（人教A版）2021年新高二数学暑假讲义-第十讲 函数的图象（学生版）

第十讲函数的图象

【基础知识】

1.利用描点法作函数的图象

步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期

性、对称性等）；（4）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等）,

描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

⑴平移变换

|吃）+」|

上个单位

移

ML<’：：啊n丑…）।

下

移MAX））个单位

I

（2）对称变换

y=外幻的图象——关于x轴对称一:二^的图象；

）=/）的图象——关于［轴对称一>y="力的图象；

y=Kx）的图象----关丁:原点对称——»y=一日一x）的图象；

y=a\a>0,且的图象一~关了月.线？二工对称一丫=］0々内（4〉0,且。#1）的图象.

（3）伸缩变换

纵坐标不变

y=/U）-----------------------；-------------y=j{ax）.

各点横坐标变为原来的£（。>0）倍

横坐标不变

y=/U）--------------------------------------=A/U）.

各点纵坐标变为原来的4A>0）倍

（4）翻折变换

无轴下方部分翻折到上方

y=Kx）的图象——；［二的图象;

x轴及上方部分不变

y轴右侧部分翻折到左侧

y=/仇)的图象盾二八二二八土玷“皿7行》产4曲的图象.

原y轴左侧部分去掉，右侧不变

［微点提醒］

记住几个重要结论

(1)函数y=/(x)与>=42&—x)的图象关于直线x=a对称.

⑵函数y=/U)与y=2〃一式2a—x)的图象关于点(a,加中心对称.

(3)若函数y=/(x)对定义域内任意自变量x满足：J［a+x)=j{a—x),则函数y=/(x)的图象关于直

线x=a对称.

【考点剖析】

考点一作函数的图象

【例1】作出下列函数的图象：

n\w

(l)y=|jJ；(2)y=|log2(x+l)|；(3)y=f—2凶一1.

【解析】(1)先作出y=(0的图象，保留y=Q)图象中x20的部分，再作出y=g)的图象

中x>0部分关于y轴的对称部分，即得)，=(?的图象，如图①实线部分.

⑵将函数y=log2X的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到

函数y=|log2(x+l)|的图象，如图②.

(3)；y=;二’且函数为偶函数，先用描点法作出［0，+8)上的图象，再根据对

I2x19x<0,

称性作出(-8,0)上的图象，得图象如图③.

规律方法作函数图象的一般方法

(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描

出图象的关键点直接作出.

(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象

变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

考点二函数图象的辨识

【解析】(1)法一易知g(x)=x+学为奇函数，故y=l+x+誓的图象关于点(0,1)对

称，排除C；当xG(0,1)时，>»0,排除A；当尤=无时，丫=1+兀，排除B,选项D满足.

法二当x=l时，/Q)=l+l+sinl=2+sin1>2,排除A,C；又当x—+8时，y--Foo,排

除B,而D满足.

(2)*x)=2f-e叫xE［-2,2］是偶函数,

又_A2)=8—e2©(0,1),排除选项A,B；

当x20时，fix)=2x2~ex,/(x)=4x—eA,

所以八0)=—1<0,/(2)=8-e2>0,

所以函数./U)在(0,2)上有解，

故函数凡外在［0,2］上不单调，排除C,故选D.

规律方法1.抓住函数的性质，定性分析：

⑴从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数

的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从周期性，判断图象的循环往复；（4）从函数的奇偶性，

判断图象的对称性.

2.抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.

考点三函数图象的应用

【例3—1】已知函数7U）=x|x|-2x,则下列结论正确的是（）

AKx）是偶函数，递增区间是（0,+°°）

是偶函数，递减区间是（一8,1）

C：*X）是奇函数，递减区间是（一1,1）

是奇函数，递增区间是（一8,0）

【解析】将函数/U）=xR—版去掉绝对值得

X2—2x,x20,

fix）="~

[—A2x,x<0,

画出函数“0的图象，如图，观察图象可知，函数yu）的图象关于原点对称，故函数为奇函

数，且在（一1,1）上是减少的.

【例3—2】已知函数y=/（x）的图象是如图所示的折线ACB,且函数g（x）=log2（龙+1）”，则不

等式式幻2g（x）的解集是（）

A.{x|-l<x<0}

B.{x|TWxWl}

C.{A|-1<XW1}

D.{X|-14W2}

【解析】令g(x)=y=log2(x+l),

作出函数g(x)图象如图,

g(x)=log2(.v+l)

x+y=2,

sy=log2(x+1),

结合图象知不等式/U)2k)g2(x+1)的解集为{川一

【例3—3】已知函数兀其中加＞0.若存在实数A使得关于x的方程

J{x)=b有三个不同的根，则"2的取值范围是.

【解析】在同一坐标系中，作y=/(x)与的图象.

当x＞m时，x2—2mx+47??=(x—m)2+4m—nr,

...要使方程有三个不同的根，则有4，“一，“2＜加，

即加―3加＞0.又加＞0,解得m＞3.

规律方法1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，

其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质

与图象特征的对应关系.

2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程兀r)=g(x)的根就是函数/U)与g(x)

图象交点的横坐标；不等式y(x)＜g(x)的解集是函数/U)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标

的集合，体现了数形结合思想.

【真题演练】

1.(2021•浙江高考真题)已知函数/(x)=x2+!，g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

y

B-y"（x）-g（x）T

c、，一g（X）

c.y=f(x)g(x)D.y=------

于（X）

（2021.全国高三其他模拟）函数”x）=x2sinx+g在［T,4］上的图象大致为（）

2.

（2021•宁波中学高三其他模拟）函数〃x）=（2二2-m2”的图象大致为（）

3.

x

4.（2021•陕西咸阳市•高三其他模拟）已知函数/（x）=JpH（aeR）,则y=/（幻的大致图象不可能

为（）

5.(2021.全国高考真题(文))已知函数/(x)=K-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-l|.

(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像;

⑵若/(x+a)2g(x),求a的取值范围.

【过关检测】

1.函数/(x)=e"sinx(r为常数，，＞0,e为自然对数的底数)的图象可能为()

3.已知函数/(x)=xsitu:,则其大致图象是下列图中的()

4.函数/（幻=£^的图象是（）

eA+e

5.以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）

_(x2+\)ex