2022-2023学年高二上学期期中模拟卷01（基础卷）（解析版）

期中押题预测01（基础卷）本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．空间四边形中,点在上,且,为中点,则等于(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】按照向量运算律计算即可【详解】因为,所以因为为BC中点,所以所以故选：B2．已知直线的方向向量分别为，若，则（

）A．1 B．2 C．0 D．3【答案】D【分析】由线线垂直可知其方向向量垂直，再利用空间向量垂直的坐标表示即可求得答案.【详解】因为，所以，故，所以，则.故选：D.3．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（

）A．-7 B．-5 C．-2 D．2【答案】A【分析】根据两点坐标，列出斜率表达式，然后根据倾斜角得到斜率，列出方程求解即可.【详解】因为两点所在直线的倾斜角为，则，即故选:A.4．若三条直线，，能围成一个三角形，则的值可能是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】先求出不能构成三角形的情况，就可选出答案.【详解】由得所以两条直线交于点，当也过时，，解得，此时三条线交于同一点，不能构成三角形，当与平行时，有，则，也不能构成三角形，当与平行时，由，则，也不能构成三角形，所以，故选：B5．已知斜率为的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】因为圆的半径为，且直线l被圆截得的弦长为，即可以通过垂径定理求得圆心到直线l的距离，还可以通过圆心到直线l的距离公式，列出方程，从而求出直线方程.【详解】圆：，故半径为，又因为直线l被圆截得的弦长为，所以圆心到直线l的距离为设直线l的方程为，则，则或所以或.故选：D6．双曲线的左右焦点分别为，，点P在双曲线C上且，则等于（

）A．14 B．26 C．14或26 D．16或24【答案】C【分析】根据双曲线的方程可得，由即可求解.【详解】由双曲线的方程可得，故.因为，故，解得或26.故选:C.7．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】先根据题意得到，然后利用余弦定理求得，接着求，最后利用三角形面积公式即可得到答案【详解】由椭圆可得，所以，，所以，所以在中，，因为，且，所以，设的坐标为，且，所以，所以点P到y轴的距离为，故选：C8．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】底边为定值，求出点P到距离的范围即可求出面积的取值范围.【详解】圆心到直线距离，所以点P到距离即高的范围，又可求得，所以面积的取值范围为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．给出下列命题，其中是真命题的是（

）A．若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底C．己知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面D．己知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】ABCD【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定、、、的结果．【详解】对于选项：，，可以作为空间的一个基底，，，不共面，与共线，，，，不共面，故正确．对于选项：向量，，与任何向量都共面，，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故正确．对于选项：，，不能构成空间的一个基底，，，共面，，，，共面，故正确．对于选项：，，是空间的一个基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空间的一个基底，故正确．故选：．10．已知直线，其中，则（

）A．若直线与直线平行，则B．当时，直线与直线垂直C．直线过定点D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等【答案】BC【分析】由两直线平行可求得实数的值，可判断A选项；利用直线垂直与斜率的关系可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；当时，求出直线的截距式方程，可判断D选项.【详解】直线的斜率为.对于A选项，若直线与直线平行，且直线的斜率为，则，解得或，A错；对于B选项，当时，直线的方程为，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，当时，直线与直线垂直，B对；对于C选项，对于直线，由，可得，则直线过定点，C对；对于D选项，当时，直线的方程为，即，所以，当时，直线在两坐标轴上的截距相反，D错.故选：BC.11．已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，则圆的方程（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】设圆心坐标为，半径为，根据圆与轴相切，得到圆的半径等于圆心横坐标的绝对值，把圆心坐标代入直线得到关于与的方程,再由垂径定理得到的一个关系式，三者联立即可求出及的值，从而确定出圆的方程.【详解】设所求圆的方程为，则圆心到直线的距离为，所以，即.因为所求圆与轴相切，所以又因为所求圆的圆心在直线上，所以，所以或故所求圆的方程为或.故选：BD12．已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（

）A．若，则点的横坐标为 B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D．周长的最小值为【答案】ACD【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标，进而得到抛物线方程；利用抛物线焦半径公式可求得A正确；将准线方程与双曲线方程联立可得交点纵坐标，由此可得线段长度，知B错误；根据外心的横坐标为且圆与准线相切可得圆的半径，由此可知C正确；结合抛物线定义可知，由此可求得周长的最小值，知D正确.【详解】由双曲线方程知：，抛物线，对于A，设，则，解得：，A正确；对于B，抛物线准线方程为：，由得：，准线被双曲线截得的线段长度为，B错误；对于C，外接圆圆心在线段的中垂线上，则其横坐标为，又该圆与抛物线准线相切，该圆的半径，该圆的面积，C正确；对于D，设和在准线上的投影分别为，由抛物线定义知：，则（当且仅当三点共线时取等号，此时重合），又，，周长的最小值为，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，则___________.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，，，所以；故答案为：14．已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是___________________．【答案】【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据切点和斜率求得公切线方程.【详解】圆，即，圆心为，半径.圆，即，圆心为，半径.圆心角，所以两圆相内切.由解得，所以两圆切点的坐标为，，所以公切线的斜率为，所以公切线的方程为.故答案为：15．已知椭圆C：，对于C上的任意一点P，圆O：上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是______．【答案】【分析】当P为椭圆的上下顶点时，可得存在点M，N使得；当P不为椭圆的上下顶点时，将点M，N位置特殊化，从而得到直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，因为，所以，并通过，，得到，从而计算出，的不等关系以及椭圆的离心率.【详解】连接OP，当P不为椭圆的上下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，设，因为存在点M，N使得，所以，所以，所以，可得，而，即，可得，所以椭圆的离心率，当点P位于椭圆的上下顶点，点M、N位于圆O与x轴的左右交点时，所以此时在圆O上存在点M，N使得．所以椭圆C的离心率的取值范围是．故答案为：16．已知点为双曲线在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为___；若，分别交双曲线于，两点，记直线与的斜率分别为，，则___.【答案】

4

15【分析】设，由已知条件可得，从而可得点横坐标，由勾股定理可得，将代入双曲线方程结合可得关于的齐次方程，即可求离心率；由题意知：，由可得，再计算即可求解.【详解】设，因为，所以，由可得，＝，即，把代入双曲线方程，可得，即，又，代入上式可得，即，解得或所以双曲线的离心率；设，则，因为，所以，，所以，把、的坐标分别代入双曲线方程，可得两式作差可得，即，∴故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．(1)求直线CD的方程；(2)求过点A且与直线DE垂直的直线．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出点D的坐标，再求出直线CD的方程作答.（2）求出点E坐标及直线DE的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答.【详解】（1）在平行四边形ABCD中，，，，则，则点，直线CD的斜率，则有，即，所以直线CD的方程是.（2）依题意，点，则直线DE的斜率，因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为，方程为，即，所以所求方程是.18．（12分）已知空间向量.(1)若与互相垂直，求；(2)记，且，求点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算结合运算求解；（2）根据理解可得，结合向量的坐标运算，整理求解.【详解】（1）由题意可得：，因为与互相垂直，所以，即，所以.（2），因为，所以又因为，设为坐标原点，所以，即.19．（12分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且长轴长与短轴长的比是.(1)求椭圆的方程；(2)设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据题意结合列式求解；（2）由两点间距离结合椭圆方程整理可得，再根据二次函数求最值.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆方程为.（2）设，则，即，因为的对称轴为，所以在为减函数，所以当时，的最大值为的最大值为.20．（12分）如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.(1)求与平面AEF所成角的正弦值；(2)过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线，在图中作出这条公共直线，简略写清作图过程，并求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.【答案】(1)；(2)作图见解析，.【分析】（1）取AC中点O，连接OB，OF，以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.（2）延长交延长线于点M，经过点F，M画直线FM，再借助余弦定理计算作答.【详解】（1）正三棱柱中，取AC中点O，连接OB，OF，而F为的中点，则，

四边形是平行四边形，即，又平面，则有平面，即OA，OB，OF两两垂直，以O为原点，射线OA，OB，OF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面AEF的一个法向量为，则，令，得，设与平面AEF所成角为，则，所以与平面AEF所成角的正弦值为.（2）如图，延长交延长线于点M，经过点F，M画直线FM，则直线FM即为所作，因点直线，而平面，则点平面，同理点平面，而点平面，点平面，因此直线FM是平面AEF与平面的公共直线，令，因是中点，则且，即是的一条中位线，因此是中点，又是中点，则是的重心，，在中，，由余弦定理得：，所以这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度为.21．（12分）已知过原点的两条直线相互垂直，且的倾斜角小于的倾斜角．(1)若与关于直线对称，求和的倾斜角(2)若都不过点，过分别作为垂足，当的面积最大时．求的方程．【答案】(1)，的倾斜角分别为和(2)．【分析】(1)先求直线的倾斜角，结合图形及倾斜角的定义求出，的倾斜角的倾斜角；(2)设，，根据基本不等式证明的面积最大时，结合点到直线距离公式求的斜率，由此可求其方程.【详解】（1）直线的倾斜角为60°．∵，关于直线对称，且，∴，与直线的夹角均为，∴，的倾斜角分别为和．（2）∵，，，∴四边形为矩形．设，，则，，当且仅当时取等号．若的斜率不存在，则的倾斜角为，由直线相互垂直可得的倾斜角为0，与已知矛盾，所以的斜率存在，设，则点到的距离为，令，得（负值舍去）．∴当的面积最大时，的方程为．22．（12分）已知双曲线C：与双曲线W：的渐近线相同，且经过点．(1)求C的方程；(2)已知C的上、下顶点分别为A