反三角函数反余弦反正切函数教案

6.4反三角函数（反余弦函数、反正切函数）（2）教案教学目的：1．理解函数，y=tanx没有反函数；理解函数，有反函数；理解反余弦函数，反正切函数的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是，值域是（-，）.2．知道反余弦函数和反正切函数，x∈（-∞，∞）的图像.3．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.4．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题.教学重点与难点：教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.

教学难点：公式、的证明及其使用.教学过程：（一）、引入一、（设置情境）一、情景引入1．复习我们学习过反正弦函数，知道，对于函数，不存在反函数；但在存在反函数.2．思考 那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？[说明]因为对于任一余弦值和正切值都有无数个角值与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论 余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得或y=tanx在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得或y=tanx存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）和在所取对应区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值，一切函数值R.可以选取闭区间，使得在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-，），使得在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.二、（双基回顾）1．反正弦函数是一个_______(弧度制/角度制)的角，它的范围是_____________，并且有2．请结合反正弦函数的图像叙述它的性质。反正弦函数在区间上是_________(填增/减)函数；其函数图像关于_______对称，它是______(填奇/偶)函数，即对于任意的一定有等式___________成立。3．，.（二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）二、概念或定理或公式教学（推导）1．概念辨析（1）反余弦函数xy0余弦函数的反函数叫做反余弦函数，记作；xy0（2）反余弦函数的性质：①图像②定义域：函数的定义域是；③值域：函数的值域是；④奇偶性：函数既不是奇函数也不是偶函数，但有,；x0y⑤单调性：函数是减函数x0y（3）反正切函数1在整个定义域上无反函数2在上的反函数称作反正切函数，记作（奇函数）[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数与函数图像关于直线对称；三、（概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用）判断下列各式是否成立?简述理由。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）式不成立，因为[-1，1]，故arccos无意义；（2）式不成立，因为其对应关系搞错了；（（3）式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上arcsin（-）=-，而arcos(-)=，两者不等；（4）式不成立，因为把等式arccos（-x）=π-arccosx错记成arccos（-x）=-arccosx；（5）式成立，因为等式arctan（-x）=-arctanx。四、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1．求下列反三角函数的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）-解：（1）因为cos=，且∈[0，π]，所以arccos=。（2）因为cos=-，且∈[0，π]，所以arccos（-）=。（3）因为cos=0，且∈[0，π]，所以arccos0=。（4）因为tan=1，且∈（-，），所以arctan1=。（5）因为tan（-）=-，且-∈（-，），所以arctan（-）=-。例2．在中，已知，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示、、。解：因为AC2=AB2+BC2，所以∠B是直角，于是有∠A=arcsin=arccos=arctan；∠B==arcsin1=arccos0；∠C=arcsin=arccos=arctan。例3．化简下列各式：（1）；（2）；（3）解：（1）因为∈[0，π]，设cos=α，所以arccosα=，即arccos（cos）=。（2）因为arccos=，所以sin[arccos]=sin=。（3）因为arctan（-1）=-，所以cos[arctan（-1）]=cos(-)=。例4．求下列函数的反函数，并指出反函数的定义域和值域.(1)；（2）解：（1）设y=+arccos，则arccos=y-，因为∈[-1，1]，arccos∈[0，π]，所以x∈[-2，2]，y∈[，]，根据反余弦函数的定义，得=cos（y-），即x=2cos（y-）.将x，y互换，得反函数f-1（x）=2cos（x-），定义域是[，]，值域是[-2，2].（2）设y=3π-arctan（2x-1），即arctan（2x-1）=3π-y，因为（2x-1）∈R，arctan（2x-1）∈（-，），所以x∈R，y∈（，），根据反正切函数的定义，得2x-1=tan（3π-y）=-tany，即x=（1-tany），将x，y互换，得反函数f-1（x）=（1-tanx），定义域是（，），值域是R。五、课堂练习（2个，基础的或中等难度）1、求的值解：arctan2=,arctan3=则tan=2，tan=3且，∴而∴+=又arctan1=∴=2、求,()的值域解：设u=sinx∵∴∴∴所求函数的值域为六、拓展探究（2个）例1、证明等式：证明：∵x∈[-1，1]，∴-x∈[-1，1]∴cos[arccos（-x）]=-x，cos（π-arccosx）=-cos（arccosx）=-x又因为arccosx∈[0，π]，所以（π-arccosx）∈[0，π]，又arccos（-x）∈[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1].例2、求函数的最大值和最小值；（三）、小结（1）反余弦函数和反正切函数的定义；（2）反余弦函数和反正切函数的性质.（四）、作业书上练习6.4(2)中的1、2、3、4课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）一、填空题1、函数＝的单调递增区间为___________________.2、函数的反函数是___________________.3、___________________.4、若，则x=___________________.5、若的值是___________________.6、不等式的解集是___________________.7*、函数的定义域是，最大值是．8*、若是奇函数，且当时，的解析式是=___________________.二、选择题1、若的值是（）、0、、、不存在2、函数是（）、偶函数、既是奇函数又是偶函数、奇函数、非奇非偶函数3、若0＜＜，则＋等于（）、、、－2、－－24*、若方程＋＝2－1有解，则实数的取值范围是（）、≤0、≥、0≤≤、≤0或≥三、解答题1、求函数＝的定义域和值域2、求值：（1）；（2）．3、求函数的单调区间4*、已知（k为奇数），求的值。四、双基铺垫1、用反三角函数表示中的角x2、用反三角函数表示中的角x课外作业答案课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）一、填空题1、，2、3、；4、5、6、7*、．8*、二、选择题1、（D）2、（C）3、（