新疆石河子市第一中学2024届数学高二上期末统考试题含解析

新疆石河子市第一中学2024届数学高二上期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.2．若双曲线的一个焦点为，则的值为（）A. B.C.1 D.3．已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.4．已知点是椭圆上的任意点，是椭圆的左焦点，是的中点，则的周长为（）A. B.C. D.5．已知双曲线左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若线段的中垂线过点，则双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.6．若，则（）A.1 B.2C.3 D.47．已知向量，，且，则实数等于（）A1 B.2C. D.8．设等差数列的前n项和为．若，则（）A.19 B.21C.23 D.389．已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（）A. B.C. D.10．设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11．已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的最小值为（）A B.C. D.412．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若点到点的距离比它到定直线的距离小1，则点满足的方程为_____________14．函数满足，且，则的最小值为___________.15．在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件16．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-.（1）求椭圆C的离心率（2）点M（，）在椭圆C上，椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为（1，0），过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点P，与直线AB交于点Q设L的斜率为k，若，求k的值.18．（12分）已知公差不为0的等差数列满足：且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前n项和，求证是等差数列19．（12分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.（1）求该抛物线的标准方程和的值；（2）若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.20．（12分）已知函数，其中为常数，且（1）求证：时，；（2）已知a，b，p，q为正实数，满足，比较与的大小关系.21．（12分）已知函数f(x)=x-mlnx-m.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m)在上恒成立.22．（10分）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数的分布列为567.表示2台设备使用期间需更换的零件数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.（1）求的分布列；（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，所以椭圆离心率.故选：C2、B【解析】由题意可知双曲线的焦点在轴，从而可得，再列方程可求得结果【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以，，所以，解得，故选：B3、B【解析】根据题意，在中，设，则，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率.【详解】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.4、A【解析】设椭圆另一个焦点为，连接，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.【详解】在椭圆中，，，，如图，设椭圆的另一个焦点为，连接，因为、分别为、的中点，则，则的周长为，故选：A.5、C【解析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率【详解】由题意又则有：可得：，，中，中．可得：解得：则有：故选：C6、C【解析】由二项分布的方差公式即可求解.【详解】解：因为，所以.故选：C.7、C【解析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解【详解】因向量，，且，则，解得，所以实数等于.故选：C8、A【解析】由已知及等差数列的通项公式得到公差d，再利用前n项和公式计算即可.【详解】设等差数列的公差为d，由已知，得，解得，所以.故选：A9、D【解析】利用向量夹角余弦公式直接求解【详解】解：两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角满足：，，故选：D10、B【解析】因为时，夹角为钝角或平角；而当夹角为钝角时，成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B考点：1向量的数量积；2充分必要条件11、B【解析】由数量积的坐标运算求得，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：根据题意可得，、，所以，令，由约束条件作出可行域如下图所示，由得，即，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为，即，所以故选：B12、B【解析】由等差数列的性质将转化为，而，可知数列是递增数，从而可求得结果【详解】∵等差数列中，，∴，即．又，∴的前项和的最小值为故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据抛物线的定义可得动点的轨迹方程【详解】点到点的距离比它到直线的距离少1，所以点到点的距离与到直线的距离相等，所以其轨迹为抛物线，焦点为，准线为，所以方程为，故答案为：14、6【解析】化简得出，由化简后根据均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.【详解】，由得：，（当且仅当时取等号），所以的最小值为6.故答案为：615、（1）（2）（3）【解析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.故答案为（1）（2）（3）.16、-1【解析】根据给定条件设出点A，B的坐标，再借助“点差法”即可计算得解.【详解】依题意，线段的中点在椭圆C内，设，，由两式相减得：，而，于是得，即，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）1【解析】（1）根据椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-，由求解；（2）根据点M（，）在椭圆C上，顶点，再由，求得椭圆方程，由，结合，得到，设直线方程为，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由，求得Q的坐标，代入求解.【小问1详解】解：设椭圆C：的上顶点为，左顶点为，右顶点为，因为椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-,所以，即，又所以，解得；【小问2详解】因为点M（，）在椭圆C上，所以，又，解得，所以椭圆方程为，，则，因为，所以，又，所以，则，设，则，当时，则，不合题意；当时，设直线方程为，与题意方程联立，消去y得：则，所以，则，因为，由，得，因为，所以，化简得，因，则.18、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)根据等比中项的应用可得，结合等差数列的定义和求出公差，进而得出通项公式；(2)根据等差数列前n项求和公式可得，结合等差数列定义即可证明.【小问1详解】设等差数列的公差为()，由成等比数列，得，又，所以，解得，所以；【小问2详解】由(1)可得，所以，有，故，又，所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列.19、（1），（2）证明见解析【解析】（1）根据点到焦点的距离等于5，利用抛物线的定义求得p，进而得到抛物线方程，然后将点代入抛物线求解；（2）方法一：设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用数量积的运算求解；方法二：根据直线过点，分直线的斜率不存在时，检验即可；当直线的斜率存在时，设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用向量的数量积运算求解.【小问1详解】解：∵抛物线焦点在轴上，且过点，∴设抛物线方程为，由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，即点到准线的距离等于5，则，，∴抛物线方程为，又点在抛物线上，，，∴所求抛物线方程为，.【小问2详解】方法一：由于直线过点，可设直线方程为：，由得，设，，则，，所以，即为定值；方法二：由于直线过点，①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，则由可得，，，所以；②当直线的斜率存在时可设直线方程为：，由得，设，，则，.所以，即为定值.综上，为定值.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据导数判断出函数的单调性求出其最大值，即可证出；（2）由（1）知：，再变形即可得出小问1详解】因为，∴在上单调递减，又因，故当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.【小问2详解】由（1）知：，两边同乘以a得：，∴，即.21、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.【小问1详解】函数的定义域为，且，当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，当时，由，解得，由，解得，所以在上为减函数，在上为增函数，综上：当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，在上为增函数；【小问2详解】由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.当时，在上上为减函数，在上为增函数，所以，即，则，由，解得，由，