瞬时功率谱的定义和性质

瞬时功率谱的定义和性质

一、瞬时功率谱的定义在过去10年中，随着机振动信号理论及其应用的研究成果越来越少，但大多数研究仅限于稳定的随机振动信号。而实际中存在着很多随机振动信号,其实质是一种非平稳随机振动信号。这种非平稳随机振动信号处理的理论还很不成熟,特别是对非平稳随机振动信号的瞬时功率谱目前还没有统一的认识。众所周知,功率谱是平稳随机振动信号最重要,也是最有用的频域统计量。非平稳随机振动信号是否也存在着类似的功率谱?这正是许多学者致力于研究的问题。1986年,Mark提出,一个理想的非平稳随机振动信号瞬时功率谱应当满足如下四个条件:1.具有明确的物理意义,应能被解释成是每一时刻的瞬时功率在频域的分布密度。在不同时刻这种分布密度一般是不相同的,故是一种瞬时功率谱。2.应包含平稳随机振动信号的功率谱。3.对于线性振动系统,输出信号的瞬时功率谱和输入信号的瞬时功率谱之间存在着确定的关系。4.能够推广至任意随机振动信号。Mark还认为:在现有的非平稳随机振动信号瞬时功率谱中,还没有一种能够同时满足以上四点要求,其中Wigner谱和Physical谱可以部分满足以上条件。二、当前绩效评估的评论1.wiger谱的定义和主要性质Wigner谱最早是由物理学家Wigner在1932年提出的一个量子力学概念,1954年由Ville引用作信号分析。80年代以来,由于语音信号处理的需要,Wigner谱得到了更广泛的应用。1976年和1986年,Mark多次在非平稳随机振动的信号处理中应用了Wigner谱。文给出了Wigner谱的定义和若干主要性质。定义设x(t)是一非平稳随机振动信号,其二维时间相关函数为令式中:ω=2πf,f是角频率,τ、t、t1和t2都是时间变量,j是虚数单位,E表示对样本求平均。Wx(t,ω)就是非平稳随机振动信号x(t)的Wigner谱,它具有如下主要性质:性质1:Wx(t,ω)是实数,但可能是正实数,也可能是负实数。性质2:Wigner谱和瞬时功率Rx(t,t)之间存在着如下关系性质2说明了Wigner谱的物理意义。如果对于任意的t和ω,都有Wx(t,ω)≥0,那么Wiginer谱的物理意义就是很明确了,它就表示瞬时功率Rx(t,t)在频域的分布密度。但由于实际上Wx(t,ω)可能出现负值,而这种负值与分布密度的物理意义是相矛盾的。这是Wigner谱的主要缺陷之处。2.physity谱的主要性质Physical谱是在语音信号处理中用得最多的另外一种功率谱,文给出了它的定义和主要基本性质。定义设x(t)是一非平稳随机振动信号,b(t)是一确定性的窗函数,令Px(t,ω)就是x(t)的Physical谱,它具有如下主要性质:性质1:对于任意的t和ω,Px(t,ω)都是正实数。性质2:Physical谱和瞬时功率Rx(t,t)之间存在着如下关系从以上性质可以看出:Px(t,ω)确实描述了一种功率在频域的分布密度,但这种功率并不是非平稳随机振动信号的瞬时功率,而是瞬时功率的某种加权平均。这种加权平均的结果取决于窗函数,而如何选择窗函数,目前还没有统一的认识,具有很大的随意性。这是Physical谱的主要缺陷之处。另外文还证明了Physical谱和Wigner谱之间存在着如下关系式中上式说明:Physical谱实质上只是Wigner谱的一种加权平均值。三、瞬时功率谱的性质针对现有瞬时功率谱的缺点,本文提出了非平稳随机振动信号的一种新型瞬时功率谱。定义设x(t)是一非平稳随机振动信号,令Gx(t,ω)是非平稳随机振动信号x(t)在时域区间(一∞,t]内的能量谱。这种能量谱是随时间t而变化的,其随时间的变化率记为本文定义Sx(t,ω)是非平稳随机振动信号x(t)的新型瞬时功率谱。这种新型瞬时功率谱具有以下性质:性质1:对于任意的t和ω,Sx(t,ω)都是实数,但可能是正实数,也可能是负实数。从Sx(t,ω)的定义式(12)不难证明这一点。表面看来,和Wigner谱一样,Sx(t,ω)也可能出现负值,但此时的物理意义是很明确的:若Sx(t,ω)>0,说明能量谱Gx(t,ω)在时刻t有增加的趋势。若Sx(t,ω)=0,说明能量谱Gx(t,ω)在时刻t取得极大值或极小值。性质2:Sx(t,ω)也具有瞬时功率Rx(t,t)在频域分布密度的物理意义,即由巴塞伐等式,可得等式两边同时对时间t求导数,可得这就证明了性质2。性质2说明:新型瞬时功率谱Sx(t,ω)具有双重物理意义。从Sx(t,ω)随时间的变化规律来看,它描述了每一频率的能量谱随时间的变化规律;从Sx(t,ω)随频率的变化规律来看,它描述了每一时刻的瞬时功率在频域的分布情况。性质3:从二维时间相关函数Rx(t1,t2)可以计算出新型瞬时功率谱Sx(t,ω),即证明这就证明了性质3。性质4:从新型瞬时功率谱Sx(t,ω)可以计算出二维时间相关函数Rx(t1,t2),即证明由性质3可得令从上式不难验证:,即是偶函数,这时可得根据富氏变换理论,可得当0≤τ≤t时,有令而当t1≤t2时,由二维时间相关函数的性质可知这就证明了性质4。性质3和性质4说明:非平稳随机振动信号的二维时间相关函数和新型瞬时功率谱之间是可以互相转换的,但这种转换关系与常规富氏变换是有差别的。性质5:Sx(t,ω)包含了平稳随机振动信号的功率谱。证明当x(t)是平稳随机振动信号时,其二维时间自相关函数具有如下特点则式中是平稳随机振动信号的自关函数和自功率谱。这就证明了性质5。这个性质说明:如果x(t)是平稳随机振动信号,那么瞬时功率谱Sx(t,ω)一定不随时间而变化。性质6:线性振动系统的输入信号x(t)和输出信号y(t)的新型瞬时功率谱Sx(t,ω)和Sy(t,ω)之间存在着确定的关系。证明设h(t)是线性振动系统的脉冲响应函数,根据一般理论,可得由性质3可得由性质4可得由以上三式即可得Sy(t,ω)和Sx(t,ω)之间的确定性关系式,但这种关系式是比较复杂的。四、新型瞬时功率谱的特征下面通过一个具体例子对新型瞬时功率谱和Wigner谱进行比较分析。设有一随机振动信号x(t)式中xm是一个随机变量,E[xm]=0,,ω0和σ2是确定性常数。这时,E[x(t)]=0,E[x2(t)]=σ2·sin2ω0t因为E[x2(t)]是随时间t变化的,故x(t)是非平稳随机振动信号。显然此信号中有一个主要的频率成分ω0,要研究的是能否从瞬时功率谱中识别出这个主要的频率成分。首先计算x(t)的二维时间自相关函数由二维时间自相关函数计算Wigner谱为图1和图2示出了当σ2=1,ω0=5(Hz)时两种瞬时功率谱随时间和频率的变化规律。从中可以看出,这两种瞬时功率谱的相同之处和不同之处。1.相同之处在于:当ω=ω0=5(Hz)时,两种瞬时功率谱都存在着明显的峰值,这说明从Wx(t,ω)和Sx(t,ω)中,都能反映出非平稳随机振动信号的主要频率成分。2.不同之处在于:Wx(t,ω)在ω=0和ω=5(Hz)都存着明显的峰值,并且ω=一0时的峰值更大,但在非平稳随机振动信号x(t)中实际上并没有此频率成分。这说明Wigner谱的峰值并不能与非平稳随机振动信号中的主要频率成分一一对应。而Sx((t,ω)只在ω=5Hz时才有明显的峰值,这样就比较容易识别非平稳随机振动信号中的主要频率成分。这就初步证实了:本文提出的新型瞬时功率谱具有更明确的物理意义。3.从Mark的四个基本条件来看,Wigner谱可以满足第2、3、4个条件,但不能满足第1个条件。而新型瞬时功率谱的性质1和性质2说明它满足第1个条件;性质5说明它满足第2个条件;性质3、性质4和性质6则说明它满足第3个条件;另外从新型瞬时功率谱的