2022-2023学年四川省凉山彝族自治州高一下学期期末检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省凉山彝族自治州2022-2023学年高一下学期期末检测数学试题全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区城书写的〖答案〗无效；在草稿纸、试卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.第I卷（选择题共60分）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数，则的虚部为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗复数，则，所以的虚部为1.故选：C2.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，即，代入得，则，则，则.故选：C.3.当今世界面临着百年未有之大变局，中美关系健康稳定发展对维护世界和平、经济复苏等起到积极作用，下图展示了2007年－2022年中国和美国自对方国家的进口额占本国总进口额的比重变化情况，从图中得出如下结论最准确的是（）A.在2007年到2022年期间，中国对美国的出口占比相对较高，中国对美国的出口占美国全部进口总额的比例一直保持在15%以上B.在2007年到2022年期间，中国从美国进口额占中国总进口额之比出现了大幅波动，在2015年时，这一比例达到峰值，但在2019年和2021年时则分别下降至最低点C.美国自中国进口额占比逐年下降，2018年后美国自中国的进口额占比下降速度加快D.中国市场对美国的依赖度正在降低，从长期趋势来看，中国从美国进口所占比例在2015年达到峰值后开始逐渐下降〖答案〗D〖解析〗在2007年到2022年期间，中国对美国的出口占比相对较高，中国对美国的出口占美国全部进口总额的比例，2008年为15%，2022年为14.2%，故A错误；在2007年到2022年期间，中国从美国进口额占中国总进口额之比出现了大幅波动，在2015年时，这一比例达到峰值10.05%，但2022年时下降至最低点6.5%，故B错误；美国自中国进口额占比，2019年为16.3%，2020为16.5%，故C错误；中国市场对美国的依赖度正在降低，从长期趋势来看，中国从美国进口所占比例在2015年达到峰值后开始逐渐下降，故D正确.故选：D.4.在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（）A.2 B.2或6 C.6 D.〖答案〗C〖解析〗在中，，，，由余弦定理得，得，即，而，解得，所以.故选：C5.已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（）A.若且，，，则B.若，则C.若且，，则D.若，则〖答案〗A〖解析〗对于A，若且，，，则,由面面垂直性质定理得出A正确；对于B,若，且，，则或与相交，故B错误．对于C，若，且，则与相交，可能垂直，也可能不垂直，故C错误．对于D，两个平面平行，不能证明两个平面里的直线都平行，可能异面,故D错误;故选：A.6.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B7.已知函数（其中，）的部分图像如图所示，则下列结论不正确的是（）A.B.图像关于对称C.在区间上单调递减D.在区间上无最大值〖答案〗A〖解析〗观察图象知，，而，则，函数的周期满足，即，解得，又，且有，于是，解得，则，对于A，，A错误；对于B，，函数的图象关于点对称，B正确；对于C，当时，，而正弦函数在上单调递减，所以在区间上单调递减，C正确；对于D，当时，，而正弦函数在上无最大值，所以在区间上无最大值，D正确.故选：A8.在等腰直角三角形中，，，，为的中点，满足，则的值为（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，在中，，，，由，，为的中点，得，因此，而，即，所以故选：B二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，不全选得3分，错选或不选得0分，全对得5分）9.进入五月中旬以来，我州连续出现极端高温天气，其中连续8天每天的最高气温分别为38，39，39，41，40，39，37，37，（单位℃），则（）A.该组数据的平均数为38.75 B.该组数据的方差为C.该组数据的第75百分位数为39 D.该组数据的极差为4〖答案〗ABD〖解析〗对于A，该组数据的平均数，A正确；对于B，该组数据的方差，B正确；对于C，该组数据由小到大排列为：37，37，38，39，39，39，40，41，由，所以该组数据的第75百分位数为，C错误；对于D，该组数据的极差为，D正确.故选：ABD10.复数，，，则下列说法一定正确的是（）A.B.若纯虚数，则C.当时，与互为共轭复数D.表示复平面内点与两点间的距离〖答案〗ABCD〖解析〗复数，，，对于A，，，A正确；对于B，，由为纯虚数，得，解得，B正确；对于C，当时，，与互为共轭复数，C正确；对于D，表示复平面内复数对应点与对应点两点间的距离，D正确.故选：ABCD11.已知的内角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的是（）A.B.若为锐角三角形，则C.若，则为等腰三角形D.若，则为等腰三角形〖答案〗BC〖解析〗在中，内角，，所对的边分别是，，，对于A，，A错误；对于B，为锐角三角形，则，且，即，而正弦函数在上单调递增，于是，B正确；对于C，由正弦定理及，得，即，显然，则，则为等腰三角形，C正确；对于D，由余弦定理得，即，而，则，不能确定的形状，D错误.故选：BC12.在正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（）A.B.存在点使得平面C.存在点使得平面D.平面截正方体所得的两部分体积比为7：17（或17：7）〖答案〗AC〖解析〗对于A中，连接，在正方体中，可得，所以异面直线与与所成的角即为直线与所成的角（或其补角），不妨设正方体的棱长为2，则，则为平行四边形，则，所以A错误；对于B中，取的中点，连接，因为为的中点，可得，又因为，所以，所以平面即为平面，再取的中点，分别连接，在正方体中，由为的中点，且为的中点，可得，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，又因为且平面，所以平面平面，所以只需点在线段上，则平面，所以B正确；对于C中，取的中点，连接和，可得，若存在点使得平面，且平面，所以，因为，所以在正方体中，可得平面，又因为平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以，在正方形中，与不垂直，所以不存在点使得平面，所以C错误；对于D中，设正方体的棱长为，可得正方体的体积为，由平面即为平面，所以截得的棱台的体积为：，所以两部分的体积比为，所以D正确.故选：AC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.向量，，且，则__________.〖答案〗〖解析〗向量，，且，所以.故〖答案〗为：14.复数，则__________.〖答案〗〖解析〗，.故〖答案〗为：.15.《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为__________.〖答案〗〖解析〗依题意，阳马与堑堵有相同的外接球，令此球半径为，又两两垂直，因此以为棱的长方体与堑堵有相同的外接球，则，即，所以阳马的外接球表面积为.故〖答案〗为：

16.在中，为的重心，，，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗延长交于点，因为是的重心，则为的中点，，，，由，，由三角形面积公式得，解得，则，当且仅当等号成立，此时为等边三角形.故〖答案〗为：.四、解答题（共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.若复数，为虚数单位，为实数．（1）若为纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围．解：（1）由为纯虚数得，解得．（2）由在复平面内对应的点位于第三象限，所以，即，解得，故的取值范围为．18.今年因干旱西昌邛海水位比常年下降约一米，某校校本课程安排同学制定合理的节水方案，对西昌市城区常住居民用水情况进行了抽样调查，该同学获得了西昌市城区常住属民去年100个家庭的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成7组，制成了如图的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）估计西昌市城区常住居民家庭月均用水量的中位数；（3）若西昌市城区常住居民有15万个家庭，估计全市常住居民中月均用水量不低于3吨的家庭数，并说明理由.解：（1）由题意知:，所以.（2）因为，所以月均用水量中位数在2.5到3之间，设中位数为，，解得：，故西昌市城区常住居民家庭月均用水量的中位数为2.8吨.（3）由题意知：月均用水量不低于3吨的频率为，月均用水量不低于3吨的家庭数为(万）.19.如图，直三棱柱中每条棱都相等，、分别是、的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：如图，取中点，连接在直三棱柱，又为中点，为中点，所以，则因为平面，平面，所以平面又为中点，为中点，所以，因为平面，平面，所以平面又平面，所平面平面因为平面，所以平面；（2）解：连接直三棱柱中每条棱都相等设为，即，又为中点，所以，且又平面，平面，所以，，则因为平面，所以平面所以即为直线与平面所成角所以，则直线与平面所成角的正弦值为.20.请从下列条件①；②；③中选取一个作为已知条件，补充在横线上，并做出解答.已知的内角，，所对应的边分别是，，，满足__________.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分（1）求的值；（2）若，，求的面积解：（1）选条件①，在中，由正弦定理及，得，而，则，即，整理得，而，于是，所以.选条件②，在中，由正弦定理及，得，即，则，整理得，又，于是，而，，所以.选条件③，在中，由余弦定理及得，即，所以.（2）由（1）知，选条件①，②，，而，由余弦定理得，解得，所以的面积.选条件③，由，，得或，又，由余弦定理得，或，解得或，所以的面积或.21.在四棱锥中，底面，为等腰梯形，，，.（1）求证；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：在中，，则，即，因此，又平面平面，则，而，平面，于是平面，又平面，所以.（2）解：取中点，连接、，如图，由（1）知，，而，则，又，于是，且，因此是二面角的平面角，由（1）知平面，而平面，因此，，所以二面角的余弦值为.22.已知向量，，设函数.（1）求的值；（2）当时，有零点，求实数的取值范围解：（1）由题意知：.（2）由（1）知，有零点，令，，则，则，，所以在上有零点，即在上有解，即在有解，显然，当且仅当时等号成立，故的取值范围为.四川省凉山彝族自治州2022-2023学年高一下学期期末检测数学试题全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区城书写的〖答案〗无效；在草稿纸、试卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.第I卷（选择题共60分）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数，则的虚部为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗复数，则，所以的虚部为1.故选：C2.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，即，代入得，则，则，则.故选：C.3.当今世界面临着百年未有之大变局，中美关系健康稳定发展对维护世界和平、经济复苏等起到积极作用，下图展示了2007年－2022年中国和美国自对方国家的进口额占本国总进口额的比重变化情况，从图中得出如下结论最准确的是（）A.在2007年到2022年期间，中国对美国的出口占比相对较高，中国对美国的出口占美国全部进口总额的比例一直保持在15%以上B.在2007年到2022年期间，中国从美国进口额占中国总进口额之比出现了大幅波动，在2015年时，这一比例达到峰值，但在2019年和2021年时则分别下降至最低点C.美国自中国进口额占比逐年下降，2018年后美国自中国的进口额占比下降速度加快D.中国市场对美国的依赖度正在降低，从长期趋势来看，中国从美国进口所占比例在2015年达到峰值后开始逐渐下降〖答案〗D〖解析〗在2007年到2022年期间，中国对美国的出口占比相对较高，中国对美国的出口占美国全部进口总额的比例，2008年为15%，2022年为14.2%，故A错误；在2007年到2022年期间，中国从美国进口额占中国总进口额之比出现了大幅波动，在2015年时，这一比例达到峰值10.05%，但2022年时下降至最低点6.5%，故B错误；美国自中国进口额占比，2019年为16.3%，2020为16.5%，故C错误；中国市场对美国的依赖度正在降低，从长期趋势来看，中国从美国进口所占比例在2015年达到峰值后开始逐渐下降，故D正确.故选：D.4.在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（）A.2 B.2或6 C.6 D.〖答案〗C〖解析〗在中，，，，由余弦定理得，得，即，而，解得，所以.故选：C5.已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（）A.若且，，，则B.若，则C.若且，，则D.若，则〖答案〗A〖解析〗对于A，若且，，，则,由面面垂直性质定理得出A正确；对于B,若，且，，则或与相交，故B错误．对于C，若，且，则与相交，可能垂直，也可能不垂直，故C错误．对于D，两个平面平行，不能证明两个平面里的直线都平行，可能异面,故D错误;故选：A.6.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B7.已知函数（其中，）的部分图像如图所示，则下列结论不正确的是（）A.B.图像关于对称C.在区间上单调递减D.在区间上无最大值〖答案〗A〖解析〗观察图象知，，而，则，函数的周期满足，即，解得，又，且有，于是，解得，则，对于A，，A错误；对于B，，函数的图象关于点对称，B正确；对于C，当时，，而正弦函数在上单调递减，所以在区间上单调递减，C正确；对于D，当时，，而正弦函数在上无最大值，所以在区间上无最大值，D正确.故选：A8.在等腰直角三角形中，，，，为的中点，满足，则的值为（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，在中，，，，由，，为的中点，得，因此，而，即，所以故选：B二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，不全选得3分，错选或不选得0分，全对得5分）9.进入五月中旬以来，我州连续出现极端高温天气，其中连续8天每天的最高气温分别为38，39，39，41，40，39，37，37，（单位℃），则（）A.该组数据的平均数为38.75 B.该组数据的方差为C.该组数据的第75百分位数为39 D.该组数据的极差为4〖答案〗ABD〖解析〗对于A，该组数据的平均数，A正确；对于B，该组数据的方差，B正确；对于C，该组数据由小到大排列为：37，37，38，39，39，39，40，41，由，所以该组数据的第75百分位数为，C错误；对于D，该组数据的极差为，D正确.故选：ABD10.复数，，，则下列说法一定正确的是（）A.B.若纯虚数，则C.当时，与互为共轭复数D.表示复平面内点与两点间的距离〖答案〗ABCD〖解析〗复数，，，对于A，，，A正确；对于B，，由为纯虚数，得，解得，B正确；对于C，当时，，与互为共轭复数，C正确；对于D，表示复平面内复数对应点与对应点两点间的距离，D正确.故选：ABCD11.已知的内角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的是（）A.B.若为锐角三角形，则C.若，则为等腰三角形D.若，则为等腰三角形〖答案〗BC〖解析〗在中，内角，，所对的边分别是，，，对于A，，A错误；对于B，为锐角三角形，则，且，即，而正弦函数在上单调递增，于是，B正确；对于C，由正弦定理及，得，即，显然，则，则为等腰三角形，C正确；对于D，由余弦定理得，即，而，则，不能确定的形状，D错误.故选：BC12.在正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（）A.B.存在点使得平面C.存在点使得平面D.平面截正方体所得的两部分体积比为7：17（或17：7）〖答案〗AC〖解析〗对于A中，连接，在正方体中，可得，所以异面直线与与所成的角即为直线与所成的角（或其补角），不妨设正方体的棱长为2，则，则为平行四边形，则，所以A错误；对于B中，取的中点，连接，因为为的中点，可得，又因为，所以，所以平面即为平面，再取的中点，分别连接，在正方体中，由为的中点，且为的中点，可得，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，又因为且平面，所以平面平面，所以只需点在线段上，则平面，所以B正确；对于C中，取的中点，连接和，可得，若存在点使得平面，且平面，所以，因为，所以在正方体中，可得平面，又因为平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以，在正方形中，与不垂直，所以不存在点使得平面，所以C错误；对于D中，设正方体的棱长为，可得正方体的体积为，由平面即为平面，所以截得的棱台的体积为：，所以两部分的体积比为，所以D正确.故选：AC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.向量，，且，则__________.〖答案〗〖解析〗向量，，且，所以.故〖答案〗为：14.复数，则__________.〖答案〗〖解析〗，.故〖答案〗为：.15.《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为__________.〖答案〗〖解析〗依题意，阳马与堑堵有相同的外接球，令此球半径为，又两两垂直，因此以为棱的长方体与堑堵有相同的外接球，则，即，所以阳马的外接球表面积为.故〖答案〗为：

16.在中，为的重心，，，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗延长交于点，因为是的重心，则为的中点，，，，由，，由三角形面积公式得，解得，则，当且仅当等号成立，此时为等边三角形.故〖答案〗为：.四、解答题（共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.若复数，为虚数单位，为实数．（1）若为纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围．解：（1）由为纯虚数得，解得．（2）由在复平面内对应的点位于第三象限，所以，即，解得，故的取值范围为．18.今年因干旱西昌邛海水位比常年下降约一米，某校校本课程安排同学制定合理的节水方案，对西昌市城区常住居民用水情况进行了抽样调查，该同学获得了西昌市城区常住属民去年100个家庭的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成7组，制成了如图的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）估计西昌市城区常住居民家庭月均用水量的中位数；（3）若西昌市城区常住居民有15万个家庭，估计全市常住居民