正切 省赛获奖

正切本课内容本节内容4.2动脑筋

如图4-15，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.

你能求出上海东方明珠塔的高BD吗？图4-151.7m？图4-151.7m？

求东方明珠塔高的关键是求三角形ABC的边长BC，因为塔高等于BC加上仪器的高1.7m.要求BC，如果已知的是则由可求得.而现在已知的是AC，我们能不能像探索正弦值一样来探究的值呢？图4-151.7m？

类似地，可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值也为一个常数.结论定义在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα，即

角的对边角的邻边例如，用计算器可求出tan

25°≈

0.4663.

我们可以用计算器求任意一个锐角的正切值，其使用方法与求正弦值或余弦值类似，只是按的键应为

键．现在你能求出图4-15中东方明珠塔的高BD吗？

说一说图4-151.7m1000m在图4-15的Rt△ABC中，∠A=25°，AC=1000m，∠A的对边为BC，邻边为AC，因此从而

BC≈

1000×tan25°

≈

466.3(m).因此铁塔的高BD=466.3+1.7=468(m).举例例1如图4-17，在Rt△ABC中，∠C=90°，

AC=4，BC=3，求tanA，tanB的值．解:图4-17举例例2求tan30°，tan60°的值．

解:

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，从而AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.于是BC=AB.因此由此得出AC=BC.由于∠B=60°，因此图4-18tan

45°的值是多少？

说一说你能说出道理吗？

答：tan

45°=1.

现在我们把30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值列表如下：

α30°45°60°sinαcosαtanα

1.用计算器求下列锐角的正切值(精确到0.0001)：

做一做（1）

；（2）

；（3）

；0.3889104.17090.1019

2.已知正切值，求相应的锐角(精确到1′)：

（1）则

；（2）则

.举例例3已知，

是锐角，求

，的值．

图4-19由于AB2=AC2+BC2=(3k)2+k2=10k2，从而因此AB=.由于因此可以设BC=k，AC=3k，其中k≠0.由于因此解:

如图，在Rt△ABC中，图4-19结论

从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值sinα(或cosα，tanα)与它对应，因此我们把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数.

练习1.如图4-20，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，

BC=5，求tanA，tanB的值．图4-20解:2.如图4-21，在Rt△ABC中，∠C=90°，

AC=2，AB=3，求tanA，tanB的值.解:图4-203.求下列各式的值：（1）答：4.（2）答：.4.已知

，是锐角，求

的值．解:中考试题例1

解计算：中考试题例2

在△ABC中，AC=3，BC=54，AB=5，则tanB的值是（A

）.A.

B.C.

D.解∵AC=3