垂直平分线与角平分线典型题

PAGEPAGE4线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔记：2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.课堂笔记：3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一点O，且OA＝OB＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cmB．8cm C．10cmD．12cm课堂笔记：B针对性练习：BAD已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=AD2)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是E如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是ECBCB例2.已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。课堂笔记：B针对性练习：B已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC求证：点O在BC的垂直平分线NANAOOCBCB例3.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。课堂笔记：B针对性练习：B1.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。课堂笔记：经典例题：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF课堂笔记：B针对性练习：B已知：PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.课堂笔记：B针对性练习：B如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD.课堂练习：1.△ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。2.如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。３已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB。求证：MB=MC课后作业：1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD