专题06 巧用零点值妙杀绝对值类压轴题2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）（解析版）

第第页试卷第=page1616页，共=sectionpages1616页专题06巧用零点值妙杀绝对值类压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________典例分析：学习了绝对值我们知道，a=aa>00a=0−aa<0，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式x+1+x−3时，可令x+1=0和x−3=0，分别求得x=−1和x=3，我们就称①当x<−1时，原式=−x−1②当x=−1③当−1<x<3时，原式=x+1④当x=3时，原式=4；⑤当x>3时，原式=x+1综上所述，原式=2−2x(1)化简代数式x−1−2(2)x−1−2x+2的最大值是【答案】(1)原式=(2)3【详解】（1）当x≥1时，原式=x−1−2当−2<x<1当x≤−2时，原式=1−x+2综上所述：原式=−x−5（2）当x≥1时，原式的最大值=0−2×3=−6当x≤−2时，原式的最大值=3−0=3∴x−1−2x+2的最大值为故答案是3．实战训练：一、单选题1．计算x−1+x+2的最小值为（A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】解：∵x−1=x−1∴x−1+x−−2表示在数轴上点x∴当−2≤x≤1时，x−1+故选：D．2．已知x是正实数，则∣x−1∣+∣2x−1∣+∣3x−1∣+∣4x−1∣+∣5x−1∣的最小值是（

）A．2 B．74 C．53 【答案】B【详解】解：∣x−1∣+∣2x−1∣+∣3x−1∣+∣4x−1∣+∣5x−1∣=∣x−1∣+2∣x−当x−1∴∣x−1∣+2∣x−===故选：B.二、填空题3．数轴上表示x和−2的两点A和B之间的距离是，若AB=1，则x为；当代数式|x+2|+|x−3|取最小值时，相应的x的取值范围是．【答案】x+2-1或-3-2≤x≤3【详解】解：数轴上表示x和−2的两点A和B之间的距离是x−−2，即x+2若AB=1，即x+2=1，则x为-1或-3；代数式|x+2|+|x−3|表示数轴上x与-2和3的距离之和，则当x在-2和3之间，即-2≤x≤3时，|x+2|+|x−3|取最小值5，故答案为：x+2，-1或-3，-2≤x≤3．4．已知a,b是有理数，若b=1−a+2，则b的最小值为【答案】2【详解】解：∵1−a≥0∴1−a的最小值为0，∴b的最小值为b=1−a故答案为：2．5．当a=时，|a−1|+4有最小值．最小值是．【答案】14【详解】解：∵a−1≥0，且a−1=0时，即a=1∴当a=1时，|a−1|+4有最小值．最小值是4．故答案为：1；4．三、解答题6．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b

利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示3和6两点之间的距离是______，数轴上表示1和−5的两点之间的距离是______．(2)数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为______．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为______．(3)若x表示一个有理数，则x−2+(4)若x表示一个有理数，且x+1+x−4=5(5)若x表示一个有理数，当x为______时，式子x+1+【答案】(1)3，6；(2)x+2，x−7；(3)6；(4)−1或0或1或2或3或4；(5)−3，6【详解】（1）解：数轴上表示3和6两点之间的距离是3−6=3数轴上表示1和−5的两点之间的距离是1−−5故答案为：3，6；（2）解：数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为x−−2数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为x−7，故答案为：x+2，x−7；（3）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知，x−2+x+4可表示为点x到2和∴当x在2和−4之间时，x−2+x+4有最小值，最小值为故答案为：6；（4）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知，x+1+x−4可表示为点x到−1和∵x+1∴x在−1和4之间（包括−1和4两点），∴满足条件的所有整数x的是−1或0或1或2或3或4，故答案为：−1或0或1或2或3或4；（5）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知，x+1+x+2+x+3+x+4+x+5可表示为点x到点−1、∴当x=−3时，x+1+∴−3+1故答案为：−3，6．7．（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=

当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边AB=②如图3，点A、B都在原点的左边AB=③如图4，点A、B在原点的两边，AB=综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是_______．②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是_______，如果AB=2，那么x（3）探索规律：①当x−1+②当x−1+③当x−1+（4）规律应用工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米．（5）知识迁移x+4−【答案】（2）①3；4；②x+1；1或−3；（3）①小，1；②小，2；③小，4；（4）E；40；（5）x+4−x−5有最大值9，最小值【详解】解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是2−5=3数轴上表示1和−3的两点之间的距离是|1−−3故答案为：3，4；②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是x−−1∵AB=2∴x+1=2∴x+1=2或x+1=−2，解得x=1或x=−3，故答案为：x+1；1或−3；（3）①∵x−1+x−2表示数轴上有理数∴当1≤x≤2时，x−1+故答案为：小，1；②x−1+∴当x=2时，x−1+故答案为：小，2；③x−1+x−2+∴当x=2或x=3时，x−1+故答案为：小，4；（4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，则A点表示的数为−8，B点表示的数为−6，C点表示的数为−4，D点表示的数为−2，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8，设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置，当x−8+∴当x=0时，x−8+∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米，故答案为：E，40；（5）x+4−当x≥5时，x+4−当−4<x<5时，x+4−当x≤−4时，x+4−∴x+4−x−5有最大值9，最小值8．数形结合是初中数学的重要思想方法之一，我们知道∣7−(−1)∣表示7与−1之差的绝对值，也可理解为7与−1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，又如∣a−6∣的几何意义是数轴上表示实数a的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索：(1)代数式∣a−3∣+∣a+1∣的最小值为，满足代数式取得最小值的正整数a有个．(2)若∣a+2∣+∣a−3∣=7，则a=．(3)已知整数a，b，c满足(∣a−1∣+∣a+1∣)(∣b−2∣+∣b+3∣)(∣c−2∣+∣c+5∣)=110，则代数式a−2b+c的最大值和最小值分别为多少？【答案】(1)4，3(2)−3或4(3)最大11，最小−12【详解】（1）解：∣a−3∣+∣a+1∣理解为：在数轴上表示a的点到−3和1的距离之和，∴当点a与、在−3和1之间的线段上，即−1<a<3时，∣a−3∣+∣a+1∣有最小值，最小值为：1−(−3)=4，满足代数式取得最小值的正整数a有3个；（2）解：当a在3的右边时，a−(−2)+a−3=7，解得：a=4，当a在3的左边时，−2−a+3−a=7，解得：a=−3，当a在3与−2之间时，距离为∣−2−3∣=5≠7，即不成立；（3）解：∣−1−1∣=2,∣−3−2∣=5，∵(∣a−1∣+∣a+1∣)(∣b−2∣+∣b+3∣)(∣c−2∣+∣c+5∣)=110，∴∣c−2∣+∣c+5∣=11，即c−2+c−(−5)=11，解得：c=4，2−c+(−5−c)=11，解得：c=−1，此时2×5×11=110，当c=4,b=−3,a=1时，a−2b+c最大为1−2×(−3)+4=11，当c=−7,b=2,a=−1时，a−2b+c最大为−1−2×2−7=−12，∴最大11，最小−12；9．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示−2和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m−n．(2)如果x+1=2，那么x=(3)若a−3=4，b+2=3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、(4)若数轴上表示数a的点位于−3与5之间，则a+3+(5)当a=_____时，a−1+【答案】(1)1；3(2)1或−3(3)12；2(4)8(5)1，9【详解】（1）解：由数轴得数轴上表示3和2的两点之间的距离是：3−2=1；表示−2和1两点之间的距离是：1−−2故答案：1；3．（2）解：由x+1=2x−−1所以表示x与−1距离为2，因为与−1距离为2的是1或−3，所以x=1或x=−3．故答案：1或−3．（3）解：由a−3=4，b+2a−3=4，b−所以表示a与3的距离为4，b与−2的距离为3，，所以a=7或−1，b=1或−5，当a=7，b=−5时，则A、B当a=1，b=−1时，则A、B两点间的最小距离是2，故答案：12，2．（4）解：a+3=所以表示a与−3的距离加上a与5的距离的和，因为表示数a的点位于−3与5之间，所以a+3+故答案：8．（5）解：a−1=a−1所以表示a与1、−5、4的距离之和，①如图，当表示a的点在4的右侧时，即a>4，

由数轴得：a−1=9+3+3=3a，所以3a>12，所以a−1+②如图，当表示a的点在1和4的之间时，即1<a<4，

由数轴得：a−1=9+因为a−1>0，所以9+a−1所以a−1+③如图，当表示a的点在−5和1的之间时，即−5<a<1，

由数轴得：a−1=9+因为1−a>0，所以9+1−a所以a−1+④当表示a的点在−5或1或4的点上时，即a=−5或a=1或a=4，如图，当a=1时，

a−1+如图，当a=4时，

a−1+如图，当a=−5时，

a−1+因为9<12<15，所以当表示a的点在−5或1或4的点上时，仅当a=1时，a−1+a+5+综上所述：当a=1，a−1+a+5+故答案：1，9．10．同学们都知道，5−−2表示5与−2之差的绝对值，实际上也可理解为5与−2(1)5−−2(2)若x+5+x−2=7．请找出三个符合条件的整数x(3)当3≤x≤6时，x−3+【答案】(1)7(2)−5、−4、−3（答案不唯一）(3)最小值是3【详解】（1）解：5−−2故答案为：7；（2）解：∵x+5+x−2表示数轴上数xx+5+∴−5≤x≤2，∴这样的整数有：−5，−4、−3、−2、−1、0、1、2，故答案为：−5、−4、−3（答案不唯一）；（3）解：由以上可知：x−3+x−6表示数轴上数∵3≤x≤6，∴x−3+11．数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作a．数轴上表示数a的点到表示数b的点的距离记作a−b，如1−3表示数轴上表示数1的点到表示数3的点的距离，1+3=1−−3表示数轴上表示数1的点到表示数−3的点的距离，a−2根据以上材料，解答下列问题：(1)若x−1=x+1，则x=_________，若x−1=(2)若x−2+x+1=3(3)若x−2−x+1=3(4)关于x的式子x−3+【答案】(1)0，−1(2)−1，2(3)−1(4)大于等于5【详解】（1）x−1=x+1表示数轴上表示x的点到表示1和因此x=1+x−1=x+3表示数轴上表示因此x=1+故答案为：0，−1；（2）x−2+x+1=3表示数轴上表示x所以−1≤x≤2，因此，x能取到的最小值为−1，最大值为2．故答案为：−1，2；（3）x−2−x+1=3表示数轴上表示数x由数轴直观可得x≤−1，即x能取到的最大值为−1．故答案为：−1；（4）x−3+x+2表示数轴上表示x的点到表示3和由数轴直观可得x−3+因此x−3+故答案为：大于等于5．12．（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，AB=当A、B两点都不在原点时：①如图乙，点A、B都在原点的右边，AB=②如图丙，点A、B都在原点的左边，AB=③如图丁，点A、B在原点的两边，AB=综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=|（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是______；②数轴上表示x和−1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是______，如果|AB|=2，那么③当代数式|x④当代数式|x⑤当代数式|x【答案】①3，3，4；②|x+1|，1或3；③−2≤x≤5；④【详解】解：①5−2=3，−2−(−5)=3，1−(−3)=4；故答案为：3；3；4；②数轴上表示x和−1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是|x当AB=2时，则|则x=1或故答案为：|x③|x+2|+|x−5|表示数轴上一点到−2故答案为：−2≤x④代数式|x−1|+|x+2|+|x−5|表示数轴上一点到1、−2故答案为：x=1⑤代数式|x−5|−|x+2|表示数轴上一点到5与−2两点的距离的差，当点所表示的数小于等于故答案是：x≤−213．材料阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，a−b表示A、B两点之间的距离，如：1−2表示数轴上1与2两点之间的距离，所以数轴上1与2两点之间的距离是1−2=1，式子x−3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理x−4也可理解为x(1)数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是___________．(2)数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是________________，如果AB=2，那么x(3)同理x−1+x+2=3表示数轴上有理数x所对应的点到1和−2(4)若点P表示的数为x，当点P在数轴上什么位置时，x−1+【答案】(1)3(2)1+x，1或−3(3)−2，−1，0，1(4)当点P在表示1和−3的点连接的线段上时，x−1+【详解】（1）解：数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是−2−(−5)=3故答案为：3（2）数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是−1−x=如果AB=2则1+x=2解得：x=1或x=−3；故答案为：1+x,1或−3（3）数轴上有理数x所对应的点到1和−2所对应的两点距离之和为3，则整数x对应的数为−2，−1，0，1；（4）x−1+x+3表示数轴上有理数x所对应的点到1和当x<−3时，x−1+当−3≤x≤1时，x−1+当x>1时，x−1+∴当点P在表示1和−3的点连接的线段上时，x−1+14．【阅读】5−2表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；5+2可以看作5−−2，表示5与−2的差的绝对值，也可理解为5与−2(1)已知a是最大的负整数，b是最小的正整数．请直接写出：a=，b=；并求出在数轴上a和b的距离是；(2)代数式x+8可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若x+8=5，则x=(3)求代数式x+1013+x+504+【答案】(1)−1，1，2(2)−8，−3或(3)当x=−504时，x+1013+x+504+【详解】（1）∵a是最大的负整数，∴a=−1，∵b是最小的正整数，∴b=1，∴a、b的距离是−1−1=2故答案为：−1，1，2；（2）∵x+8=∴x+8可以表示数轴上有理数x与有理数−8∵x+8=5∴x=−8+5=−3或x=−8−5=−13，∴x=−3或x=−13，故答案为：−8，−3或−13（3）∵x+1013+x+504+x−1009表示数轴上有理数x与有理数−1013、∴当x=−504时，x+1013+x+504+15．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道5−3可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，5−−2可以表示5与−2之差的绝对值，也可以表示5与−2

(1)4−1表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离．(2)x−5表示数轴上有理数x所对应的点到________所对应的点之间的距离；x+2表示数轴上有理数x所对应的点到________所对应的点之间的距离．(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得x+2+x−5=7(4)利用绝对值的几何意义，写出x+3+(5)利用绝对值的几何意义，写出x−1+【答案】(1)4，1(2)5，−2(3)−2，−1，0，1，2，3，4，5(4)5(5)5【详解】（1）解：4−1表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离；（2）x−5表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应的点之间的距离；x+2=则x+2表示数轴上有理数x所对应的点到−2所对应的点之间的距离；（3）x+2+x−5=7表示数轴上有理数x∴这样的整数点有−2，−1，0，1，2，3，4，5，共8个；（4）x+3+x−2表示数轴上有理数x所对应的点到则当−3≤x≤2时，x+3+（5）x−1+x+2+x−3表示数轴上有理数∴当