2023学年完整公开课版平面

平面一．平面的基本性质：1．公理1：①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；②图形语言：③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α

lα.

练习：（1）

。（2）

。公理1的作用：作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；2．公理2：①文字语言：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点确定一个平面。②图形语言：③符号语言：A、B、C三点不共线，有且只有一个平面α，使得A∈α，B∈α，C∈α.如何理解公理2？公理2是确定平面的条件.深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平面惟一，“有且只有”强调平面存在并且惟一这两方面.3.公理3：①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.②图形语言：③符号语言：P∈l.P∈(α∩β)α∩β=l如何理解公理3？(1)公理3反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有“两面共一线，且过这一点，线惟一”.(2)从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.(3)公理3的作用:

其一判定两个平面是否相交;

其二可以判定点在直线上.点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在线上.

因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据.二.平面基本性质的推论文字语言：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.图形语言：

符号语言：a与A共属于平面α且平面α惟一.（1）推论1：

a是任意一条直线

点Aa

（2）推论2：文字语言:经过两条相交直线，有且只有一个平面.图形语言：

符号语言：

a，b共面于平面α，且α是惟一的.b是任意一条直线a是任意一条直线a∩b=A（2）推论3：文字语言:经过两条平行直线，有且只有一个平面.图形语言：

符号语言：

a，b共面于平面α，且α是惟一的.a，b是两条直线

a//b直线和平面位置关系的符号表示.（1）点A在平面α内，记作A∈α，点B不在平面α内，记作Bα；（2）直线l在平面α内，记作lα，直线m不在平面α内，记作mα；（3）平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β=l；（4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A},简记为l∩m=A.例1．如图，平面ABEF记作α，平面ABCD记作β，根据图形填写：（1）A∈α，B

α，E

α，

C

α，D

α；（2）A∈β，B

β，C

β，

D

β，E

β，F

β；（3）α∩β=

；∈∈∈∈∈AB例2．如图中△ABC，若AB、BC

在平面α内，判断AC

是否在平面α内？解：∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内，又BC在平面α内，∴C点一定在平面α内，(点A、点C都在平面α内，)直线AC

在平面α内（公理1）.例2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？（3）共点的三条直线可以确定几个平面？4个3个1个或3个例3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.解：在平面AA1D1D

内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA

必相交于一点，设为P，PP又∵D1F平面BED1F，P在平面BED1F内.

则P∈D1F，P∈DA

，AD平面ABCD，P∈平面ABCD，又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，∴连结PB，PB

即为平面BED1F

与平面ABCD的交线.例4如图38－3所示，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线．

[思路]要证明B、D、O三点共线，可用公理3证明这三点是平面ABD与平面BCD的公共点，则这三点都在这两个平面的交线上．

[解答]∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，∴EH⊂平面ABD