,3=l一

bb

先考虑。+匕==1,解得a=b=1,

h3

此时A=[o,|』1,B=满足题意，

a+2h=l；

再考虑。+〃=1,@=l-b,解得a=O,b=1,

h

此时A={0,1,0},3={0,0,1},不满足题意，

综上，a+2b=\

故选：D

变式训练1：下列集合与集合A={2,3}相等的是（）

A.{（2,3）}B.{（x,y）|x=2,y=3}

C.{x*_5%+6=0}D.{x=2,y=3}

【答案】C

【详解】

集合A表示数字2和3的集合.

对于A：集合中的元素代表点（2,3）,与集合A不同，A错误；

对于B：集合中的元素代表点（2,3）,与集合A不同，B错误；

对于C：山％2_5%+6=0得：x=2或x=3，与集合A元素相同，C正确；

对于D：表示两个代数式的集合，与集合A不同，D错误.

故选：C.

变式训练2:已知a,beR,若{。,一,1}={。2,4+庆0},则〃2021+/?2021的值为（）

a

A.-1B.0C.1D.—1或0

【答案】A

【详解】

由且QHO，则2=0,

IaJa

:.b=0,于是〃2=1，解得。=1或。=一1.

根据集合中元素的互异性可知夕=1应舍去，

因止匕。=—1,

故〃2。21+62021=（7）202,02021=—].

故选：A.

变式训练3：已知aeR,h&R,若集合信,幺1}={"，。一"0},则/。2。+伯+1产。的值为（）

a

A.2B.1C.-2D・-1

【答案】A

【详解】

由题意，集合*,，1}={。2,。一40},可得3=0,即匕=0，

除=1

所以{。,0,1}={/,0,0},可得[二，解得a=T,

所以a2O2O+（b+1）2020=（-1）2020+（0+1产。=2,

即。2。2。+9+1）2。2。的值2.

故选：A.

【真题演练】

1、【2012新课标，文1］已知集合A={x|%2-x-2<0},B={X|-1<%<1},则()

A.At)8B.Bt)AC.A=BD.AQB=0

【答案】B

【解析】A=(-1,2),故BUA,故选B.

2、【2015重庆，理1】已知集合4={1,2,3},5={2,3},则（）

A.A=BB.An_8=0C.AUBD.B\jA

【答案】D

【解析】由于26426及3€43€氏1641史8,故人、8、（：均错，D是正确的，选D.

3、【2012大纲，文1】已知集合4={兀I%是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},

£>={xI%是菱形},则()

A^BB.CQBC.DJCD.AND

【答案】B【解析】•.•正方形一定是矩形，是8的子集，故选3.

4、[2012年湖北，文1】己知集合4={*|/-3工+2=0,X€用，B={x|O<x<5,xeN}-,则满足条件

A=的集合。的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】求解一元二次方程，A={x|x2-3x+2=O,xeR}={l,2},易知

5={X[0<X<5,XGN}={1,2,3,4}.因为=所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,

2,且可能含有元素3,4,原题即求集合{3,4}的子集个数，即有2?=4个.故选D.

当堂小结】

1、知识清单:

(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断.

(2)求子集、真子集的个数问题.

2、方法归纳：分类讨论.

L^J【过关检测】

1、下列各式中，正确的是()

®{0}e{0,l,2};②{0,1,2}12,1,0}；③0=0,1,2}；©0={0};⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.

A.①②B.②⑤C.④⑥D.②③

【答案】D

【详解】

①集合之间没有属于、不属于关系，错误.

②{0,1,2},{2,1,0}是相等的,故{0,1,2}=2,1,0}成立，正确.

③空集时任何集合的子集，正确.

④0,{0}不相等,错误.

⑤{0,1},{(0,1)}集合研究的元素不一样，没有相等或包含关系，错误.

@0e{0},元素与集合只有属于、不属于关系，错误.

故选：D

2、给出下列关系式：①g=Q；②0q{x|炉+x+i=o}；③{(l,-4)}q{(x,y)|y=f_2x_3}；④

{x[2<x}=[2,+8),其中正确关系式的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【详解】

2

对于①§eQ，元素与集合间的关系为属于关系，不是包含关系，故①错误：

对于②空集是任何集合的子集，故②正确；

对于③，{(l,-4)k{(x,y)|尸》2一2%一3}点(1,-4)为抛物线”犬一2无一3上的点，故③正确；

对于④{x[2<x}=[2,+8),故④错误；

所以正确的个数为2个.

故选：C.

3、下列关系式中正确的个数是()个

①geQ;②6eR;③OeN*;④4eZ；⑤{0}={小2=q；⑥0§{0}

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】

①Q为有理数集，所以;eQ正确；

②H为实数集，所以不正确；

③N*为正整数集，所以OeN*不正确；

④Z为整数集，所以;reZ不正确；

⑤{小2=x}={小2—X=o}={0,1},故{0}={小2=x}不正确;

⑥。是不含任何元素的子集，是任一非空集合的真子集，所以0£｛0｝正确.

综上，正确的只有①⑥，共2个.

故选：B.

4、给出下列说法:①②0g｛0,1,2｝；③｛1｝口｛0,1,2｝；④｛0,1,2｝=｛2,0/｝.其中正确的个数为

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】

对于①，由元素与集合的关系可知正确；

对于②，由空集是任意集合的子集知正确；

对于③，根据集合间的关系知正确；

对于④，由集合中元素具有无序性知正确.

故选：D.

5、在①1=0,1,2｝；②｛1｝"0,1,2｝；③｛0,1,2｝工｛0,1,2｝；④0=0｝上述四个关系中，错误的个数

是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】

解：“=”表示集合与集合间的关系，所以①错误；

集合｛0,1,2｝中元素是数，⑴不是集合｛0,1,2｝元素,所以②错误;

根据子集的定义，｛0,1,2｝是自身的子集，

空集是任何非空集合的真子集，所以③④正确；

所表示的关系中，错误的个数是2.

故选：B.

6、已知集合2=｛1,2,3,4｝,则满足｛l,2｝qQ鼠P的集合。的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】

解：由题题意可知,满足条件的集合Q有口,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个.

故选：D.

7、以下六个命题中：0e{0}；{0}30；0.3eQ；OGN；[a,b]^{b,a}；{x|/一2=0,%62}是空

集.正确的个数是（）

A.4B.3C.5D.2

【答案】C

【详解】

根据元素与集合间的关系可判定0e{0}、OeN正确，03任。不正确，根据集合与集合之间的关系可判定

{0}。0、{a,b}q{b,a}、{乂M-2=0,xez}是空集正确.

故选：C.

8、已知集合4="次2-3九+2=0,xeR},3={x|0<x<6,xeN},则满足条件AgCq3的集合C

的个数为（）

A.3B.4C.8D.16

【答案】C

【详解】

A={x|%2—3x+2=0,xeR}={1,2}

3={x|0<x<6,xeN}={l,2,3,4,5}

由则集合C中必有元素1,2,而元素3,4,5可以没有，可以有1个，或2个，或3个.

即满足条件的集合C为：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,234},

{1,24,5},{1,2,3,5},{1,2,4,3,5}共8个

故选：C

9、若{1,2}cMc{0,1,2,3,4},则满足条件的集合M的个数为（）

A.7B.8C.31D.32

【答案】B

【详解】

由题意，因为{1,2}=M={0,1,2,3,4},

所以集合Af中至少含有1，2两个元素，至多含有0,1,2,3,4

这5个元素，因此集合M的个数即为集合［0,3,4}的子集个数，即为23=8个.

故选：B.

10、已知集合M满足{1}1用？{1,2,3},则满足条件的集合M的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】

因为集合〃满足{1}£例？{1,2,3},

所以满足条件的集合〃有：{1},{2},{1,2}，

即集合M的个数是3,

故选：B.

14、下列集合与集合A={1,3}相等的是（）

A.（1,3）B.{（1,3）}

C.|x|x2-4x+3=o1D.{（x,y）|x=l,y=3}

【答案】C

【详解】

A项不是集合，B项与D项中的集合是由点坐标组成，

C项：％2_以+3=0，即（x—3）（x—1）=0,解得x=3或x=l,

集合忖/_©+3=0}即集合{1,3},

因为若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，

所以与集合A={1,3}相等的是集合卜卜2一以+3=0},

故选：C.

b,

15、已知aeR,beR,若集合{。,一,1}={/,。+九0},则储叫+从（）19的值为（）

a

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【详