届高考数学第一轮复习-函数及其性质

数学理科☆2011届高考数学第一轮复习★1.函数的基本概念设A，B是非空的数集,如果按照某个确事实上的对应关系∫，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数ƒ(x)和它对应，那么就称：ƒA→B为从集合A到B的一个函数，记作y=ƒ(x),x∈A，其中，x叫做自变量，x叫做自变量，x的取值范围A叫叫做函数的定义域；与x的值和对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ƒ（x)|x∈A}叫做函数的值域。2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域，3.两个函数的相等第二单元函数及其性质第一节函数及其表示函数的定义含有三个要素，即定义域值域C和对应关系ƒ，定义域和对应关系为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应关系部分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4.常用的函数表示法（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法；5.分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数称为分段函数。6.映射的概念一般地；设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系ƒ，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有一个碓一确定的元素y与之对应，那么就称对应ƒA:→B为从集合A到集合B的映射，记作“ƒA:→B”题型一函数的概念【例1】设函数ƒ(x)=求ƒ（-4）；若ƒ（x0)=8,求x0。分析：这是分段函数的变换问题，需要结合定义域作数值代换。解：∵-4<2,∴ƒ(-4)2+2=18;学后反思：本题是在已知分段函数的解析式的前提下，通过给出自变量（函数值），确定函数值（自变量），这也是在近几年高考查函数概念的常见题型，解决这类问题关键要理解函数定义，自变量确定，有唯一的函数值与之对应；函数一定要结合定义域分段考虑。举一反三1.（2009年.济宁模拟）已知()A.-2B.1C.2D.3解析：答案：D·题型二判断两个函数是否相同【例2】试判断以下各组函数是否表示同一函数？分析：根据定义域，值域和对应关系是否相同来判断。解（1）由于故它们的对应关系不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数的定义域为（-∞，0）∪(0.+∞),而定义域为R，所以它们不是同一函数；（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴

，它们的定义域，值域及对应关系都相同，所以它们是一函数；（4）由于函数的定义域为{x|x≥0},而的定义域为{x|x≤-1或x≥0},它们的定义域不同，所以它们不是同一函数。学后反思：对于两个函数y=ƒ(x)和y=g(x),当且仅当这们的定义域、值域、对应关系都相同时,y=ƒ(x)和y=g(x)才表示同一函数，若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然，对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数。举一反三2.下列四组函数，表示同一函数的是（）·解析：A中两函数定义域不同，B中两函数定义域不同，C中定义域不同。签案：D题型三函数解析式【例3】（1）已知，求ƒ(x）（2）已知（3）已知是一次函数，且满足求；（4）已知满足分析：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定法；第（4）题用方程组法；解：（1）①②学后反思：函数解析工的求法常见有：（1）配溱法：已知,求的问题，往往把右边的整理成或配凑成只含的式子，用x将代换。（2）待定系数法，若已知函数的类型（如一次函数，二次函数）比如二次函数可设为，其中a,b,c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a,b,c。（3）换元法，已知求时，往往可设，从中解出x，代入进入换元，便可求解。（4）方程组法，已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还有其他未知量，如，等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出。举一反三3.（1）（2009·广州模拟）若，对任意实数x恒有则(2)(2009年·潮州模拟）设函数,的图象关于直线，对称，在x≤1时，解析：答案（1）x+1(2)(x-3)2-1题型四分段函数的应用【例四】（12分）我国是水资源泉相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≥7)吨，试计算本季度他应缴多少水费？分析：在本题中，用水量（自变量x)属于不同范围时有不同的缴费办法，所以应分段计算水费。解：用y表示本季度应交水费（单位：元）当0<x≤时，y1=1.3x,………3′当5<x≤6时，应把x分成两部分：5与（x-5)分别计算，第一部分收基本水费1.3×5,第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(1+200%)∴y2=1.3×5+1.3(x-5)(1+200%)=3.9x-13,……………7′

当6<x≤7，同理：Y3=1.3+1.3(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)=6.5x-28.6……9′

综上可得：综上可得：y=……12′学后反思：对于分段函数，应分别求出各区间内的函数关系，再结合在一起，注意各区间的端点既不重复，又不遗漏。举一反三4.某市某种类型的出租车，规定3千米内起步8元（即行程不超过3千米，一律收8元），若超过3千米，除起步价外，超过部再按1.5元/千米收费计价，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，下车后乘客付了16元，则乘客乘车里程的范围是.(单位：千米）解析：设乘客乘车里程为x千米，计价为y元，由题意可知：y=由15.5≤8+（x-3)×1.5<16.5解得8≤x<答案：［8，)1.设映射，其中Z，D均为非空集，则下列叙述正确的是（）A.D中每一元素必有原象B.D中每一元素只能有一个原象C.Z中的不同元素在D中的象也不同D.D中至少有一个元素，它有原象解析：由映射的定义知Z中任意一个元素在D中都有唯一的元素与之对应，D中的元素在Z中有一个或多个原象与之对应，还有可能没有原象对应。答案：D9.如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BC-DA由B点（起点）向（终点）移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式。ABDCP解析：这个函数的定义域为（0，12）.10.（2009.如皋模拟）已知二次函数f(x)的二次项系数为a且不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）.若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式.第二节函数的定义域与值域1.在函数y=ƒ(x),x∈A中，x中叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ƒ(x)|x∈A}叫做函数的值域。2.函数的定义域的常见求法（1）分式的分母不为零.（2）偶次根式的被开方数大于或等于零.（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1.（4）零次幂的底数不为零.（5）三角函数中的正切函数（6）已知函数ƒ(x)定义域D，求函数ƒ[(g(x)]的定义域，只需g(x)∈D（7）已知函数ƒ[(g(x)]定义域为D，求函数ƒ(x)的定义域，只需要求g(x)的值域（x∈D)题型一函数的定义域【例1】求函数的定义域是（）分析：只需要使解析式有意义，列不等式组求解学后反思：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算可以施行为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是；（1）分式中，分纯洁不为零；（2）偶次方根中，被开方数非负；（3）对于y=x0，要求x≠0；（4）对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；（5）由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束。举一反三1.函数的定义域是（）答案：B题型二复合函数的定义域【例2】（1）已知函数ƒ(x)的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域：①ƒ(x2)；②(2)已知函数ƒ[lg(x+1)]的定义域是[0，9]，则函数ƒ(2x)的定义域为分析：根据复合函数定义域的含义求解。解：①①∵ƒ(x)的定义域是[0，1]，∴要使ƒ(x2)有意义，则必有0≤x2≤1,

解得到-1≤x≤1.∴ƒ(x2)的定义域为[-1，1].学后反思：已知函数ƒ(x)的定义域为[a,b],则函数ƒ[g(x)]的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围；一般地，若函数ƒ[g(x)]的定义域是[a,b],要求ƒ(x)的定义域就是求x∈[a,b]时,g(x)的值域。举一反三解析：的定义域为[0，3]，即0≤x≤3,则1≤≤2.∴ƒ(x)的定义域为[1,2].题型三函数的值域【例3】求下列函数的值域.分析对于（1）利用二次函数在确定区间单调性求解式利用在区间的图象判别。对于（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，还可以通过单调性求解。对于（3）利用指数函数性质求得（2x>0）.学后反思：求函数值域（最值）的常用方法；（1）基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解。（2）配方法对于形如y=ax2+bx+c(a≠0)或F(x)=a[ƒ2(x)+bƒ(x)+c](a≠0)类的函数的值域问题，均可用配方法求解。（3）换元法利用代数或三角换元，将所给函数转化成易求值域的函数，形如的函数，令ƒ(x)=t,形如y=ax+b±(a,b,c,d均为常数，ac≠0)的函数令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令x=acosθ,θ∈[0,π]，或令asinθ,θ∈（4）不等式法利用基本不等式：a+b≥2,用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等.”如利用a+b≥2求某些函数值域（或最值）时应满足三个：条件：①a>0,b>0,②a+b(或ab)为定值；③取等号条件a=b,三个条件缺一不可。（5）函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，，当利用不等式法等号不能成立时，可考虑用函数的单调性。（6）数形结合法如时所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，形如：可联想两点（x1,y1)与（x2,y2)连线的斜率。（7）函数的有界性法形如，可用y表示出sinx，再根据-1<sinx≤1,解关于y的不等式，可求y的取值范围。（8）导数法设y=ƒ(x)的导数为ƒ′(x),由ƒ(x)=0可求得极值点坐标，若函数定义域为[a,b],则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值。举一反三3.求下列函数的值域.题型四函数的最值【例4】（12分）已知函数(1)当a=4时，求ƒ（x)的最小值；（2）当a=时，求ƒ（x）的最小值；（3）若a为正常数，求ƒ（x）的最小值；分析：在解决该类型函数的最值时，首先考虑到应用基本不等式求解，但须逐一验证应用基本不等式所具备的条件，若条件不具备，应从函数单调性的角度考虑………2′……6′……………………4′……………………8′……10′……………………12′学后反思求函数在某区间上的最值，通常先函数在该区间上的单调性，当函数或区间中含有字母时，要对字母加以讨论，以确定函数的单调性.举一反三4.已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分中坚力量相交于A、B,AB=2i+2j(i,j分别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量），函数g(x)=x2-x-6(1)求k,b的值（2）当x满足f(x)>g(x)时，求函数的最小值.解析：由x(x-1)≥0,且x≥0,得x≥1,或x=0答案：D（1）求f(x)在x∈[0,1]上的值域；（2）若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围。（2）f(x)的值域为[0,1]，g(x)=ax+5-2a(a>0)在x∈[0,1]上的值域[5-2a,5-a,]，由条件，只须[0，1]10.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0叶。f(x)=2x-x2(1)求y=f(x)的解析式；（2）画出函数y=f(x)的图象，并指出f(x)的单调曲间及在每个区间上的增减性；（3）若函数y=f(x)的定义域为[a,b],值域为求实数a,b的值。0yx2yox-2-121第三节函数的单调性1.定义：一般地，设函九y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）.注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2，即当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)).2.如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在某个区间上具有（严格的）单调性，区间D叫y=f(x)的单调区间；3.调复合函数y=f[g(x)],其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集,（1）若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或）函数，则函数y=[g(x）]在A上是增函数；（2）若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[f(x)]在A上是减函数.题型一函数单调性的判断与证明【例1】判断下列函灵敏的单调性，并证明.分析：先判断单调性，再用单调性的定义证明，（1）采用通分进行变形，（2）采用分子有理化的方式时行变形。学后反思：对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点，作差或作商、变形、判断）求解，可导函数则可以利用导数解之举一反三1.已知a>0,是R上的偶函数。（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞)上为增函数。解析（1）依题意，对一切x∈R，有f(-x)=f(x),(2).证明：方法一（定义法）题型二求函数的单调区间【例2】求函数的单调区间.分析：利用定义法或导数法。解：方法一：首先确定定义域：{x|x≠0},∴在（-∞,0)和（0，+∞）两个区间上分别讨论，任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则要确定此式的正负只要确定的正负即可。这样又需要判断大于1，还是小于1.由于x1,x2的任意性，考虑到要将（0，+∞）分为（0，1）与（1，+∞）.（1）当x1,x2∈(0,1)时，<0,∴ƒ(x1)-ƒ(x2)<0,ƒ(x)为减函数；（2）当x1,x2∈(1，+∞)时，>0,∴ƒ(x1)-ƒ(x2)>0,ƒ(x)为增函数；同理可求（3）当x1,x2∈(-1,0)时，ƒ(x)为减函数；（4）当x1,x2∈(-∞,-1)时，f(x)为增函数，∴ƒ(x)的单调增区间为（1，+∞）和（-∞,-1），单调减区间为（-1,0）和（0，1）；方法二：地f′(x)=1-,令ƒ′(x)>0,得x2>1,即x>1或x<-1,

令ƒ′(x)<0,得x2<1,即-1<x<1,∴ƒ(x)的单调增区间为（1，+∞,），和（-∞,-1），单调减区间（-1.0）和（0，1）；学后反思：利用定义时，要注意的正负判断，一般可设x1=x2,再令得x1=±1,从而找到分界点，复合函数y=ƒ[g(x)]的单调规律是“同增，异减”，即ƒ(X)与g(X)单调性相同时，ƒ[g(x)]为增函数；单调性不同，f[g(x)]为减函数。举一反三2.函数解析：在定义域内任取x1<x2题型三单调性的应用【例3】（12分）函数ƒ(x)对任意的a,b∈R，都有ƒ(a+b)=ƒ(a)+ƒ(b)-1,并且当x>0时，ƒ(x)>1.（1）求证:ƒ(x)是R上的增函数；（2）若ƒ(x)=5,解不等式ƒ(3m2-m-2)<3分析：根据题目中所给予关系式通过赋值、变形、构造，寻找ƒ(x2)与ƒ(x1)的关系。解（1）设x1,x2∈R，且x1<x2，则△x=x2-x1>0.∴ƒ(x2-x1)>1.………………2′ƒ(x2)-ƒ(x1)=ƒ[(x2-x1)+x1]-ƒ(x1)=ƒ(x2-x1)+ƒ(x1)-1-ƒ(x1)=ƒ(x2-x1)-1>0,∴ƒ(x2)>ƒ(x1)………5′

即ƒ(x)是R上的增函数。………6′∵ƒ(4)=ƒ(2+2)=ƒ(2)+ƒ(2)-1=5.∴ƒ(2)=3,……………………8′∴原不等式化为ƒ(3m2-m-2)<ƒ(2).………10′∵ƒ(x)是R上的增函数,∴3m2-m-2<2,……11′解得到1<m<,故解集为（-1，）学后反思（1）抽象函数的单调必问题一般是给出一个关地抽象函数的关系式，再给出函数的某些信息或性质，处理这种问的关键是根据所求，利用所提供的信息，对关系式进行恰当地赋值、变形、构造，不断产生新的信息，同时，式子的形式也不断接近目标的形式，但要注意函数定义域不能扩大或缩小.（2）第二步是利用第一步的成果，去求进一步的问题，往往是通过合理变形，根据单调性，脱去“ƒ”，得到具体的数学式，然后进行求解或论证。举一反三3.已知偶函数ƒ(x)在（0，+∞）上为增函数，且ƒ(2)=0，解不等式ƒ[log2(x2+5x+4)≥0.解析：∵ƒ(2)=0,∴原不等式可化为ƒ[log2(x2+5x+4)≥ƒ（2）.又∵ƒ(x)为偶函数，且ƒ(x)在（0，+∞）上为增函数。∴ƒ(x)在（-∞，0）上为减函数且ƒ(-2）=ƒ(2)=0.∴不等式可化为ƒ[log2(x2+5x+4)≥2或ƒ[log2(x2+5x+4)≤-2，由①得x2+5x+4≥4，∴x≤-5或x≥0.由②得0<x2+5x+4≤,∴5.函数y=lg(x2+2x+m)的值域是R，则m的取值范围是（）A.m>1B.m≥1C.m≤1D.m∈R解析：由函数的值域为R，∴x2+2x+m必须能取到所有大于0的实数，∴须有△≥0.即m≤1.答案：C9.若ƒ(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对于x>0满足（1）.求ƒ(1)的值；（2）.若ƒ(6)=1，试求解不等式ƒ(x+3)-ƒ()<2.解析：（1）令x=y>0,则ƒ(1）=ƒ(x)-ƒ(x)=0.(2)因为ƒ(6）=1，所以ƒ(x+3）-ƒ()<2即ƒ(x+3）-ƒ()<2ƒ(6），∴ƒ[x(x+3)]<ƒ(6)+ƒ(6),∴ƒ[x(x+3)]-ƒ(6)<ƒ(6),10.函数在[1，+∞]上是增函数，求a的取值范围.解析：要满足题意，首先须：第四节函数的奇偶性与周期性1.定义：一般地，如果对于函数ƒ(x)定义域内的任意一个x,都有ƒ(-x)=-ƒ(x),则称ƒ(x)为奇函数；茹果对于函数ƒ(x)定义域内的任意一个x，都有ƒ(-x)=ƒ(x),则称ƒ(x)为偶函数。2.简单性质图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；3.周期：对于函数ƒ(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有ƒ(x+T)=ƒ(x).那么函数ƒ(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.题型一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性。分析：先求函数的定义域；而后判断ƒ(x)与ƒ(-x)之间的关系.学后反思函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应行考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。举一反三1.设函数ƒ(x)在（-∞,+∞）内有定义，下列函数：①y=-|ƒ(x)|;②y=xƒ(x2);③y=-ƒ(-x);④y=f(x)-f(-x)必有奇函数的有，（要求填写正确答案的序号）；解析：设y=g(x),根据奇偶函数的定义判断，②g(-x)=(-x).ƒ[(-x)2]=-xƒ(x2)=-④g(-x)=ƒ(-x)-ƒ(x)=-g(x).

答案：②④题型一奇偶性的应用【例2】定义在R上的函数分析：利用奇函数的定义域求出a.解：方法一：由条件知)=-ƒ(x),即ƒ(-x）+ƒ(x）=0.学后反思方法一是利用若ƒ(x)为奇函数，则ƒ(-x)=-ƒ(x)对任意x恒成立，抓住“对任意x恒成立”是解题关键，方法二要注意ƒ(x）在x=0处有意义这个条件，这种方法很常用，需要熟练掌握.举一反三题型三函数的周期性【例3】（12分）（2009.日照调研）设ƒ(x)是（-∞,+∞)上的奇函数，对任意实数x，都有ƒ(x+2）=-ƒ(x），当时-1≤x≤1时，ƒ(x)=x3.(1)求证：直线x=1是函数ƒ(x)图象的一条对称轴；（2）当x∈[1,5]时，求函数ƒ(x)的解析式.分析：驼过ƒ(x+2）=-ƒ(x)，与-ƒ(x）=ƒ(-x）的转化，来求函数的对称轴与周期，技巧在于通过换元进行转化，求函数ƒ(x)的解析式要利用函数的周期性进行转化，转化到知道函数解析式的区间上.解（1）因为ƒ(x）为奇函数，所以-ƒ(x）=ƒ(-x），所以ƒ(x+2）=-ƒ(x），………………………3′所以ƒ[(x-1）+2]=ƒ[-(x-1）]，即ƒ(1+x）=ƒ(1-x),所以直线x=1是函数ƒ(x)图像上的一条对称轴.（2）因为ƒ(x+4）=-ƒ(x+2）=ƒ(x），……6′所以是以4为周期的函数。又能1≤x≤1时，ƒ(x）=x3.当x∈[1,3]时，x-2∈[-1,1]，所以ƒ(x）=ƒ(x-2+2）=-ƒ(x-2)=(x-4)3,当x∈（3,5]时，x-4∈（-1,1]，所以ƒ(x）=ƒ(x-4+4）=-ƒ(x-4）=（x-4)3,…………10′所以当x∈[1,5]时，ƒ(x）的解析式为………………12′学后反思函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性，周期性，对称性结合起来考查，因此，在复习过程中应加强知识模向间的联系。举一反三3.已知函数ƒ(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x，都有ƒ(x+1)=-ƒ(1-x),且方程ƒ(x)=0在[-1，1]上只有一个根，则方程ƒ(x+1)=0的第2000个根是多少.（从x轴右半轴开始从左到右数起）.解析：由ƒ(x+2)=-ƒ[1-（x+1）]=-ƒ(-x)=ƒ(x)得：ƒ(x)是周期函数，且周期为2.ƒ(x+1）是把ƒ(x)的图像向左移一个单位.由x∈R，ƒ(x)是奇函数，且ƒ(x)=0在[-1，1]上只有一个根，知ƒ(0)=0，∴方程ƒ(x)=0的第2000个根是4000，∴ƒ(x+1）=0的第2000个根是3999.1.（2008.辽宁），若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数，则a=()A.-2B.-1C.1D2解析：∵ƒ(x)=(1-a),ƒ(-1)=0=ƒ(1),∴a=1.答案：C9.已知函数(1)当a=1时，解不等式ƒ(x)-ƒ(x-1)>2x-1;(2)讨论函数ƒ(x)的奇偶性，并说明理由。10.设为奇函数，a为常数.（1）求a的值；（2）证明ƒ(x)在（1，+∞）内单调递增；（3）若对于[3.4]上的每一个x的值，不等式ƒ(x)>,恒成立，求实数m的取值范围。第五节函数的图象1.基本函数：一次函数、二次函、反比例函数、指数函数、对数函 数、三角函数等，对于这些函数的力象应非常清楚描点法作用：通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象， 用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用 函数的性质（如单调性、奇偶性、周期性）画出图 像图像变换法作图：一个函数的图象经过适当的变换，得到别一具 与之有关的函数图象，在高考中要求学生掌握三种 变换：平移变换、伸缩变换、对称变换函数图像的作法函数的图象2.平移变换（1）y=ƒ(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得函数y=ƒ(x+a)的图象.（2）y=ƒ(x-b)(b>0)的图象可由y=ƒ(x)的图象向右平移b个单位得到.对于左，右平移变换，往往容易出锂，在实际判断中可熟记口廖：左加右减.面对于上、下平移，相对较则容易掌握，原则是上加下减，但要注意的是加、减指的是在ƒ(x）整体上.如：h>0，y=ƒ(x)±h的图象可由y=ƒ(x)的图象向上（下）平移h个单位得到.3.对称变换（1）y=ƒ(-x）与y=ƒ(x）的图象关于y轴对称；（2）y=-ƒ(x）与y=ƒ(x）的图象关于x轴对称；（3）y=-ƒ(-x）与y=ƒ(x）的图象关于原点对称；（4）y=ƒ-1(x）与y=ƒ(x）的图象关于直线y=x对称；（5）y=|ƒ(x）|的图象：可将y=ƒ(x)的图象在x轴下方的部分关于轴翻转180°，其余部分不变；（6）y=ƒ|(x）|的图象：可先作出y=ƒ(x),当x≥0时的图象，再种用偶函数的图象关于y轴对称，作出y=ƒ(x)(x≤0)的图象.4.伸缩变换（1）y=Aƒ(x)(A>0)的图象，可将y=ƒ(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到；（2）y=ƒ(ax)(a>0)的图象，可将y=ƒ(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到.题型一作图【例1】作出下列函数的图象.分析首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数，然后由基本初等函数图象变换得到.解（1）首先化简解析式得（2）因的图象，将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得（3）先作出y=log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保佑留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y=|log2x-1|的图象，如图③（4）先作出y=2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴的图象，即得y=2|x|的图象，再将y=2|x|的图象向右平移一个单位，即得y=2|x-1|的图象，如图④学后反思已知函数解析式研究函数图象问题，主要是将解析式进行恰当的化简，然后与一些熟知函数的图象相联系，通过各种图象变换（主要有平移变换、伸缩变换、对称变换）等得到要求的函数图象，别外，还要善于借助解析式发现函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）等，以此分析函数图象的特征。举一反三1.（2008.江西）函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间（）内的图象大致是（）解析：函数由解析式画出分段函数的图象.答案：D题型二识图【例2】为了预防流感，某学校对教室用药熏消素法时行消毒，已知药品物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克）与时间t(小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为,如图所示，据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克）与时间t(小时）之间的函数关系式为；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室分析根据函数图象求出函数图象所过的特殊点是求解的关键。学后反思函数图象是函数的另外一种表达形式。有图象可以形象地描述函数的性质，但具体到有关具体量分析还必须借助函数的解析式以及代数的有关知识解决。举一反三2.已知函数y=ƒ(x)(0≤x≤1)的图象如图，若0<x1<x2<1,则（）答案：A题型三函数图象的变换【例3】（2008.青岛模拟）已知，则上列函数的图象错误是()分析：先画出分段函数的图象，再根据函数图象间的变换逐一判断.-11120xy解：ƒ(x)的图象如图所示，ƒ（x-1)的图象与ƒ（x)的图象向右平移1个单位；由ƒ（-x）的图象与ƒ（x）的图象关于y轴对称；由y=ƒ（|x|）的奇偶性可知，保留ƒ（x)在y轴右侧的图象，左侧图象由右侧图象关于y轴对称得到；|ƒ(x)|的图象是将ƒ(x)图象在x轴翻转180°工，其余部分不变，故D错.学后反思这类问题主要考查函数图象的几种变换（如平移变换、对称变换、伸缩变换等）有时也考查函数的奇偶性及互为反函数的两个函数的图象问题.复习时应加强对y=ƒ（x）与y=ƒ（-x)、y=-ƒ（x）、y=-ƒ（-x)、y=ƒ|（x）|、y=|ƒ(x)|、及y=aƒ(x)+b的相互关系的理解。举一反三3.在同一平面直角坐标系中，函数y=ƒ(x)和y=g(x