2023学年完整公开课版勾股定理4

勾股定理第3章全等三角形直角三角形有哪些性质？

⑴、直角三角形的两个锐角互为余角。回顾旧知识⑵、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。⑶、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。⑷、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。动动脑子动动手

作一个直角三角形，使它的两条直角边分别为3cm、4cm，那么，此直角三角形的斜边是多少？

为了解决这个问题，我们一起来做一个拼图游戏（大家取出准备好的素材），看那些同学动手能力强，在最短时间内拼成既无缝隙、又不重叠的正方形。

探究规律

我们继续观察黑板上所拼的两类正方形，为了研究方便，设直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则三种正方形纸片的边长分别为a、b、c，显然，这两类正方形的面积相等(如图一)，现在，我将两个正方形中各自的四个直角三角形纸片取走，余下的图形（如图二）面积又何关系呢？ccbaaaaaaaaaaaaaabbbbbbbbbbbbbcccccccc图一图二

仍然相等，即大正方形面积等于两个小正方形面积之和，这只是一种表象，你们谁又能看出它的本质呢？

大正方形的面积就是直角三角形斜边长的平方，而两个小正方形面积分别是直角三角形两直角边长的平方，从而可得：上述事实，就是我们今天所要学习的“千古”第一定理：勾股定理直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方。即：a2+b2=c2

显然它所描述的是直角三角形三边之间的关系。则我们就可已知直角三角形中的任意两边而求第三边。公式变形

中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，据《周髀算经》记载，西周开国时期（公元前一千多年，距今3000多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后来许多数学家先后用不同方法证明了这一性质，我国把它称为勾股定理。阅读材料一：

勾股定理在世界上流行甚广，古希腊的毕达哥拉斯早在2500年前就发现并证明了该定理，因而西方把勾股定理称为“毕达哥拉斯”定理。显然，他发现这一定理比中国晚了五六百年，而中国最早在公元3世纪（汉代）时才被赵爽用我们刚才所发现的方法详细的证明出来。确实非常遗憾，如果当时商高发现勾三股四弦五这个特例后及时推广到一般并证明，那么全世界现在都将称其为勾股定理，这也启发我们在平时的学习中要善于发现并及时总结，归纳规律。阅读材料二：再证定理

勾股定理的证明方法有几百种，像刚才的演示过程是一种面积证明法，即通过图形割补拼接、面积不变来证明。请大家继续动动脑筋，还有其它的方法吗？用四个全等的直角三角形，想法拼成允许有空隙的正方形来证明该定理。其中有影响的两种如右图所示：图三图四2002年国际数学家大会会标总统证法：即：学以致用例1：在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=例2：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=101）、能求出BC边上的高AD吗

2）、△ABC的面积是多少？ABCD8解：AB2=BC2+AC2

AB2+BC2+AC2=2AB2=2×22=8解：1）、在Rt△ABD中，BD=BC=5，AB=13

2）、S△ABC=BC×AD=×10×12=60例3：1）、在△ABC中，已知a=3，b=4，则c等于多少？①：当为斜边时，2)、在题中并未说明为斜边，从而应分类讨论：②：当为斜边时，3)、解：1)、在题中并未说明它是否为直角三角形，从而用勾股定理没有依据。则不可求2）、在Rt△ABC中，若a=3，b=4，则c等于多少？3）、在Rt△ABC中，若a=3，b=4，∠c=90°，则c

等于多少？

例4：某市计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮，以美化环境，已知△ABC中∠B=30°，∠C=45°，AB=20m，若这种草皮每平方米10元，请你算一算购买这种草皮共要多少钱？（=1.732，精确到整数）ABC解：过点A作AD⊥BC于DD在Rt△ABD中，∠B=30。，AB=20∴AD=AB=×20=10

∴在Rt△ADC中，∠C=45。，则CD=AD=10∴

BC=BD+CD=+10则购买这种草皮需要的钱为：45°30°颗粒归仓本节课，我们有哪些收获？1、知道了什么是勾股定理。2、用拼图法研究勾股定理，同时也是证明方法：面积法。3、知道了许多有关勾股定理的历史知识。