第二章微分方程模型

第二章微分方程模型利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：（1）要求把未知变量直接表示为已知量的函数（2）只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势

在实际问题中，体现为“增长”、“衰变”、“边际”等问题。§2-1微分方程的定解§2-2微分方程的建模步骤

§2-3微分方程建模实例第二章微分方程模型§2-1微分方程的定解问题

一、基本概念二、微分方程的定解问题三、微分方程的平衡解与稳定性一般地，n阶微分方程的形式是或若在区间I上存在具有n阶导数的函数，满足

则称为微分方程的解。一、基本概念1、微分方程的解微分方程的通解如果微分方程的解中含有任意常数，且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解就称为微分方程的通解。

独立任意常数：指不能合并而使任意常数的个数减少。微分方程的定解确定微分方程的通解中任意常数后的微分方程的解。一、基本概念2、微分方程的通解与定解1、一阶微分方程的定解问题

求微分方程满足初始条件的定解，称为一阶微分方程的定解问题。

记作3、n阶微分方程的定解问题2、二阶微分方程的定解问题

记作二、微分方程的定解问题

1、平衡解即微分方程不变化的解，也就是常数解。一般地，一阶微分方程（2－1－1）

右端不显含自变量t，代数方程的实根称为微分方程的平衡解。例：的解y=a，y=b都是该方程的平衡解2、平衡解的稳定性如果从任意可能的初始条件出发，微分方程（2-1-1）的解x（t）都满足

则称平衡解x=x0是稳定的；否则称x=x0是不稳定的。三、微分方程的平衡解与稳定性1、平衡解含义2、平衡解的稳定性定义

（1）求（2-1-1）的解，利用定义判断（2）不求（2-1-1）的解，利用f（x）在x=x0处的展式

通解为①当时，，平衡解x=x0稳定②当时，，平衡解x=x0不稳定例：捕鱼问题、湖水污染问题等

三、微分方程的平衡解与稳定性3、判断方法

第二章微分方程模型§2-1微分方程的定解§2-2微分方程的建模步骤

§2-3微分方程建模实例

§2-2微分方程的建模步骤

一、引例二、微分方程的建模步骤

一、引例—人的体重变化问题1、提出问题2、分析问题1、提出问题（1）某人的摄入热量是2500Ca/天，其中1200Ca用于基本的新陈代谢（2）健身训练中消耗是16Ca/天·kg

（3）以脂肪形式贮藏的热量100%地有效（4）1kg脂肪含热量10000Ca

求此人的体重随时间变化的规律2、分析问题（1）将体重看成时间的连续函数（2）体重的变化=输入-输出=扣除基本新陈代谢之外的净吸收量-进行健身训练时的消耗一、引例—人的体重变化问题

3、建模

4、求解3、建模设人的体重为W（kg）每天净吸收量=2500-1200=1300（Ca）每天净输出=16W（Ca）每天体重变化4、求解设一天开始时的体重为W（0）=W0，解得人的体重随时间变化规律为：二、微分方程的建模步骤1、翻译或转化根据实际问题给出的信息转化为导数问题。（1）速率、增长、衰变、边际、改变、变化等都可以转化为导数问题（2）很多问题遵循模式“净变化率=输入率-输出率”2、单位同一

微分方程模型中每一项都应该有相同的物理单位。

3、给定条件

关于所研究问题在某一特定时刻的信息，利用其确定微分方程解中的有关常数。

4、建立模型寻找之间的关系，建立微分方程模型。第二章微分方程模型

§2-1微分方程的定解§2-2微分方程的建模步骤§2-3微分方程建模实例§2-3微分方程建模实例

一、恶狼捕食兔子问题

二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题三、捕鱼问题四、飞机的降落曲线问题微分方程建模实例

一、恶狼捕食兔子问题

1、提出问题2、分析问题

1、提出问题

设一只恶狼与一只兔子相遇,兔子位于恶狼正西100m处。再假设它们同时互相发现了对方并同时起跑,兔子往正北方向60m处的巢穴逃窜,恶狼追捕兔子。如果兔子和恶狼都作匀速跑动,且狼的速度是兔子速度的2倍,那么问兔子能否逃脱恶狼的追捕?2、分析问题

建立坐标系，如图所示。

设兔子的初始位置为坐标原点0,狼在x轴上点

A处,兔子的巢穴在y轴上点B，则有（1）|OA|=100,|OB|=60（2）兔子的运动轨迹为沿y轴做匀速直线运动（3）狼的运动轨迹则是一条连续曲线（4）在任意一个相同的时刻,曲线上狼的位置与y轴上兔子的位置的连线恰好是曲线上该点处的切线

设狼的运动轨迹方程为y=f(x),则当兔子跑到点N(0,h)时,狼在点M(x,y)处,由于狼的速度是兔子速度的2倍,所以在相同的时间内,狼跑的总路程也是兔子跑的总路程的2倍。因而有初始条件

（2－3－1）

（2－3－2）由直线的两点式方程以及弧长公式可得

（2－3－3）（2－3－4）由式（2－3－3）得，代入到式（2－3－4）中,得微分方程建模实例

一、恶狼捕食兔子问题

3、建立模型

两边对x

求导,并运用公式得到恶狼捕食兔子的数学模型

（2－3－5）微分方程建模实例

一、恶狼捕食兔子问题

3、建立模型

（1）令

，则式（2－3－5）可以转化为（2）运用分离变量法求解得其中，

为常数。微分方程建模实例

一、恶狼捕食兔子问题

4、求解模型

（3）又由得4.求解模型（4）利用初始条件

得

（5）模型的解,即狼的运动轨迹方程为5、解的讨论

由于

,所以狼没有追上兔子,或者说兔子能够安全地逃进它的巢穴中。

此模型还可以用来做描述导弹在追击某个做直线运动目标时的数学模型。微分方程建模实例

一、恶狼捕食兔子问题

4、求解模型5、解的讨论

§2-3微分方程建模实例

一、恶狼捕食兔子问题二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题三、捕鱼问题四、飞机的降落曲线问题在现代城市自动化交通管理中，各交通路口都施行信号灯光管制。具体方法是在交通路口处设置了红、黄、绿灯，而在绿灯灭到红灯亮的过渡阶段，就要用黄灯来控制。黄灯点亮的时间少，会造成有些车辆因来不及停车而越过十字路口的停车线，但又由于红灯亮了而过不了十字路口，势必造成交通混乱；黄灯时间过长又会浪费时间，从而降低道路利用率，甚至造成交通堵塞。

这就需要建立一个黄灯点亮最佳时间的数学模型。微分方程建模实例

二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题

1、问题的提出

正常行驶的车辆在十字路口附近突然看到前面黄灯亮了时，驾驶员首先要做出决定：是停车还是继续行驶通过十字路口。1、当决定停车时，必须有一定的刹车距离，以确保能使车辆来得及停在停车线以外。2、当决定通过十字路口时，必须有足够的时间使他能够在红灯亮之前完全通过十字路口。（1）驾驶员做出决定的时间(反应时间)（2）车辆由刹车开始到停住车的时间（3）车辆以法定最快的速度通过一个典型车身和路口宽度(即十字路口处同一条路上两条停车线之间的距离)所需的时间。微分方程建模实例

二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题

2、分析问题

3、量的分析车辆行驶的时间t、速度v、行驶距离x十字路口处同一条路上两条停车线间距离I典型车辆车身长L、车辆全部重量(包括车身和载重)为W刹车时车辆与地面的摩擦系数μ每次黄灯亮的时间T4、模型假设在公路上车辆都能正常行驶且遵守交通规则在所考虑的街道上，车辆的法定最高行驶速度为v0车辆在十字路口附近行驶速度均为法定最高速度黄灯亮时车辆通过十字路口的速度保持为v0反应时间均为t0，车辆以速度v0行驶距离I+L所需时间为t2车辆按速度v0行驶时，开始刹车到车辆停止行进的时间为t1，同时所经过的路程为x0微分方程建模实例

二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题

3、量的分析

4、模型假设微分方程建模实例

二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题

5、符号意义说明T——黄灯应亮时间T1——驾驶员反应时间T2——汽车通过十字路口时间T3——匀速驶过刹车距离的驾驶时间v0——法定行驶速度I——十字路口长度L——典型车身长度m——汽车质量f——刹车摩擦系数x（t）——汽车行驶距离t1——刹车时间T＝T1+T2+T3（1）T1的计算可以根据统计数据或经验得到，一般可以取为1秒。（2）T2的计算注：汽车尾部必须通过路口微分方程建模实例

二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题

6、建模与求解求T1、T2由牛顿第二定律，车辆在刹车过程中满足微分方程：（1）一次积分

(2-3-6)

（2）x=0条件下，再积分一次

(2-3-7)微分方程建模实例

二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题

6、建模与求解求T3

（3）在刹车的最后v=0，所经过的时间t1由（2－3－6）得

(2-3-8)（4）x（t1）(2-3-8)代入(2-3-7)得（5）求T36、建模求解黄灯亮的最佳时间7、模型分析T关于v0的曲线图如图T*的求解：利用初等数学的公式，对于任意非负实数α和b，均有可求得T的极值T*为微分方程建模实例

二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题

6、建模与求解求T

7、模型分析

§2-3微分方程建模实例

一、恶狼捕食兔子问题二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题三、捕鱼问题

四、飞机的降落曲线问题（一）、提出问题

考察一个渔场：（1）鱼量在天然环境下按一定规律增长（2）捕鱼越多，所获得的经济效益越大（3）但捕捞的鱼过多，会造成鱼量的急剧下降而影响以后的捕鱼数量。目标：在鱼的总量保持稳定的条件下，控制捕捞使持续产量或经济效益

最大。（二）、分析问题（1）存在阻滞增长（2）鱼的总量保持稳定，暗示着会用到平衡解稳定性的讨论。微分方程建模实例

三、捕鱼问题

（一）、提出问题（二）、分析问题（1）量的分析x(t)——时刻t渔场中鱼量x0——平衡解r

——鱼量的自然增长率K——捕捞率xm——渔场资源条件所限制的

鱼量最大值ym——最大捕捞量（2）无捕捞情况x(t)服从阻滞增长模型,则有微分方程建模实例

三、捕鱼问题

（三）、建模与求解

1、目标为鱼量稳定条件下捕捞量最大（3）有捕捞情况假设条件：单位时间捕鱼量与渔场鱼量成正比

（2－3－9）

（4）平衡解讨论令得平衡解（2-3-10）对（2－3－9），令得

（4）平衡解讨论①当K<r时，x0是稳定的平衡解,即K<r是渔业生产必须遵守的条件②当K>r时，x0是不稳定的平衡解，需要改变捕捞方法以保证鱼量稳定（5）捕捞系数K的选取图解法讨论在保持鱼量稳定的条件下，如何选取捕捞系数K使捕捞量最大。微分方程建模实例

三、捕鱼问题

（三）、建模与求解

1、目标为鱼量稳定条件下捕捞量最大（5）捕捞系数K的选取令①由于f1（x）在原点的切线为y=rx，从而当K<r时，f1（x）与f2（x）必相交，其交点的横坐标即为x0，也就是当渔场内鱼量保持稳定时，曲线f1（x）与f2（x）必相交。②所有与抛物线f1（x）相交的直线中，过抛物线顶点的直线将得到最大捕捞量ym，此时稳定的平衡解为代入

得微分方程建模实例

三、捕鱼问题

（三）、建模与求解

1、目标为鱼量稳定条件下捕捞量最大结论

控制捕捞率

,即控制捕捞率使渔场内的鱼量保持在最大鱼量的一半时，就可在保持鱼量稳定的条件下使捕捞量最大。

最大捕捞量为（1）量的分析P——鱼的单价

L——捕捞利润（2）假设条件捕捞成本与捕捞率成正比，比例系数为c封闭式捕捞，即只有一个垄断者进行捕捞（3）建模求解①在保持渔场鱼量稳定的条件下，单位时间捕捞利润为

（2-3-11）

②由（2-3-10）表示k<r条件下渔场的稳定鱼量，解得微分方程建模实例

三、捕鱼问题

（三）、建模与求解

2、目标为鱼量稳定条件下利润最大代入（2-3-11）

得令则使L（x0）最大的点：③捕捞量捕捞率为使经济利润最大，最优捕鱼量比最大捕捞量

少捕的鱼量

与成本的平方成正比，与鱼价的平方成反比。微分方程建模实例

三、捕鱼问题

（三）、建模与求解

2、目标为鱼量稳定条件下利润最大（1）假设条件开放性捕捞，即有众多的经营者，每个经营者既不能控制价格，也不能控制捕鱼总量，只要有微小的利润，经营者就会去捕捞。（2）建模求解将平衡解代入单位时间捕捞利润（2-3-11）得

微分方程建模实例

三、捕鱼问题

（三）、建模与求解

3、捕捞过度条件下的利润分析令L（K）=0，解得①当K<kα

时，利润L（K）>0,经营者会增加捕捞强度。

②若K>kα,L（K）<0,这时必定有经营者退出经营。③kα是盲目捕捞下的临界强度，等于最大效益下捕捞率的两倍。④盲目捕捞下,渔场稳定鱼量

完全由成本一价格比决定，所以当捕捞成本下降或鱼的价格上升时，鱼量迅速减少，出现捕捞过度。

§2-3微分方程建模实例

一、恶狼捕食兔子问题二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题