d213多元函数积分学曲面积与场论(55p)

第二章第六节机动目录上页下页返回结束—曲面积分多元函数积分学(三)（一）对面积的曲面积分(第一型曲面积分)知识要点典型例题（二）对坐标的曲面积分(第二型曲面积分)知识要点01典型例题1.概念:机动目录上页下页返回结束（一）对面积的曲面积分(第一型曲面积分)物理意义:其中dS

称为曲面面积元素.当曲面

的方程为z=z(x,y)时,非均匀曲面的质量.当曲面

的方程为x=x(y,z)时,当曲面

的方程为y=y(x,z)时,知识要点01性质8机动目录上页下页返回结束有关于第一型曲面积分的对称性结论,与三重积分中对面积的曲面积分与曲面的侧(方向)无关.性质9(对称性)2.性质(与定积分类似)相应的对称性结论类似.为此,只需将三重积分换成第一型曲面积分,并把三重积分中的空间立体区域换成曲面,再将三重积分中的体积元素dv换成第一型曲面积分的曲面面积元素dS

即可.02机动目录上页下页返回结束3.计算法(化为二重积分计算)则有:(1)若曲面的方程为z=z(x,y),曲面在xoy

坐标面的投影区域为(2)若曲面的方程为“面积”化为“重积”算的投影区域为曲面在yoz

坐标面则有:(3)若曲面的方程为y=y(x,z),曲面在xoz

坐标面的投影区域为则有:①代②换③投影x=x(y,z),03机动目录上页下页返回结束限的部分,例1(00.3分)设S:为S在第一卦解由于曲面S关于yoz和xoz坐标面对称,则有().关于x和y都是偶函数,又在曲面上,x,y,z具有轮换C(6-34)典型例题f(x,y,z)=z所以有所以有即有故选项(C)正确.

对称性,注释本题考查对称性在对面积的曲面积分中的应用04例2

(95.6分)解机动目录上页下页返回结束内的部分.则有有:计算曲面积分其中

为在柱体锥面

在xoy坐标面的投影区域记为:极坐标对锥面

:注释本题考查对面积的曲面积分的计算法.(6-24)锥面5机动目录上页下页返回结束1.概念对坐标的曲面积分(第二型曲面积分)2.性质(与定积分类似)性质8.其中为

取即对坐标的曲面积分与有向曲面的方相反侧的曲面.向(侧)有关.知识要点6机动目录上页下页返回结束3.计算法先将曲面

的方程表示为(1)要计算此时曲面分上侧与下侧.再将曲面投影到设投影区域为(上侧取+,下侧取–)(化为二重积分计算)(2)要计算先将曲面的方程表示为此时曲面分前侧与后侧.再将曲面投影到设投影区域为z=z(x,y),xoy坐标面,则有x=x(y,z),yoz坐标面,则有(前侧取+,后侧取–)7机动目录上页下页返回结束(3)要计算先将曲面

的方程表示为y=y(x,z),此时曲面分右侧与左侧.再将曲面

投影到xoz坐标面,设投影区域为则有(右侧取+,左侧取–)口诀:“一代,‘面积’化为‘重积’算”.①②③二投,三定侧,84.高斯公式:其中

取封闭曲面的外侧,

是

所围的空间区域.机动目录上页下页返回结束8题型2

利用高斯公式计算机动目录上页下页返回结束例1(88,5分)

的外侧,计算曲解面积分

设S为曲面

注释本题考查用高斯公式计算对坐标的曲面积分.由高斯公式知(其中本题常出现的错误是把三重积分的被积函数用“1”代换.(6-3)9机动目录上页下页返回结束例2

(93.6分)计算是由曲面所围立体表面的

解积分区域为封闭曲面,可直接用高斯公式.

球面坐标

原式=注释本题考查利用高斯公式计算对坐标的曲面积分.(6-20)其中

外侧.10例3

(90.8分)解是球面机动目录上页下页返回结束求曲面积分的外侧在z≥0的部分.分析而曲面又不是封闭曲面,本题直接计算不方便,此时一般都是采用补面后利用高斯公式.补xoy坐标面上的平面注释本题考查对坐标的曲面积分和高斯公式.并取其下侧.则有:(6-12)(想想为何“−”变“+”?)其中S11机动目录