第2-5节 考虑摩擦时的平衡问题

2-5考虑摩擦时的平衡问题

返回

摩擦表面粗糙的两物体相互接触而产生的一种阻碍物体间相对运动或相对运动趋势的现象。平衡问题没有考虑摩擦视为绝对光滑处理摩擦是重要因素甚至是决定因素必须考虑摩擦摩擦是次要因素

工程和生活中的摩擦问题梯子如何放置才能保证安全?AB

为了使人手施加于门上的水平拉力最大，距离d

应为多少?

工程和生活中的摩擦问题PdhT

工程和生活中的摩擦问题如何确定砖夹的尺寸b?是大好还是小好？

工程和生活中的摩擦问题怎样保证螺旋千斤顶安全工作?手柄丝杆底座重物

工程和生活中的摩擦问题为什么滚动比滑动省力?PTTP摩擦的机理十分复杂，目前已形成一门边缘学科“摩擦学”。本章仅讨论工程中常用的摩擦近似理论。

摩擦的类型干摩擦——固体与固体之间无润滑的摩擦。内摩擦流体摩擦——流体两相邻层之间由于流速不同而引起切向力的现象。——物体材料内部的摩擦。滚动摩擦滑动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦干摩擦梯子不滑倒的最大倾角θ

考虑摩擦时的平衡问题

钢丝不滑脱的最大直径

考虑摩擦时的平衡问题

夹纸器的最小倾角

考虑摩擦时的平衡问题

夹持器的最小倾角

考虑摩擦时的平衡问题

磨削工具利用摩擦力

考虑摩擦时的平衡问题

磨削工具利用摩擦力

考虑摩擦时的平衡问题

利用摩擦力锚紧泊船

考虑摩擦时的平衡问题

刹车器利用摩擦力

考虑摩擦时的平衡问题

轮轴承轴承中摩擦力越小越好

考虑摩擦时的平衡问题

赛车后轮的摩擦力是驱动力WFNFs

考虑摩擦时的平衡问题

放大后的接触面

考虑摩擦时的平衡问题

接触面的计算机模拟

考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题

摩擦(friction)是一种普遍存在于机械运动中的自然现象。实际机械与结构中，完全光滑的表面并不存在。两物体接触面之间一般都存在摩擦。在自动控制、精密测量等工程中即使摩擦很小，也会影响到仪器的灵敏度和精确度，因而必须考虑摩擦的影响。

研究摩擦就是要充分利用有利的一面，克服其不利的一面。

按照接触物体之间可能会相对滑动或相对滚动，有滑动摩擦和滚动摩擦之分。根据接触物体之间是否存在润滑剂，滑动摩擦又可分为干摩擦和湿摩擦。本课程只介绍干摩擦时，物体的平衡问题。

1滑动摩擦定律2考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题

摩擦的机理十分复杂，目前已形成一门边缘学科“摩擦学”。本章仅讨论工程中常用的摩擦近似理论。

摩擦的类型干摩擦——固体与固体之间无润滑的摩擦。内摩擦流体摩擦——流体两相邻层之间由于流速不同而引起切向力的现象。——物体材料内部的摩擦。滚动摩擦滑动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦干摩擦FsFO45°FmaxFd运动状态静止状态临界状态PFNFs静止状态：运动状态：临界状态：此时，摩擦力的大小由平衡方程确定。

滑动摩擦一、静(滑动)摩擦力二、最大静(滑动)摩擦力当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静（滑动）摩擦力。式中，fs

为静摩擦因数，可通过查表或由实验确定。三、动(滑动)摩擦力一般情况下：

f<

fs

式中，f为动摩擦因数，可通过查表或由实验确定。——静摩擦定律（库仑定律）滑动摩擦力小结滑动摩擦力是一种特殊的（切向）约束力；

方向与相对滑动或相对滑动趋势的方向相反；

大小有三种情况：静止时：滑动时：临界时：此时，摩擦力的大小由平衡方程确定。§2

考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时构件的平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题，与不考虑摩擦时的平衡问题有着共同特点，即：物体平衡时应满足平衡条件，解题方法与过程也基本相同。

但是，这类平衡问题的分析过程也有其特点：

首先，受力分析时必须考虑摩擦力，而且要注意摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反；

其次，在滑动之前，即处于静止状态时，摩擦力不是一个定值，而是在一定的范围内取值。

§2考虑摩擦时物体的平衡问题系统处于（或可能处于）临界状态的情况。此时，摩擦力的方向不能假设，必须根据接触面间的相对滑动趋势预先判定。若可能的相对滑动趋势超过一种，则必须分别求解。

F<

Fmax摩擦力未达到最大值，系统处于平衡状态的情况。这时与求一般的约束力的情况相同，摩擦力的方向可以假设。

F=

Fmax

或F

Fmax

[例1]

攀登电线杆用的套钩如图所示。已知b，d，fs。试求套钩不致下滑时人的重力W的作用线与中心线的距离l。分析：距离l与人的重量W有关吗？套钩不致下滑时A、B两处的摩擦力……?解：取套钩为研究对象，进行受力分析WFNBFBFAABFNA补充方程：解得套钩不致下滑的条件为可见，距离l与人的重量W无关。WABdbFNBFBFAFNA[例2]

图示均质木箱重P=5kN，

fs=0.4，h=2a=2m，

=30o。求：1）F=1kN时，木箱是否平衡？2）能保持木箱平衡的最大拉力。分析：不发生滑动；不绕A点翻倒。AaPBFh

1）木箱平衡必须满足的条件？？AaPBFh

解：1）取木箱，进行受力分析FNFsd因故木箱不会发生滑动。又因故木箱不会翻倒。木箱平衡。分析：2）保持木箱平衡的最大拉力？木箱不翻倒，发生滑动：木箱不滑动，绕A点翻倒：min(F1，F2）两种破坏平衡的可能情形：临界拉力为F1临界拉力为F2AaPBFh

2）假设木箱不翻倒，发生滑动的临界条件为假设木箱不滑动，绕A点翻倒的临界条件为AaPBFh

FNFsdAaPBFh

FNFsd故木箱保持平衡的最大拉力为思考：若将F改为推力，则又如何？木箱不发生滑动的最大拉力：木箱不绕A点翻倒的最大拉力：注意：1、判断平衡与否的问题平衡方程+判断(滑动？翻倒？)2、确定平衡条件的问题通常是一个范围。1）临界状态确定的问题平衡方程+补充临界方程2）临界状态待定的问题

(如滑动与翻倒、多处摩擦等)AaPBFh

FNFSd如何确定砖夹的尺寸b?是大好还是小好？已知：砖重P=120N，砖夹与砖之间的摩擦因数fs=0.5,尺寸如图所示，单位为mm。求：b为多大才能把砖夹起？解：（1）取整体，受力如图。(1)FGxFGyFNAFA（2）取AGB，受力如图。[例3]（书习题3-34）

F(2)(2)补充方程：(3)（3）取砖，受力如图。(4)FGxFGyFNAFAFFNDFDF'NAF'A(1)联立解得：

考虑摩擦时构件的平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题

放置于斜面上的物块重FW＝1000N；斜面倾角为30º。物块承受一方向自左至右的水平推力，其数值为FP＝400N。若已知物块与斜面之间的摩擦因数fs＝0.2。求：1.物块处于静止状态时，静摩擦力的大小和方向；

2．使物块向上滑动时，力FP的最小值。

例4

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

考虑摩擦时的平衡问题

解：根据本例的要求,需要判断物块是否静止。这一类问题的解法是：假设物体处于静止状态，首先由平衡方程求出静摩擦力F和法向反力FN。再求出最大静摩擦力Fmax。将F与Fmax加以比较，若物体处于静止状态，所求F有意义；若，物体已进入运动状态，所求F无意义。

考虑摩擦时的平衡问题

解：1．确定物块静止时的摩擦力F值

以物块为研究对象，假设物块处于静止状态，并有向上滑动的趋势，受力如图示。其中摩擦力的指向是假设的，若结果为负，表明实际指向与假设方向相反。由

F＝－153.6N负号表示实际摩擦力F的指向与图中所设方向相反，即物体实际上有下滑的趋势，摩擦力的方向实际上是沿斜面向上的。

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

考虑摩擦时的平衡问题

最大静摩擦力为

因此，物块在斜面上静止；摩擦力大小为153．6N,其指向沿斜面向上。

解：1．确定物块静止时的摩擦力F值

FN＝1066NF＝－153.6N

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

考虑摩擦时的平衡问题

仍以物块为研究对象，此时，物块处于临界状态，即力FP再大于FPmin，物块将发生运动，此时摩擦力F达到最大值Fmax。这时，必须根据运动趋势确定Fmax的实际方向。

解：2．确定物块向上滑动时所需要主动力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和关于摩擦力的物理方程：

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

考虑摩擦时的平衡问题

解：2．确定物块向上滑动时所需要主动力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和关于摩擦力的物理方程：

联立，解得：FPmin＝878.75N

当力FP的数值超过878.75N时，物块将沿斜面向上滑动。

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

已知

、

及A物块的重量

FP，物块与斜面间的摩擦因数为f。求：能使物块A保持平衡的FQ

的值。解：取A物块

,分析受力。摩擦力的方向？则摩擦力沿斜面向下。建立坐标系如图。(1)设有上滑趋势FQ

A

例5：

xyFPFNFsFT分析！设达到临界状态，则有：解得：列平衡方程：(1)设有上滑趋势

xyFPFNFsFT

xyFPFNFT设达到临界状态，则有：解得：则摩擦力沿斜面向上。Fs(2)设有下滑趋势

考虑摩擦时构件的平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题

梯子的上端B靠在铅垂的墙壁上，下端A搁置在水平地面上。假设梯子与墙壁之间为光滑约束，而与地面之间为非光滑约束。已知：梯子与地面之间的摩擦因数为fs；梯子的重力为W。1．设梯子在倾角

1的位置保持平衡，求:

A、B二处约束力FNA、FNB和摩擦力FA；2．若使梯子不致滑倒，求:

倾角的范围。

例题7

考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

解:

1.梯子在倾角

1的位置保持平衡时的约束力

这种情形下，梯子的受力如图示。其中将摩擦力FA作为一般的约束力，假设其方向如图示。于是有

由此解得

考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

解:

1.梯子在倾角

1的位置保持平衡时的约束力

由此解得

所得FA的结果为负值，表明梯子下端所受的摩擦力与图中所假设的方向相反。

考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

这种情形下，摩擦力FA的方向必须根据梯子在地上的滑动趋势预先确定，不能任意假设。解:

2.求梯子不滑倒的倾角

的范围

平衡方程和物理方程分别为

考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

解:

2.求梯子不滑倒的倾角

的范围

联立，不仅可以解出A、B二处的约束力，而且可以确定保持梯子平衡时的临界倾角由常识可知，角度越大，梯子越易保持平衡，故平衡时梯子对地面的倾角范围为

结论与讨论

摩擦角与自锁的概念干摩擦时的摩擦力－摩擦角关于摩擦角的两点结论：

摩擦角是静摩擦力取值范围的几何表示。

三维受力状态下，摩擦角变为摩擦锥。

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象自锁及其应用WyWxFFNW斜面上刚性块的运动趋势

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象自锁及其应用－斜面上刚性块的运动趋势WyWxFFN坡度很小时，刚性块不滑动

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象自锁及其应用－斜面上刚性块的运动趋势WyWxFFN坡度增加到一定数值以后，刚性块滑动

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象自锁及其应用－斜面上刚性块的运动趋势WyWxFFN坡度增加到一定数值时，刚性块处于临界状态

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象

不仅斜面与物块系统具有这种现象，考察平面－物块系统的运动趋势：自锁及其应用FQFQ

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象

主动力作用线位于摩擦角范围内时，不管主动力多大，物体都保持平衡，这种现象称为自锁。自锁及其应用

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象

主动力作用线位于摩擦角范围以外时，不管主动力多小，物体都将发生运动。自锁及其应用

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象

主动力作用线与法线之间的夹角等于摩擦角时物体处于临界状态。自锁及其应用

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象自锁及其应用

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象自锁及其应用螺旋

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象自锁及其应用

摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角与自锁现象当全部主动力的合力的作用线在摩擦角的范围之内时，无论这个力有多大，物体必定保持平衡。二、自锁现象

自锁

不自锁当全部主动力的合力的作用线在摩擦角的范围之外时，无论主动力多小，物体必定不能平衡。

f

f

FFR

f

fFR

F斜面的自锁条件斜面的自锁条件：螺纹的自锁条件：怎样保证螺旋千斤顶安全工作?手柄丝杆底座重物一般取螺纹升角

=4~4.5o。

[例8]

攀登电线杆用的套钩如图所示。已知b，d，fs。试求套钩不致下滑时人的重力W的作用线与中心线的距离l。WABdbFNBFBFAFNA用自锁条件求解?FRFRCA§滚动摩阻的概念

轮

轨的刚性约束模型物体滚动时，存在什么阻力？有什么特性？根据刚性约束模型，得到