浅谈初中一些几何最值问题 论文

PAGEPAGE1浅议初中几何一些最值问题尹修和滁州市天长市汊涧中学 1263897878@摘要：初中几何的最值问题通常指在一定条件下，求平面几何图中某个确定的量，如线段、面积等的最值。这些最值的求法要求学生有扎实的基本功以及较强的方程等数学思想，最值问题的特点在于它的应用性和实用性，只要方法得当解题时不但有效而且更简单更迅速。在初中数学中的重要地位也逐步凸显。关键词：特殊点、距离、垂线段、对称、函数。引言：几何问题的解决是初中学生逻辑思维的起步，对于他们来说通过对之前所学知识的积累，在知识的认知上会达到一个高度，求几何最值在几何题中属于提高性难题，对知识综合性要求很高，尤其在考试中的题型对学生的要求贯穿整个数学知识体系，所涉及的题型往往都是考试难点。教师在初三复习阶段教学过程中往往在此类题型上花较多时间进行归类、总结。其实针对几何最值问题涉识点多、知识面广，题型相对多样的特点，我们在平时的教学过程中如果多加引导和启发，再加以数学思维的培养训练，潜移默化中，学生们就会有这方面解题能力的提升。本文将我在平时的教学过程中遇到求几何最值问题的解决与应用，做一个简单总结。一、特殊位置法几何最值问题初中几何中对于线段的最值中，有一种是根据特殊点的位置来确定线段最值。该知识点的运用需要学生有掌握完整的知识体系能力，平时训练中要加以对学生思维的引导。学生在解题时需要运用发散性思维去思考，要求前后知识串联起来，找到解决问题的依据。认真审题，根据题目的已知条件，结合定理、公理探究条件与结论的联系，迅速找到解决问题的思路。例1：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的两个顶点A、D分别在x轴、y轴上滑动，且AD=6，CD=4，求A和D在滑动过程中OC的最大值。解析：取AD的中点E，连OE、CE在Rt△AOE中 OE=1AD=1×6=32 2CD2DECD2DE2424232=5∵CE+OE≥OC即OC≤3+5=8∴OC的最大值为8该例题“取AD的中点E是解题的关键。平时遇到问题时，遇到动态思维、发散性思维的能力，以及构建数学模型解题都有很高的要求。二、利用“垂线段最短”性质求几何最值问题需要构造适当的图形，化斜线为垂线段，进而用“垂线段最短”去解决问题。探明知识与问题的内在本质与相互联系，并尽量借助图形使思维视觉化，以求照亮隐蔽的思维黑洞，使之明晰呈现于眼前，唤起学生的逻辑思考和直觉感悟。初中几何背景下“垂线段最短”求最小值是典型的数学模型之一有助于学生学习了解并且更好认识这类问题的本质。例AB的长为30

2，点D在AB上，△ACD是边长为15的等D作与CD垂直的射线DP上动点G（不与DCDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB。求线段BO的最小值。解：连AO，过B作BO’⊥AO，垂足为O’∵△ACD为等边三角形，∴AC=AD四边形CDGH为矩形 ∴OC=OD∴AO是CD的垂直平分线∴O是射线AO上一动点BO’即为BO的最小值，∵AO垂直平分CD∴AO平分∠CAD， ∴∠BAD’=160°=30°2在Rt△ABO’中， BO’=1AB=130

21522 2∴BO的最小值为152实际运用中，找“垂线段”是关键，其次就是求解，对于各种特殊三角形的边角关系的熟练运用都有很高的要求，总结起来就是“找，作，求”。三、利用轴对称性质求何最值轴对称知识在中学几何的学习中属于重点之一，在平时测试和中考中也属于常见题型。其中对于利用轴对称知识解决最短距离的问题更是屡见不鲜。轴对称性质解决最短距离问题是以“两点之间线段最短”为依据，把两点在同侧的问题转化为在直线异侧的问题来解决。例3，如图矩形ABOC的顶点A是OB的中点，E为OC上的一点，当△ADE的周长最小时，求点E的坐标。D关于y轴的对称点AD’交y轴于的周长最小。∵四边形ABOC为矩形且A（-4.5）∴B（-4.0）又∵D为OB中点 ∴D（-2.0）,∴D(2.0)设直线AD’的解析式为y=kx+b，由题意-4k+b=5 k=-56解得2k+b=0 b=35∵直线AD’的解析式为y=-5x+36 5当y=0时，x=53∴点E的坐标为（0、5）3要求△ADE的周长最小值，由于D是定点，AD是定值.要使AD＋AE＋DE最小，即AE＋DE最小。这样就可以把问题转化成“一条直线同侧两个定点到该直线动点距离之和最小值”的问题，通过找对称点，把直线的动点利用“两点之间线段最短”确定为定点，从而确定图形。由于图形是在平面直角坐标系中，所以解题过程中涉及到一次函数中，求函数解析式，一次函数与坐标轴交点。四、利用函数的相关性质求最值几何题用函数求最值，常见题型为“求线段，求面积”等最值问题，该题型方法灵活多样且综合性强。用函数的方法来解决体现数学中“数与形”的完美结合，其形象化求解过程更加简捷，问题也可以轻松获解。这类问题往往还有一个显著特点，就是操作性很强，既可以利用理论知识，也可以实际操作。通过制作图形动手，在不同的位置计算比较，过程中学生学习兴趣可以得到激发。PAGEPAGE5例2的等边三角形ABC是BCP分别作BPAMPN的面积最大，并求出最大值。解：连AP设BP=x，则CP=2-x∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵PM⊥AB，PN⊥ACBM=x∴ 1，PM=BM=x2 2

x，CN=1(232 2

(2x)，∴S四边形AMPN=S△AMP+S△APN1 1= (2 x)

3x1[21(2x)]

3(2x)2 2 2 2 2 232 3 3=- x+ 4 2 233 2 33=- (x4 43∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大值为 34等边三角形中的边角关系具有它的特殊性结合利用二次函数的配方法知识求最值，理论与运用相结合，反映了函数求最值对于解决几何问题中最值的一种重要的辅助方法。五、利用圆中相关性质求最值变，难度适中，综合性强的特点，针对不同问题利用圆中相关性质是解决此类问题的关键PAGEPAGE6例5，如图，AB是O的弦，AB=5，点C是O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，求MN长的最大值。解：∵M、N分别是AB、AC的中点，∴MN=1BC2∴当BC取最大值时，MN就取最大值，∴当BC为O的直径时，BC最大连接BO并延长交O于点C’，连接AC’，∵BC’是圆O的直径∴∠BAC’=90°AB 5 ∴BC’= 52

52∴MN最大值=Sin45 2 22直接求MN是△ABCBC的最大值，利用三角形中位线的性质间接的求出MN的最大值。再利用圆中最长的弦是直径的知识点求出BC题是不能直接求出的，把所要求的线段长度通过间接的求其他与之有联系的线段长度，从而达到求解的目的。学生作为学习过程中的个体，只有通过完善