二次电源的浪涌电流抑制管的研究

二次电源的浪涌电流抑制管的研究

本文将二次供电的波浪抑制问题提升到“最佳抑制问题”。目的是寻找一种浪涌电流,其幅值限制在允许范围内,能在给定的时间内完成浪涌过程,而且使浪涌抑制管在这过程中产生的最大瞬时功率值最小。首先证明,当输入电压Vi和滤波电容C给定,能完成浪涌过程的任何浪涌电流,在浪涌抑制管上产生的瞬时功率对时间的积分值恒定。在这个基础上,根据使最大瞬时功率值最小化这一最佳抑制准则,先求幅值受限制﹑能在给定时间完成浪涌过程的浪涌电流在浪涌抑制管上产生的最佳瞬时功率线。再按这一功率线建立浪涌电流应满足的方程,解此方程得最佳浪涌电流。为便于将最佳浪涌电流和目前常用的线性浪涌电流进行比较,文中对后者也作了分析和讨论,并从中找到线性最佳浪涌电流。1用温升计算热响应曲线二次电源接通一次电源后的启动过程可依次分为浪涌电流抑制过程和直流变换器的软启动过程,它们之间相隔几毫秒。因此,浪涌电流抑制过程近似发生在图1所示的电路中:当K接通,浪涌电流抑制管Q在iD(t)抑制器作用下抑制浪涌电流iD(t),在给定的时间T内使电容器C的电压VC(t)由起始的VC(0)=0上升到VC(T)=Vi(一次电源电压)。在这过程中Q漏源之间电压等于VDS(t)=Vi-1C∫t0iD(t)dt,t=0~Τ(1)VDS(t)=Vi−1C∫t0iD(t)dt,t=0~T(1)相应的瞬时功率由式(2)表示,这个单次脉冲功率在Q内部转换为热功率,由Q的结传导至Q的外壳,结-壳间温差随之上升。若结温超过允许值,则Q损坏。按现行计算温升的方法,先求式(2)的瞬时最大值(记为Pmax),然后将Q上发生的这个单次脉冲功率损耗看成是以Pmax为幅值(等幅)持续时间为T的过程。这样,即可根据Q的单次功率脉冲的热响应曲线,计算结-壳间温升值。这个温升值与Pmax成正比。从计算结果看使Pmax最小化等效于使温升最小化。因此本文提出这样的问题,在图1中当Vi,C,T,Im(iD(t)允许的最大幅值)给定,怎样的iD(t)(t=0～T)使式(2)的瞬时最大值最小化?这个问题的数学形式可表述如下:求函数iD(t)(t=0～T),它使函数Ρ(t)=iD(t)⋅(Vi-1c∫t0iD(τ)dτ),t=0∼Τ(2)P(t)=iD(t)⋅(Vi−1c∫t0iD(τ)dτ),t=0∼T(2)满足准则minmaxiD(t)Ρ(t)(3)minmaxiD(t)P(t)(3)限制条件为1C∫Τ0iD(t)dt=Vi,iD(t)≥0(4)iD(t)≤Ιm(5)1C∫T0iD(t)dt=Vi,iD(t)≥0(4)iD(t)≤Im(5)我们称满足方程(2)～方程(5)的iD(t)为最佳浪涌电流。2浪涌电流vit0id在求解上述最佳问题前,我们先证明任何满足式(4)的iD(t),它使式(2)的函数P(t)对t的积分(t=0～T)值恒定,其值与T无关。由式(2)得∫Τ0Ρ(t)dt=Vi∫Τ0iD(t)dt-1C∫Τ0iD(t)∫t0iD(τ)dτdt(6)∫T0P(t)dt=Vi∫T0iD(t)dt−1C∫T0iD(t)∫t0iD(τ)dτdt(6)引用记号:Q(t)=∫t0t0iD(τ)dτ(7)Q(0)=0(8)Q(0)=0(8)由式(4)得Q(T)=CVi(9)式(7)对t微分得dQ(t)dt=iD(t)(10)dQ(t)dt=iD(t)(10)将式(7)～式(10)代入式(6)得∫Τ0Ρ(t)dt=Vi∫Τ0iD(t)dt-1C∫CVi0Q(t)dQ(t)(11)∫T0P(t)dt=Vi∫T0iD(t)dt−1C∫CVi0Q(t)dQ(t)(11)将式(4)代入式(11)得∫Τ0Ρ(t)dt=12CV2i(12)∫T0P(t)dt=12CV2i(12)由上述证明可得结论:浪涌电流,不论幅值是否受限,完成浪涌过程的任何浪涌电流在浪涌抑制管上产生的瞬时功率积分值(能量)为常数(CV2i2i/2),与浪涌过程时间T无关。3最佳功率线的确定式(12)的几何意义是,满足条件(4)的iD(t),它在图2(a)的P(t)～t平面中t=0～T区间所形成的P(t)曲线(下称瞬时功率线)与t轴之间形成的面积不变。基于这一特征,当iD(t)无幅值限制,由式(2)知任一时刻P(t)值不受限制,容易判断,当T给定,最佳瞬时功率线就是图2(a)中的直线段CDE(等功率线),其幅值等于Ρ(t)=CV2i2Τ‚t=0∼Τ(13)P(t)=CV2i2T‚t=0∼T(13)现在讨论iD(t)有幅值限制时的最佳瞬时功率线。用物理观点易于断定,给定的Im和T应满足条件(14),否则讨论的问题无解。0＜CViΙmΤ≤1(14)0＜CViImT≤1(14)引用符号P*表示最佳化问题(2)～问题(5)的最大瞬时功率的最小值,即Ρ*≡minmaxiD(t)Ρ(t),t=0∼Τ(15)将式(4)代入式(2)得Ρ(t)=1CiD(t)∫ΤtiD(τ)dτ,t=0∼Τ(16)由上式可知,不论iD(t)是t的怎样的函数,P(t)=0。因此P(T)=0也在最佳功率线上。现在我们在图2(a)的P(t)～t平面中以t=T,P(T)=0为“起点”,令t连续下降(逆向)来思考最佳功率线。在这个逆向过程中,式(16)中的积分是一个由零开始连续递增的函数。另一方面,式(16)中积分号前面的值有限。因此断定,在t=T附近存在一段时间T*≤t≤T,P(t)<P*。这段时间每个瞬时的最佳P(t)值应该是那些时刻瞬时功率能达到的最大值(证明见后)。由式(16)可见,若令iD(t)为最大值,即iD(t)=Ιm,t=Τ*~Τ(17)则P(t)在这段时间的每个瞬间达到能达的最大值。将上式代入式(16)得这段最佳瞬时功率线:Ρ(t)=1CΙ2m(Τ-t),t=Τ*~Τ(18)式(17)在图2(a)中由直线BDF所示,并设t=t*时P(t*)=P*,即Ρ*=1CΙ2m(Τ-Τ*)(19)这段时间最佳P(t)线的积分值为∫ΤΤ*Ρ(t)dt=12CΙ2m(Τ-Τ*)2(20)现在继续逆向思考t由T*至0的过程。将式(12)与式(18)相减得这段时间的P(t)积分值为∫Τ*0Ρ(t)dt=12CV2i-Ι2m(Τ-Τ*)22C(21)将式(17)代入(16)得这段时间内每个瞬间的P(t)Ρ(t)=1CiD(t)(∫Τ*tiD(τ)dτ+Ιm(Τ-Τ*)),t=0∼Τ*(22)为试探这段时间内P(t)值可能发生的范围,令iD(t)=Im,代入上式得Ρ(t)≥Ρ*上式表明这段时间内尽管iD(t)幅值受限但满足P(t)≥P*。按最佳抑制准则(2),这段时间的最佳P(t)应等于P*Ρ(t)=Ρ*,t=0∼Τ*(23)即图2(a)中的直线段AB。这是因为在OG区间能形成OABG面积的其他任何P(t)线,其最大值均大于P*。将上式代入式(21)得Ρ*Τ*=12CV2i-Ι2m(Τ-Τ*)2C(24)式(24)和式(19)联列解得Τ*=Τ√1-(CViΤΙm)2(25a)Ρ*=ΤΙ2mC(1-√1-(CViΤΙm)2)(25b)式(19)和式(25a),式(25b)完全描述了最佳瞬时功率线。现对图2(a)中直线BDF是最佳瞬时功率线再做证明。由图2(b)可见,若t从T至T*这段过程中不是iD(t)=Im,那么从F点出发形成的P(t)线一定在FB下方(FJ)。这样,从J开始的逆向过程,为了满足式(12),P(t)线的积分值应等于P*T*加面积BJF。作矩形AMNB,其面积与BJF面积相等。显然在OG段不可能构成这样的P(t)线:其最大值等于P*,其面积等于OMNG。这即证明BF线最佳。4浪涌电流的确定在图2(a)的AB段,iD(t)应满足方程iD(t)(Vi-1C∫Τ0iD(τ)dτ)=Ρ*(26)上式两侧对t微分得1CiD2(t)-(Vi-1C∫t0iD(τ)dτ)diD(t)dt=0(27)将式(26)代入式(27)得diD(t)dt-1CΡ*i3D(t)=0‚t=0~Τ*(28a)其起始条件和终端条件分别由式(23)和式(17)给定为iD(0)=Ρ*Vi(28b)iD(Τ)=Ιm(28c)微分方程式(28a)～式(28c)的解是iD(t)=Ρ*Vi√1-2Ρ*CV2it‚t=0∼Τ*(29a)iD(t)=Ιm,t=Τ*~Τ(29b)式(29a)、式(29b)和式(17)联列给出t=0～T整个区间的最佳浪涌电流。其中T*和P*分别由式(25a)和式(25b)给定。5+1-2t1t1.2.现代二次电源将浪涌电流抑制成恒流或锯齿波。它们同属式(30)定义的t的线性函数,其中α为参数(见图3)。当α=0为锯齿波,当α=0.5为恒流。iD(t)=(α+(1-2α)tΤ)Ιm,t=0~Τ(30)其中α=0～1。这个线性浪涌电流族以相同时间T完成浪涌过程Τ=2CViΙm(31)将式(30)代入式(1)得VGS=Vi(1-2αtΤ-(1-2α)(tΤ)2)(32)式(30)和式(32)相乘得浪涌抑制管瞬时功率表达式Ρ(α,t)=ViΙm(α+(1-2α)tΤ)(1-2αtΤ-(1-2α)(tΤ)2)(33)令上式对t的偏导数等于0得P(α,t)极大值发生的时刻(式(34a))及其极大值(式(34b))tΤ=1√31-(1+√3)α1-2α(34a)maxtΡ(α,t)=1-α√3(1-131-2α-2α21-2α)ViΙm(34b)其中:0≤α≤11+√3(34c)由式(34a)知,当α在式(35c)定义的区间P(α,t)在t=0～T之间无极大值。此时P(α,t)的最大值发生在t=0。代入式(33)得P(α,t)的最大值t=0(35a)maxtΡ(α,t)=αViΙm(35b)其中:11+√3＜α≤1(35c)令式(34b)对α偏导数等于0,当α=0.250(36)maxP(α,t)有极小值,其值等于minαmaxtΡ(α,t)=0.325ViΙm(37)图4(a)和图4(b)分别示出式(34b),(35b)和式(34a),(35a)。将式(36)代入式(30)得线性最佳浪涌电流(见图5中b曲线)的表达式iD(t)=0.250(1+2tΤ)Ιm,t=0~Τ(38)由式(31)知式(30)定义的线性浪涌电流满足关系CViΤΙm=12(39)将此代入式(25a)和(25b)得Τ*=0.866Τ(40)Ρ*=0.268ViΙm(41)将这2个值代入满足条件式(39)的最佳浪涌电流(见图5中a曲线)iD(t)=0.268Ιm√1-1.072tΤ,0≤t≤0.866Τ(42)iD(t)=Ιm,0.866Τ≤t≤Τ(43)式(41)在图5中由曲线a示出。6浪涌电流的最大瞬时功率计算图4(b)所示数据表