《高职应用数学》教案 第40课 微分方程的应用

第40课微分方程的应用课题微分方程的应用课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．掌握用微分方程解决实际问题的方法2．掌握用MATLAB求解微分方程的方法思政育人目标：通过利用微分方程解决实际问题，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：微分方程的建立教学难点：微分方程的建立教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→复习（10min）→讲授新课（33min）第二节课：讲授新课（15min）→课堂测验（15min）→数学实验（12min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：用微分方程能够解决哪些实际问题？【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10min）【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（33min）【教师】讲解数学建模的概念和作用数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段．数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程．这里的“实际现象”既包含具体的自然现象（如自由落体现象），也包含抽象的现象（如顾客对某种商品所取的价值倾向）．这里的“描述”不但包括外在形态和内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容的描述．数学模型就是对实际问题的一种数学表述．【教师】通过案例，讲解微分方程在冷却模型中的应用例1假设一高温物体在冷却剂中均匀冷却，其介质（冷却剂）温度始终保持为10℃，物体的初始温度为200℃，且由200℃冷却到100℃需要40s．已知冷却定律：冷却速率与物体和介质的温度差成正比．试建立物体温度变化的数学模型，并求出物体温度降到20℃所需的时间例1解设物体温度为，它是时间t的函数，则物体的冷却速率就是温度对时间t的变化率，即．因此，由冷却定律可得应满足的微分方程为，其中比例系数．由于物体在冷却中降温，因此温度变化率为负，上式右端有负号．此外，由题意知所满足的初始条件为，于是，初值问题为解此初值问题，得特解．下面由题意确定比例系数k．因为该物体由200℃冷却到100℃需要40s，即，解得，从而得物体温度θ变化的数学模型为．由上式可见，物体的冷却是按指数规律变化的．当t增加时，温度开始时下降得比较快，以后逐渐变慢而趋于环境温度．将代入上式得，即物体温度降到20℃大约需要2分38秒．【教师】通过案例，讲解微分方程在振动模型中的应用振动是生活与工程中的常见现象，研究振动规律有着极其重要的意义．在自然界中，许多振动现象都可以抽象为下述振动问题．例2设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m例2图7-2解当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力的大小相等、方向相反，这个位置就是物体的平衡位置，如图7-2所示，取x轴垂直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点．图7-2如果使物体具有一个初速度，那么物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近上下振动．在振动过程中，物体的位置x随时间t变化，即x是t的函数．要确定物体的振动规律，就是要求出函数．由力学知道，弹簧使物体回到平衡位置的弹性恢复力f和物体离开平衡位置的位移x成正比，即有．其中，c为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力的方向和物体的位移方向相反．另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质（如空气、油等）的阻力作用，以致振动逐渐趋于停止．由实验知道，阻力R总与运动方向相反，当振动不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为，则有．根据上述关于物体受力情况的分析，由牛顿第二定律得，移项，并设，，则上式化为．这就是在有阻尼的情况下物体自由振动的微分方程．若物体在振动过程中还受到垂直阻力的作用，则，其中．这就是强迫振动的微分方程．【学生】掌握微分方程在物体冷却和物体振动问题中的应用学习微分方程在物体冷却和物体振动问题中的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第二节课讲授新课（15min）【教师】通过案例，讲解微分方程在人口模型中的应用例318世纪末，英国人口统计学家马尔萨斯在研究了百余年的人口统计资料后例3解设时刻t的人口为，净相对增长率为r，把当作连续变量考虑，按照马尔萨斯的假设，在t到时间内人口的增长量为．设时的人口为，于是即为马尔萨斯的人口模型，用分离变量法求出其解为．若，则此式表明人口将以指数规律增长．特别地，当时，，这似乎不太可能．这个模型与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据恰好吻合，但是当后来人们用它与19世纪的美国人口资料比较时，却发现了相当大的差异．分析表明，上述现象的主要原因是随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著．人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量后，这个增长率就会随着人口的增长而减少，因此应对指数模型中关于净相对增长率为常数的假设进行修改．【学生】掌握微分方程在人口问题中的应用学习微分方程在人口问题中的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（15min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目的正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象数学实验（12min）☞使用MATLAB进行数学实验【教师】演示用MATLAB求解微分方程在MATLAB中使用dsolve函数求解微分方程，其调用格式为y=dsolve('微分方程','初始条件','自变量')注：（1）利用dsolve函数求解微分方程只能用字符串方式表示，自变量缺省值为t；（2）一阶导数用D表示，二阶导数用D2表示，以此类推；（3）所求的是方例1求微分方程．例1解在命令窗口输入：>>y=dsolve('Dy=2*y+3','x')按回车，输出结果为y=-3/2+exp(2*x)*C1%无初始条件时得到的是通解，即例2求微分方程，．例2解在命令窗口输入：>>y=dsolve('Dy=y-2*t/y','y(0)=1')按回车，输出结果为y=(2*t+1)^(1/2)%有初始条件时得到的是特解，即【学生】观看、聆听、记录、思考通过演示使用MATLAB进行数学实验的过程，使学生了解数学在实际中的应用课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了利用数学建模，用微分方程解决实际问题的方法，以及用MATLAB求解微分方程的方法，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题7-4、复习题七、用MATLAB求解微分方程总结知识点，巩固印象课后拓展【教师】在文旌课堂APP或其他学习平台上