（5年高考真题备考题库）高考数学一轮复习 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 文 湘教版

2009~2013年高考真题备选题库第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例考点一平面向量的数量积1．（2013湖南，5分）已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()A.eq\r(2)－1 B.eq\r(2)C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(2)＋2解析：本题主要考查向量的坐标运算、向量模的几何含义与向量模的最值求解，意在考查考生的转化能力、数形结合思想的运用能力．建立平面直角坐标系，令向量a，b的坐标a＝(1,0)，b＝(0,1)，令向量c＝(x，y)，则有eq\r(x－12＋y－12)＝1，|c|的最大值为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即eq\r(2)＋1.答案：C2．（2013湖北，5分）已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)解析：本题考查向量的坐标运算及向量投影的概念，意在考查考生对基础知识的掌握情况．＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影为||cos〈，〉＝||eq\f(·,||||)＝eq\f(·,||)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，故选A.答案：A3．（2010辽宁，5分）平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于()A.eq\r(|a|2|b|2－a·b2)B.eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)C.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－a·b2)D.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)解析：因为cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，所以sin∠AOB＝sin〈a，b〉＝eq\r(1－\f(a·b,|a||b|)2)，则S△AOB＝eq\f(1,2)×|a|×|b|×sin∠AOB＝eq\f(1,2)×eq\r(|a|2|b|2－a·b2).答案：C4．(2010湖南，5分)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0⇒cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，所以夹角为120°.答案：C5．(2009·福建，5分)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为两边的三角形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积解析：∵|b·c|＝|b|·|c||cosθ|，如图，∵a⊥c，∴|b·cosθ|就是以a、b为邻边的平行四边形的高，而|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a|(|b|·|cosθ|)，∴|b·c|表示以a、b为邻边的平行四边形的面积．答案：C6．（2012新课标全国，5分）已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，则|b|＝________.解析：依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos45°＋|b|2＝4－2eq\r(2)|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2eq\r(2)|b|－6＝0，∴|b|＝eq\f(2\r(2)＋\r(32),2)＝3eq\r(2)(负值舍去)．答案：3eq\r(2)7．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力．根据数量积b·c＝0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中．因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝eq\f(1,2)，由b·c＝0得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以eq\f(1,2)t＋(1－t)＝0，所以t＝2.答案：28．（2013安徽，5分）若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．解析：本题主要考查平面向量数量积的运算和夹角等基础知识和基础运算．对向量的模同时平方可得，|a|2＝9|b|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以有4a·b＝－4|b|2，即cos〈a，b〉＝－eq\f(|b|,|a|)＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)9．（2013浙江，4分）设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为eq\f(π,6)，则eq\f(|x|,|b|)的最大值等于________．解析：本题考查向量的概念、运算、函数的最值等知识，考查转化与化归能力、函数与方程思想以及灵活利用知识分析问题、解决问题的能力．当x＝0时，eq\f(|x|,|b|)＝0，当x≠0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|x|,|b|)))2＝eq\f(x2,x2＋y2＋\r(3)xy)＝eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))2＋\r(3)\f(y,x))＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(\r(3),2)))2＋\f(1,4))≤4，所以eq\f(|x|,|b|)的最大值是2，当且仅当eq\f(y,x)＝－eq\f(\r(3),2)时取到最大值．答案：210.（2012江苏，5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝eq\r(2)，则·的值是________．解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)，D(0,2)，C(eq\r(2)，2)．设F(x,2)(0≤x≤eq\r(2))，由·＝eq\r(2)⇒eq\r(2)x＝eq\r(2)⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(eq\r(2)，1)·(1－eq\r(2)，2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)11．（2012湖北，5分）已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．解析：(1)因为2a＋b＝(3,1)，所以与它同向的单位向量的坐标是(eq\f(3\r(10),10)，eq\f(\r(10),10))；(2)b－3a＝(－2,1)，所以(b－3a)·a＝－2，|b－3a|＝eq\r(5)，所以b－3a与a夹角的余弦为eq\f(b－3a·a,|b－3a||a|)＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)答案：(1)(eq\f(3\r(10),10)，eq\f(\r(10),10))；(2)－eq\f(2\r(5),5)12．（2011新课标全国，5分）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析：∵a＋b与ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，化简得(k－1)(a·b＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.答案：1考点二平面向量的应用1．(2011山东，5分)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μA1A2(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2·已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c＝λ；(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.根据eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，得eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2.线段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是线段AB的中点，则c＝eq\f(1,2)，代入eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2得，eq\f(1,d)＝0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不正确；若C，D同时在线段AB上，则0<c≤1,0<d≤1，此时eq\f(1,c)≥1，eq\f(1,d)≥1，eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)≥2，若等号成立，则只能c＝d＝1，根据定义，C，D是两个不同的点，故矛盾，故选项C的说法也不正确；若C，D同时在线段AB的延长线上，若c>1，d>1，则eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)<2，与eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2矛盾，若c<0，d<0，则eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)是负值，与eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2矛盾，若c>1，d<0，则eq\f(1,c)<1，eq\f(1,d)<0，此时eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)<1，与eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2矛盾；故选项D的说法是正确的．答案：D2．（2013辽宁，12分）设向量a＝(eq\r(3)sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解：本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质．(1)由|a|2＝(eq\r(3)sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，从而sinx＝eq\f(1,2)，所以x＝eq\f(π,6).(2)f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinx·cosx＋sin2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，当x＝eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))取最大值1.所以f(x)的最大值为eq\f(3,2).3．（2013江苏，15分）已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．解：本题考查平面向量的加法、减法、数量积运算，三角函数的基本关系等基础知识，意在考查学生的运算求解和推理论证能力．(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1.))由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得，sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α>β，所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).4．（2013天津，13分）设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为eq\f(\r(3),3)，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为eq\f(4\r(3),3).(1)求椭圆的方程；(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值.解：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．(1)设F(－c,0)，由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，知，a＝eq\r(3)c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有eq\f(－c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(\r(6)b,3)，于是eq\f(2\r(6)b,3)＝eq\f(4\r(3),3)，解得b＝eq\r(2)，又a2－c2＝b2，从而a＝eq\r(3)，c＝1，所以椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\a