空间向量的运算（数量积）课件高二上学期数学北师大版选择性

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3.23.2.2空间向量的运算（数量积）北师大版选择性必修一复习

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.空间向量的夹角

关键是起点相同！

空间向量的夹角范围：0≤〈a，b〉≤π

OAB

ABOAB

规定零向量与任意向量垂直.空间向量数量积定义

空间向量数量积性质两个向量数量积的性质①若，是非零向量，则⊥⇔_______.②若与同向，则·＝______；若反向，则·＝________.③特别地，·＝____或||＝__

_.④若〈，〉为，的夹角，则cos〈，〉＝_______.⑤|·|≤||·||a·b＝0|a|·|b|－|a|·|b||a|2（判断向量垂直）（向量的模长公式）（向量的夹角公式）空间向量数量积运算律

（交换律）（分配律）

（数乘结合律）投影向量与投影数量

（1）（2）（3）投影向量与投影数量

投影向量与投影数量

空间向量的数量积的计算例1

如下图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点．

空间向量的数量积的计算

投影向量与投影数量例2

如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为1，E为A′D′的中点

利用数量积求向量的夹角

利用数量积证明空间的垂直关系例4

如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.利用数量积求距离（即线段的长度）例5

如右图，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点．试求点E，F间的距离.课堂小结1.知识清单：

(1)空间向量的夹角、投影.(2)空间向量数量积、性质及运算律.2.方法归纳：化归转化.3.常见误区：空间向量的数量积的注意点(1

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