2022-2023学年重庆八中八年级（下）月考数学试卷（2月份）(含解析)

2022-2023学年重庆八中八年级（下）月考数学试卷（2月份）

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了

代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答

案所对应的方框涂黑.

1.下面几何体中，是圆锥的为（）

2.2022年1月17日，国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万,

比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢.141260用科学记数法可表示为（）

A.0.14126X106B.1.4126X106

C.1.4126X10514.126X104

3.已知a,b,c,d是实数，若a>b,c—d,则

A.a+c>b+dB.a+b>c+da+c>b-dD.a+b>c-d

4.如图，已知A8〃C£>,点E在线段A£>上（不与点A,点。重合），连接CE.若NC=

20°,/AEC=50°,则乙4=（）

AB

A.10°B.20°C.30°D.40°

5.下列事件中是确定事件的是（）

A.车辆随机经过一个路口，遇到红灯

B.400人中有两人的生日在同一天

C.三条线段可以组成一个三角形

D.任意买一张电影票，座位号是2的倍数

6.已知抛物线顶点坐标为（2,3）,则抛物线的解析式可能为（)

A.y=-(x+2)2-3B.y=-(x-2)2-3

C.y=-(x+2)2+3D.y=-(x-2)2+3

7.一个等腰的底边为4,腰是方程/-5x+6=0的一个根.则这个等腰三角形的周长可能是

()

A.8B.10C.8或10D.9

8.下列中国结图形都是边长为“1”的正方形按照一定规律组成，第①个图形中共有7个边

长为“1”的正方形，第②个图形中共有12个边长为“1”的正方形，第③个图形中共有

17个边长为“1”的正方形，…，依此规律，第⑥个图形中边长为“1”的正方形的个数

是()

9.如图，△OBC内接于。0,AC为。。的直径，连接A8,若NACB=40°,DB=DC,WJ

NABD的度数为()

A.40°B.50°C.25°D.65°

10.如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形4BC的同侧作正方形BCEF.设正方

形的中心为。，连结AO,如果杷=&,AO=3.则正方形8CEF的面积为()

F

A.18B.32C.34D.50

11.若实数〃使得关于X的分式方程爸嗡■=1有非负整数解，并且使关于y的一元一次

'y+i1

不等式组5—有且仅有4个整数解，则符合条件的所有整数。的个数为（）

y+a<lly-3

A・1个B・2个C・3个D.4个

12.定义：如果代数式A=aix2+b\x-^-c\（aiWO,tzi,bi,c\是常数）与B=a2X1+b?x+c2（。2

WO,42,厉，C2是常数），满足0+。2=0,4+历=0,Cl+C2=0,则称这两个代数式A与

B互为“和谐式”，对于上述“和谐式”A、B,下列三个结论正确的个数为（）

①若A=-x2--nvc-2,B=#-2nx+n,则（m+〃）2023的值为-1；

3

②若女为常数，关于x的方程A=Z与B=A的解相同，则％=0；

③若p,q为常数，pA+qB的最小值为p-g,则A有最小值，且最小值为1.

A.0个B.I个C.2个D.3个

二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题

卡中对应的横线上.

13.cos230°-（2-n）°=.

14.有四张除数字外其它完全一样的卡片，正面写有数字0,-1,2,-3.把它们全部背

面朝上，抽出一张记为数机作为点4的横坐标，不放回，再抽一张记为数”作为点4的

纵坐标.则点A（m,n）在第四象限内的概率为.

15.如图：在矩形A8C。中，对角线AC,BD交于点O,以点8为圆心线段A8的长为半径

画圆弧，若圆弧与线段BC交于点E,且弧线恰好过点O,若4B的长度为2,则图形中

阴影部分的面积为.（结果保留7T）

16.若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12,则称这个四位数加为“永

恒数”.将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺

序得到一个新的四位数N,并规定F（M）」等.若一个“永恒数”M的百位数字与个位

9

数字之差恰为千位数字，且号B•为整数，则F(M)的最大值为_______.

y

三、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演

算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应

的位置上.

17.计算：

(1)Ca+2b)2-4b(a+b)

(2)(x?-2x-x-1

2J

\-4X+42-X-X2_4

18.如图，在四边形ABC。中，AB//CD,ZC=70°,ZD=55°.

(1)用尺规完成以下基本作图：作NA2C的角平分线8E交C£＞于点£；(保留作图痕

迹)

(2)在(1)所作的图中，证明四边形ABEC是平行四边形，完成下列填空.

证明：'：AB//CD.

二①.

VZC=70°.

.•.NA8C=180°-ZC=110°.

：BE平分NABC.

・••②=//ABC=55°.

WB//CD.

工③=NAB£=55°.

VZD=55°

:.ND=NBEC=55°.

A@.

TAB〃以＞.

・・・四边形ABED是平行四边形.

演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对

应的位置上.

19.II月是我国的消防安全月，学校为了了解学生对消防安全知识的掌握情况，对全体学

生进行了消防安全知识测试，学校从七年级和八年级学生中各随机抽取10名学生的测试

成绩进行整理、描述和分析(测试成绩用x表示，共分为4个组：A组60<x<70,B组

70<x<80,C组80<x<90,力组90Wx<100),下面给出了部分信息：

抽取的七年级学生的成绩在C组的数据是：87,82,87,86,87

抽取的10名八年级学生的成绩是：64,74,95,86,67,76,86,98,86,88

抽取的七、八年级学生测试成绩统计表

年级平均数中位数众数

七年级82a87

八年级8286b

(1)根据图表信息，a—,b-,n—；

(2)该校有七年级学生1600人和八年级学生1680人，请估计安全知识测试成绩在85

分及以上的人数.

(3)根据以上数据，你认为哪个年级的学生消防安全知识的掌握情况更好？请说明理由；

(写出一条理由即可)

抽取的匕年级学生测试成绩扇形统计图

20.在aABC中，点。和点E分别是A3、AC上两点，连接ED,EB.点、F、G、H分别是

DE、BC、BE的中点，连接”G,FG,HF.

(1)猜想/A与/FHG的关系，并证明你的猜想.

(2)若/A=90°,/2=/1+60。，求典的值.

FG

A

E

21.为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲

模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元.

（1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？

（2）现计划用19322元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共800套，且乙

种模型的数量不少于甲种模型数量的晟，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选

购多少套时总费用最少？

22.已知轮船在点A处测得灯塔点C位于北偏东60°方向，若轮船以15海里/小时的速度

向正东方向行驶2个小时到达点B处，此时测得灯塔在轮船的北偏东45°方向.（参考

数据：sin36°弋0.6,cos360弋0.8,tan36°&0.7,&弋1.41,娓仁2.45）

（1）求轮船点B与灯塔点C的距离（结果精确到0.1%）；

（2）轮船在点B处发生故障，向位于C点的维修船发出信号，双方约定在岛屿点。处

维修，点。位于点8的北偏东54。方向，点。位于点C的正南方向.发出信号后轮船

即刻调转航线以原速向点D处航行，若2个小时后维修船以30海里/小时的速度向点D

处行驶，请问维修船能否在轮船到达岛屿之前到达点D处？

23.如图，在RtZ\ABC中NAC8=90°,8c=4,AC=3.点P从点8出发，沿折线8-C

-A运动，当它到达点A时停止，设点P运动的路程为x.点。是射线CA上一点，CQ

=—,连接8Q.设yi=SACB°,y2=S^ABP-

x

（1）求出y””与x的函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）补全表格中力的值;

x12346

yi_________________________

以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在X的取值范围内

画出yi的函数图象：

(3)在直角坐标系内直接画出以函数图象，结合》和"的函数图象，求出当力＜心时，

x的取值范围.

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y4x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和8,

与y轴交于点C(0,-2).

(1)求抛物线的函数解析式.

(2)点P为直线2C下方抛物线上一动点，过点尸作AC的平行线交于点E,过点E

作x轴的平行线交y轴于点F,求电5pE+EF最大值.

5

(3)已知点。为y轴上一点，连接AO,将线段AO绕点。逆时针旋转90°得到线段

MD，将抛物线片沿射线8方向平移|行个单位长度，N为平移后抛物

线对称轴上的一点，且N的纵坐标为3,Q为平面内任意一点，若以A、M、N、。为顶

点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出其中一种情况的过程.

25.如图，在中，ZACB=90Q,为Rt/XABC的角平分线.

图1图2

(1)如图1,若AO+4C=BC,求出/4DC的度数;

(2)如图2,当ACWBC时，将线段8。绕点B顺时针旋转90°得线段BE.点F是线

段8c上一点，且CF=CD,连接EF,当NCEF=NCBE,请判断AC,CD与8c的数

量关系，并证明你的结论;

(3)如图3,当AC=BC=4我时，N为线段CD上一动点，尸为BC的中点，连接NF,

将线段NF绕点F顺时针旋转90°得线段FN.4为直线A8上一动点，连接以7,将4

AHP沿尸H翻折至△ABC所在平面内，得到△AFH,连接AN,AN,NN.当FA,-FN

最大时，直接写出△A'NM的面积的最大值.

参考答案

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了

代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答

案所对应的方框涂黑.

1.下面几何体中，是圆锥的为（）

【分析】简单几何体的识别.

解：4是圆柱：

B是圆锥；

C是三棱锥，也叫四面体；

。是球体，简称球；

故选：B.

【点评】本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键.

2.2022年1月17II,国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万，

比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢.141260用科学记数法可表示为（）

A.0.14126X106B.I.4126XI06

C.1.4126X105D.14.126X104

【分析】科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中1＜间＜10,〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，H的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值＜1时，〃是负整数.

解：141260=1.4126X105.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其

中1W|“|<1O,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

3.已知a,b,c,4是实数，若a>b,c=d,则()

A.a+c>b+dB.a+b>c+dC.a+c>b-dD.a+b>c-d

【分析】根据不等式的性质判断A选项；根据特殊值法判断B,C,。选项.

解:A选项，\"a>b,c=d,

'.a+c>b+d,故该选项符合题意；

8选项，当。=2,b—1,c=d=3时，a+b<c+d,故该选项不符合题意；

C选项，当a=2,h—1,c=d=-3时，a+c<h-d,故该选项不符合题意；

。选项，当a=-l,b—-2,c=d=3时，a+b<c-d,故该选项不符合题意；

故选：4.

【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个整式(或

相等的整式)，不等号的方向不变是解题的关键.

4.如图，已知AB〃CZ),点E在线段AO上(不与点A,点。重合)，连接CE.若NC=

20°,ZAEC=50°,则NA=()

A.10°B.20°C.30°D.40°

【分析】由/AEC为△CEO的外角，利用外角性质求出的度数，再利用两直线平行

内错角相等即可求出的度数.

解：为△(?£»的外角，且/C=20°,NAEC=50°,

AZAEC=ZC+ZD,即50°=20°+ZD,

.".ZD=30°,

,JAB//CD,

.•.NA=/Q=30°.

故选：C.

【点评】此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的

关键.

5.下列事件中是确定事件的是()

A.车辆随机经过一个路口，遇到红灯

B.400人中有两人的生日在同一天

C.三条线段可以组成一个三角形

D.任意买一张电影票，座位号是2的倍数

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

解：A、车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，故A错误；

B、400人中有两人的生日在同一天是必然事件，故8正确；

C、三条线段可以组成一个三角形是随机事件，故c错误；

。、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，故。错误；

故选：B.

【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事

件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,

一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生

的事件.

6.已知抛物线顶点坐标为(2,3),则抛物线的解析式可能为()

22

A.y--(x+2)-3B.y--(JC-2)-3

C.产-(x+2)2+3D.尸-(x-2)2+3

【分析】根据顶点式y=a(x-h)2+&的定点坐标为(h,k),逐一判断即可.

解：4.y=-(尤+2)2-3,顶点坐标为(-2,-3),

故不符合题意；

B.y=-(x-2)2-3；顶点坐标为(2,-3),

故不符合题意；

C.y--(x+2)2+3,顶点坐标为(-2,3),

故不符合题意；

D.y=-(x-2)2+3,顶点坐标为(2,3),

故符合题意；

故选D.

【点评】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标，熟悉顶点式的特征是解题的关键.

7.一个等腰的底边为4,腰是方程N-5x+6=0的一个根.则这个等腰三角形的周长可能是

()

A.8B.10C.8或10D.9

【分析】求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可.

解："."x2-5x+6=0,

(x-2)(x-3)=0,

".x-2=0或x-3=0,

♦♦xi=2,X2=3,

当三边是2,2,4时，

：2+2=4,

此时不符合三角形三边关系定理，舍去；

当三边是3,3,4时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是3+3+4=10.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形三边关系定理，解一元二次方程，等腰三角形性质的应用，

关键是能求出符合条件的所有情况.

8.下列中国结图形都是边长为“1”的正方形按照一定规律组成，第①个图形中共有7个边

长为“1”的正方形，第②个图形中共有12个边长为“1”的正方形，第③个图形中共有

17个边长为“1”的正方形，…，依此规律，第⑥个图形中边长为“1”的正方形的个数

是()

【分析】由第①个图形有7个边长为1的小正方形，第②个图形有7+5=12个边长为1

的小正方形，第③个图形有7+5X2=17个边长为1的小正方形，…由此得出第〃个图形

有(5/7+2)个边长为1的小正方形，由此求得答案即可.

解：第①个图形边长为1的小正方形有7个，

第②个图形边长为1的小正方形有7+5=12个，

第③个图形边长为1的小正方形有7+5X2=17个，

第〃个图形边长为I的小正方形有7+5X(n-1)=(5〃+2)个，

所以第⑥个图形中边长为1的小正方形的个数为5X6+2=32个.

故选：D.

【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问

题.

9.如图，△OBC内接于。。，AC为。。的直径，连接AB,若乙4cB=40°,DB=DC,则

ZABD的度数为()

A.40°B.50°C.25°D.65°

【分析】先根据圆周角定理求出NABC的度数，再由直角三角形的性质得出ZA的度数,

根据圆周角定理可得NO=NA=50°,然后根据等腰三角形的性质即可得出结论.

解：是。0的直径，

AZABC=90Q.

VZACB=40°,

ZA=90°-40°=50°,

：.ZD=ZA=50°,

,:DB=DC,

：.ZDCB^ZDBC=—(180°-50°)=65°,

2

.•./£)CA=/£»CB-NACB=65°-40°=25°,

AZABD=ZDCA=25°.

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知圆周角定理及直角三角形的性质是

解答此题的关键.

10.如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEP.设正方

形的中心为。，连结40,如果AB八历，AO=3.则正方形BCEF的面积为()

B

A.18B.32C.34D.50

【分析】设AC交OB于点H,作01LOA交AC于点/,可证明△AOBg^EOC,得IC

=A8=&,/O=AO=3,则A/=3j5，所以AC=A/+/C=4j，，即可根据勾股定理求

得8G=AB2+AG=34,则正方形BCEF的面积为34,于是得到问题的答案.

解：设AC交OB于点”，作O/1.OA交AC于点/,则乙4。/=90°,

•.•四边形BCEF是正方形，且它的中心为点。，

:.点O是BE与CF的交点,

'CBELCF,

：.ZBOC=90°,

NAOB=Z/OC=90°-NBOI,

;OB=OE=LBE,OC=OF=—CF,B.BE=CF,

22

OB=OC,

VZBAC=90°,ZAHB=ZOHC,

.../ABO=90°-ZAHB=90°-NOHC=NICO,

在aAOB和△EOC中，

，ZABO=ZICO

<OB=OC，

ZAOB=ZIOC

.♦.△AOBdEOC(ASA),

/.IC=AB=yf29IO=AO=3,

•M/=VA02+I02=VS2+32=3&，

,:AC=A1+1C=3@近=4近,

2222近)

ASmBCEF=BC=AB+AC=(&)+(42=34,

故选：c.

【点评】此题重点考查正方形的性质、同角或等角的余角相等、全等三角形的判定与性

质、勾股定理、正方形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关健.

11.若实数。使得关于X的分式方程学•■^=1有非负整数解，并且使关于y的一元一次

x-22-x

y+1>y-1

不等式组I5"有且仅有4个整数解，则符合条件的所有整数〃的个数为（）

y+a^lly-3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】解不等式组，根据仅有4个整数解，求出a的范围；解分式方程，根据。的范

围，确定符合条件的。值即可.

解：,52,

y+a<lly-3

解得：<、a+3，

:仅有4个整数解，

・•・。《岩<1，

.・.-3yWa/V7，-x--+--a-+---2-x--=11,

x-22-x

解得：X甘，

•方程有非负整数解，

.“+220,且是2的倍数,

“W2,

♦aW2,

,-3MV7,

•••满足条件的整数4为：-2,0,4,6

个数为4个.

故选：D.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法、分式方程的解法等知识点，掌握解不等

式组再确定参数的范围是解题关键.

12.定义:如果代数式A—axx^+byx+cx(0WO,a\,b\,c\是常数)与B—a^+bix+ci(“2

#0,<22,bl,C2是常数)，满足“1+42=0,b\+bi=o,C|+C2=O,则称这两个代数式4与

B互为“和谐式”，对于上述“和谐式”A、B,下列三个结论正确的个数为()

①若A=-x2-—mx-2,B=x2-2nx+n,则(m+n)2023的值为-1；

3

②若k为常数,关于x的方程4=左与8=左的解相同，则左=0；

③若p,〃为常数，pA+〃B的最小值为p-4，则A有最小值，且最小值为1.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】根据新定义，得出胆，"的值代入计算即可判断①；

2

根据方程的解的定义以及新定义得出得出x2+b1x+j+k=a1x+b1X+c1-k，即可

判断②；

根据题意得出pA+g8=(p-q)(a1x?+b]x+C])，即可判断③.

解：①:A=-x2~^inx-2，-2nx+nf

A

依题意-in-2n=0,-2+n=C,

o

解得：〃=2,m=-3,

，(m+〃)2023=(-3+2)2023=-i,故①正确；

②x的方程4=%与8=攵的解相同，

即-a[x2-b]x-j-k=O与ajx2+bjx+j-kR的解相同，

a1x2+bjx+cj+k=ax2+bp+c।-k，

・,/=0,故②正确；

22

@pA+qB=p(a1x+b1x+c1)+q(a2X+b2x+C2)

22

=p(a|X+b|X+c1)-q(a|X+b1x+c1)

=(p-q)(ajx2+bjx+cj)，

•:pA+qB的最小值为p-q,

当〃-(?>0,

a[x2+b]x+ci的最小值为1，

，A有最小值，且最小值为1,

当p-q<0,A有最大值，且最大值为L

故③不正确.

故选：C.

【点评】本题考查了新定义运算，代数式求值，不等式的性质，方程的解的定义，掌握

新定义是解题的关键.

二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题

卡中对应的横线上.

13.cos2300-（2-n）0=」.

-4-

【分析】根据特殊角的三角函数值与零次辕进行计算即可求解.

解：cos230°-（2-n）0

=（冬产-1

=_工

4'

故答案为：——.

4

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值与零次累，掌握特殊角的三角函数值与零次累

是解题的关键.

14.有四张除数字外其它完全一样的卡片，正面写有数字0,-1,2,-3.把它们全部背

面朝上，抽出一张记为数m作为点A的横坐标，不放回，再抽一张记为数n作为点A的

纵坐标.则点4（机，〃）在第四象限内的概率为4-

一6-

【分析】先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到点4（山，"）在第四象限内

的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

解：列表如下：

0-12-3

0(-1,0)(2,0)(-3,0)

-1(0,-1)(2,-1)(-3,-1)

2(0,2)(-1,2)(-3,2)

-3(0,-3)(-1,-3)(2,-3)

由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中点A（〃/，〃）在第四象限内的结果数有

2种，

...点A（机，n）在第四象限内的概率为W，

126

故答案为：

【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解

题的关键.

15.如图：在矩形488中，对角线AC,8。交于点O,以点5为圆心线段A8的长为半径

画圆弧，若圆弧与线段8c交于点E,且弧线恰好过点0,若AB的长度为2,则图形中

【分析】先证明AAOB是等边三角形，得到/ABO=60°,则NEBO=30°,再证明心

ABO=S^BOCf贝ljS阴影=S扇形A8O-S4A8O+SA6OC-S扇形6OE=S扇形A8O-S扇形8OE,由此求解即

可.

解：•・,四边形ABC。是矩形,

：.OA=OB9ZABC=90°，

由作图方法可知48=

：.OA=OB=ABf

：./\AOB是等边三角形,

・・・N43O=60°，

：.ZEBO=30°,

丁四边形ABC。是矩形,

・・・。是线段AC的中点，

/•SdABO=SABOC，

S阴影=S扇形ABO~S^ABO^S^BOC~S朗形BOE=S阚形ABO~S扇形BOE-J---------

360

30XXX22=27r

3603,

故答案为：JT.

【点评】本题主要考查了矩形的性质，扇形面积，等边三角形的性质与判定，证明AAOB

是等边三角形，得到NABO=60°,NEBO=30°是解题的关键.

16.若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12,则称这个四位数M为“永

恒数”.将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺

序得到一个新的四位数N,并规定F(M)」号.若一个“永恒数”M的百位数字与个位

数字之差恰为千位数字，且邛上为整数，则F(M)的最大值为9.

9

【分析】设M=1000〃+100/10c+d,则N=1000Z?+100〃+10d+c,再利用F(M)能被9

整除得到d与〃的值，即可求解.

解：设M=1000〃+100fo+1Oc+d,则N=1000〃+100〃+1Od+c,

・ITf】r、1000a+100b+10c+d-1000b-100a-10d-《

・・F(M)9

_900a-900b+9c-9d

9

=100«-100/?+c-d,

又b+c+d=12,

.\c=\2-b-d,b-^d=12-c,Ka=b-d,

：.F(M)=100(b-d)-\00b+\2-b-d-d=\00b-100J-\Q0b+\2-b-d-d=U-b

-102J,

要使F(M)最大，必使d=0,且理之为整数，则》=3,

99

：.F(M)最大为9,

故答案为：9.

【点评】本题以新定义为背景，考查了整式的运算、因式分解，解题的关键是熟练应用

“永恒数”的定义计算尸(M).

三、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演

算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应

的位置上.

17.计算：

(1)(a+2b)2-4b(a+b)

(2)(一二2二2三一_k_1-)二一三二L

2)

X-4X+42-X-X2_4

【分析】(1)根据完全平方公式、单项式乘以多项式法则展开合并即可；

(2)先将括号内式子合并，然后因式分解化简即可.

解：(1)原式=。2+4〃8+4按-4ab-4按

=岛

/、x(x-2)1(x+2)(x-2)

(2)原式=[^-4T-4-

(x-2)22-xx-1

=X(x-2)X-2.(x+2)(x-2)

(x-2)2(x-2)20

(x-1)(x-2).(x+2)(x-2)

(x-2)2x-1

=1+2.

【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

18.如图，在四边形ABCO中，AB//CD,NC=70°,ZD=55Q.

(1)用尺规完成以下基本作图：作N43C的角平分线BE交CO于点E；(保留作图痕

迹)

(2)在(1)所作的图中，证明四边形A8E。是平行四边形，完成下列填空.

证明：-：AB//CD.

二①.

VZC=70°.

...NABC=180°-ZC=110°.

；BE平分NABC.

・••②=//ABC=55°.

*：AB//CD.

g=NABE=55°.

VZD=55°

：.ZD=ZBEC=55°.

A©.

'：AB//CD.

，四边形A8E。是平行四边形.

【分析】（1）根据角平分线的作法即可作出图形；

（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可.

【解答】（1）解：如图，8E即为所求；

（2）证明：'JAB//CD.

：.NABE=ABEC.

VZC=70°.

.•./ABC=180°-ZC=110°.

：BE平分NABC.

•••ZABE=yZABC=55°.

\9AB//CD.

：.ZBEC=ZABE=55Q.

VZD=55°

；・ND=NBEC=55。.

：.AD//BE.

9：AB//CD.

・・・四边形ABED是平行四边形.

故答案为：①NABE=/BEC；@ZABE；③NBEC；@AD//BE.

【点评】本题考查作图-基本作图，平行线的判定和性质，平行四边形的判定等知识,

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的

演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对

应的位置上.

19.11月是我国的消防安全月，学校为了了解学生对消防安全知识的掌握情况，对全体学

生进行了消防安全知识测试，学校从七年级和八年级学生中各随机抽取10名学生的测试

成绩进行整理、描述和分析(测试成绩用x表示，共分为4个组：A组60<x<70,B组

70Wx<80,C组80<x<90,力组90Wx<100),下面给出了部分信息：

抽取的七年级学生的成绩在C组的数据是：87,82,87,86,87

抽取的10名八年级学生的成绩是：64,74,95,86,67,76,86,98,86,88

抽取的七、八年级学生测试成绩统计表

年级平均数中位数众数

七年级82a87

八年级8286h

(1)根据图表信息，a=84,b=86,〃=20:

(2)该校有七年级学生1600人和八年级学生1680人，请估计安全知识测试成绩在85

分及以上的人数.

(3)根据以上数据，你认为哪个年级的学生消防安全知识的掌握情况更好？请说明理由；

(写出一条理由即可)

抽取的匕年级学生测试成绩扇形统计图

【分析】(1)用1减去其它组的百分数即可求出n,根据中位数和众数的方法求。和a

的值；

(2)利用样本估计总体，估计安全知识测试成绩在85分及以上的学生所占百分比即可；

(3)根据中位数可判断八年级年级的学生消防安全知识的掌握情况更好.

解：(1)根据扇形统计图可得：抽取的七年级学生的成绩在A组有2人，C组5人，D

组1人，8组所占百分比1-50%-20%-10%=20%,

组有10-5-2-1=2人，〃=20,

...七年级的中位数是C组的从小到大的第1人和第2人的平均分，

：在C组的数据按照从小到大排列是：82,86,87,87,87,

七年级中位数a超著=84

在抽取的10名八年级学生的成绩64,74,95,86,67,76,86,98,86,88,

中86是出现次数最多的，故众数是6=86.

故答案为：84,86,20.

(2)•••七年级知识测试成绩在85分及以上的学生所占百分比卷=50%，

.,.七年级知识测试成绩在85分及以上的学生数为1600X50%=800人；

•..八年级知识测试成绩在85及以上的学生所占百分比与=60%，

...八年级知识测试成绩在85分及以上的学生数为1680X60%=1008人；

(3)I•中位数84<86；

.••八年级年级的学生消防安全知识的掌握情况更好.

【点评】本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图，掌握中位数、众数的计算方

法是正确解答的前提.

20.在△ABC中，点。和点E分别是A8、AC上两点，连接EC,EB.点、F、G、”分别是

DE、BC、BE的中点，连接HG,FG,HF.

(1)猜想NA与NFHG的关系，并证明你的猜想.

(2)若NA=90°,/2=/1+60°,求型的值.

【分析】(1)直接利用三角形的中位线定理得出FH//BD,GH//CE,再借助三角形的

外角的性质即可得出NA+/E”G=180°,即可得出结论；

(2)利用三角形的中位线定理得出GH^CE，由(1)的结论结合己知求得/HFG=60°,

再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解.

解：(1)猜想，ZA+Z£//G=180°,理由如下,

•.•点尸是。E的中点，点，是BE的中点，

:.FH〃BD,

：.ZFHE=NABE,

•・,点G是8C的中点，点〃是BE的中点，

:.GH//CE,

:・/HGB=NC,

/EHG=/EBG+/HGB=/EBG+/C,

：.ZFHG=/FHE+/EHG=NABE+/EBG+/C=ZABC+ZC,

VZA+ZABC+ZC=180°,

・・・NA+N£”G=180°；

(2)・・,点G是8C的中点，点”是BE的中点，

GH=^-CE>即CE=2G”，

VZA=90°,ZA+ZEWG=180°,

AZE//G=90°,

,.,FH//BD,

；.N2=/1+NHFG,

VZ2=Z1+6O0,

：.ZHFG=60°,

.\ZHGF=30°,

二FG=2FH,HG=VFG2+FH2=V3FH，

.EC=2HG=2向HF_巧

"FG^FG-"2HF

【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，求得/

“FG=60°是解题的关键.

21.为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲

模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元.

(1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？

(2)现计划用19322元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共800套，且乙

种模型的数量不少于甲种模型数量的慨，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选

购多少套时总费用最少？

【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；

（2）根据题意，列出一元一次不等式组即可求出选购方案，再根据总费用计算方式求出

乙种模型数量即可.

解：（1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价为y元，则由题意可得：

（3x=2y

]x+2y=80

解得:卜=工

ly=30

答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价为30元.

（2）设甲种模型数量为，小则乙种模型数量为（800-/H）,由题意可得：

'20m+30（800-m）<19322

1、2>

800-m>-m

解得“9468,

Iirt<480

，468W〃?W480,

为整数，

一共有13种选购方案,

设总费用为卬元，

20^+24000-30m=24000-10m,

.•.当加越大，总费用越少，

当