材料力学课件：应力状态分析和广义胡克定律-

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应力状态分析和广义胡克定律

目录2基本要求1.明确一点应力状态、主应力和主平面、单元体等基本概念，掌握单元体的截取方法及其各微面上应力分量的计算方法。2.掌握解析法和图解法。3.掌握广义胡克定律及其图解法计算平面应力状态下任意斜截面的应力、主应力和主平面的方法。3§8.1应力状态概述一、一点应力状态的概念4

就是指通过一点各个不同方向的应力情况，也叫一点的应力全貌。一点的应力状态567结论：1、同一截面上不同点的应力不同；2、同一点上不同方位的应力不同；8二、应力单元体9主平面：切应力为零的平面主应力：主平面上的正应力主方向：主平面的法线方向可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。三个主应力用σ1、σ2

、σ3

表示，按代数值大小顺序排列，即σ1≥σ2≥σ3

10应力状态的分类：单向应力状态：三个主应力中只有一个不等 于零二向应力状态（平面应力状态）：两个主应 力不等于零三向应力状态（空间应力状态）：三个主应 力皆不等于零单向应力状态也称为简单应力状态二向和三向应力状态统称为复杂应力状态

11圆筒形薄壁压力容器，内径为D、壁厚为t，承受内力p作用§8.2二向和三向应力状态的实例12圆球形薄壁容器，壁厚为t，内径为D，承受内压p作用。13圆杆受扭转和拉伸共同作用14三向应力状态15§8.3平面应力状态分析1617σ：拉应力为正τ：顺时针转动为正α：逆时针转动为正18192021用完全相似的方法可以确定切应力的极值222324§8.4二向应力状态的应力圆（图解法）25应力圆

莫尔(Mohr)圆26下面根据已知单元体上的应力σx、σy

、τxy画应力圆27下面利用应力圆求任意斜截面上的应力28例1：分别用解析法和图解法求图示单元体的

(1)指定斜截面上的正应力和切应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上；

(3)最大全切应力值。单位：MPa29解：(一)使用解析法求解303132(二)使用图解法求解作应力圆，从应力圆上可量出：33低碳钢铸铁例2：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。解：3435例3：求图示应力状态的主应力和最大切应力(应力单位为MPa）。解：36例3：求图示应力状态的主应力和最大切应力(应力单位为Mpa)。解：37例4：求图示应力状态的主应力和最大切应力(应力单位为Mpa)。解：38§8.5空间应力状态分析1.

三向应力圆

工程中还会遇到三向应力状态问题，本节只对三向应力状态作简单分析。

如图所示的以三个主应力表示的单元体，由三个相互垂直的平面分别作应力圆，将三个平面的应力圆绘在同一平面上就是三向应力圆。

39

从三向应力圆中，由和所作的应力圆是最大应力圆。工程中最感兴趣的就是最大应力圆。

对应三个应力圆可找到三对主切应力，它们是：

40

的作用平面与的方向平行，与和作用平面夹角为。是最大剪应力。

其作用面绘于单元体图中。

41§8.6广义胡克定律纵向应变：横向应变：42广义胡克定律：对于二向应力状态：43

体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间的关系:s1s3s2a1a2a344例5:从某受力构件表面一点测出该点处的主应变为ε1=1139.2×10-6，ε2=-159.2×10-6

。构件的弹性模量E=72.4GPa，泊松比μ=0.33，试求该点的主应力及平面内最大切应变。解：(1)求该点的主应力(2)求平面内最大切应变45

例6

图示矩形截面杆一端自由一端固定，在中性层A点处沿与杆轴成贴二片应变片，当杆受轴向力和横向力作用时，测出和

。试求此时和的表达式。（均为已知）

例3图46解（一）A点的应力

轴力引起的正应力

横向力引起的剪应力

A点的应力状态如左图

47（二）求和

沿方向的应力表示在单元体上，方向的应力表达式为：

A点的应力状态分解图

可先将单元体分解成和单独作用（见分解图）+48将应力代入广义虎克定律中，得

联立两式可解得：

两式化简后可得：

①②

49例7

已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：

1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态50me3342.-=51例8

图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变

t

=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚

=10mm，容器材料的E=210GPa，

=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppxs1smlpODxABy图a521、轴向应力:(longitudinalstress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程psmsmxD图b53用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoopstress)3、求内压（以应力应变关系求之）

t

m外表面ypststDqdqz图cO54§8.7复杂应力状态下的变形比能

2

3

1图a图

c

3-

m

1-

m

2