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文档简介
第03讲3.2.1单调性与最大(小)值课程标准学习目标①理解单调函数的定义,理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义.②掌握定义法证明函数单调性的步骤.③掌握函数单调区间的写法.④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.⑤.会借助单调性求最值.⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值.通过本节课的学习,要求掌握函数单调性的证明,会求常用函数的单调区间,会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值.知识点01:函数的单调性1、增函数与减函数1.1增函数一般地,设函数的定义域为,区间,如果,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.(如图:图象从左到右是上升的)特别地,当函数在它的定义域上单调递增时,称它是增函数(increasingfunction).1.2减函数一般地,设函数的定义域为,区间,如果,当时,都有,那么就称函数在区间上是单调递减.(如图:图象从左到右是下降的)特别地,当函数在它的定义域上单调递增时,称它是减函数(decreasingfunction).2、函数的单调性与单调区间如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间叫做的单调区间.3、常见函数的单调性函数单调性一次函数()当时,在上单调递增当时,在上单调递减反比例函数()当时,在和上单调递减当时,在和上单调递增二次函数()对称轴为当时,在上单调递减;在上单调递增当时,在上单调递增;在上单调递减知识点02:函数单调性的判断与证明1、定义法:一般用于证明,设函数,证明的单调区间为①取值:任取,,且;②作差:计算;③变形:对进行有利于符号判断的变形(如通分,因式分解,配方,有理化等);如有必要需讨论参数;④定号:通过变形,判断或(),如有必要需讨论参数;⑤下结论:指出函数在给定区间上的单调性2、图象法一般通过已知条件作出函数的图象(或者草图),利用图象判断函数的单调性.3、性质法(1)函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反;(2)函数在给定区间上的单调性与的单调性相同;(3)和的公共定义区间,有如下结论;增增增不确定增减不确定增减减减不确定减增不确定减【即学即练1】(2023春·青海西宁·高二校考开学考试)已知函数.(1)判断函数在上的单调性,并证明;【答案】(1)函数在上单调递减,理由见详解【详解】(1)函数在上单调递减;理由如下:取,规定;则因为,所以所以所以函数在上单调递减知识点03:函数的最大(小)值1、最大值:对于函数,其定义域为,如果存在实数满足:①,都有②,使得那么称是函数的最大值;2、最小值:对于函数,其定义域为,如果存在实数满足:①,都有②,使得那么称是函数的最小值;知识点四:复合函数的单调性(同增异减)一般地,对于复合函数,单调性如下表示,简记为“定义域优先,同增异减”,即内层函数与外层函数单调性相同时,复合函数为增函数;内层函数与外层函数单调性不同时,复合函数为减函数::令:和增增增增减减减增减减减增【即学即练2】(2023·全国·高三专题练习)当时,则函数的值域为(
)A. B.C. D.【答案】C【详解】令,因为,所以,当时,函数单调递减,故,当时,即,所以,所以函数的值域为:.故选:C.题型01定义法判断或证明函数单调性【典例1】(2023·高一课时练习)下列有关函数单调性的说法,不正确的是(
)A.若为增函数,为增函数,则为增函数B.若为减函数,为减函数,则为减函数C.若为增函数,为减函数,则为增函数D.若为减函数,为增函数,则为减函数【典例2】(2023秋·广东·高一校联考期末)已知函数,且,.(1)求函数的解析式;(2)根据定义证明函数在上单调递增.【变式1】(2023秋·高一课时练习)求证:函数在区间上是增函数.【变式2】(2023春·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试)设函数.(1)用定义证明函数在区间上是单调减函数;【变式3】(2023·全国·高一专题练习)求证:函数在区间上是减函数.题型02求函数单调区间【典例1】(2023春·山东滨州·高一校考阶段练习)函数的单调递增区间是(
)A. B.C. D.【典例2】(2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习)函数的减区间是(
)A. B.C., D.【变式1】(2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试)如图是函数的图象,则函数的减区间是(
)A. B. C. D.题型03复合函数单调区间【典例1】(2023·高一课时练习)函数的单调递增区间是(
)A. B. C. D.【典例2】(2023·海南海口·统考模拟预测)函数的单调递减区间是(
)A. B.和C. D.和【变式1】(2023·全国·高三专题练习)函数的单调递减区间是(
)A. B. C. D.题型04根据函数的单调性求参数【典例1】(2023秋·四川达州·高一校考阶段练习)若函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是______【典例2】(2023·全国·高一专题练习)已知函数在区间上是减函数,则整数的取值可以为()A. B. C.0 D.1【变式1】(2023春·青海西宁·高二校考开学考试)已知在上是增函数,则的取值范围是________.【变式2】(2023·全国·高一专题练习)“”是“函数在区间上为减函数”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件题型05根据函数的单调性解不等式【典例1】(2023秋·高一课时练习)已知函数是定义在上的增函数,且,则的取值范围是(
)A. B.(2,3)C.(1,2) D.(1,3)【典例2】(2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试)已知函数在定义域上是减函数,且,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【典例3】(2023秋·云南保山·高一统考期末)已知定义在上的函数,满足,且当时,.(1)讨论函数的单调性,并说明理由;(2)若,解不等式.【变式1】(2023·全国·高三专题练习)若函数y=f(x)在R上单调递减,且f(2m-3)>f(-m),则实数m的取值范围是(
)A.(-∞,-1) B.(-1,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,1)【变式2】(2023·山东枣庄·统考模拟预测)已知函数是定义在上的减函数,且,则的取值范围是______.题型06根据单调性(图象)求最值或值域【典例1】(多选)(2023秋·云南怒江·高一校考期末)已知函数的定义域为,其图象如图所示,则下列说法中正确的是()A.的单调递减区间为B.的最大值为C.的最小值为D.的单调递增区间为【典例2】(2023春·重庆·高二统考阶段练习)函数是定义在上的奇函数,且.(1)求实数a,b,并确定函数的解析式;(2)判断在(-1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论;(3)写出的单调减区间,并判断有无最大值或最小值?如有,写出最大值或最小值.(本小问不需要说明理由)【变式1】(2023·全国·高一专题练习)设对任意的有,且当时,.(1)求证是上的减函数;(2)若,求在上的最大值与最小值.【变式2】(2023秋·高一单元测试)已知函数是上的偶函数(1)求实数的值,判断函数在,上的单调性;(2)求函数在,上的最大值和最小值.题型07根据函数的最值(值域)求参数【典例1】(2023·全国·高一专题练习)函数在时有最大值为,则的值为(
)A. B. C. D.【典例2】(2023·全国·高三专题练习)若函数,它的最大值为,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【典例3】(2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习)设函数若存在最小值,则的取值范围为(
)A. B.C. D.【典例4】(2023·全国·高一专题练习)已知(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数(2)若函数()的最大值与最小值之差为1,求实数的值【变式1】(2023·上海·高三专题练习)设若是的最小值,则的取值范围是.【变式1】(2023秋·江西宜春·高一校考期末)已知函数.(1)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;(2)若在区间上有最大值3,求实数的值.题型08二次函数最值问题(含参)【典例1】(2023·高一课时练习)已知函数的表达式,若,求函数的最值.【典例2】(2023·全国·高三专题练习)已知二次函数满足,且.(1)求的解析式;(2)求函数在区间,上的最大值.【变式1】(2022秋·宁夏银川·高一校考阶段练习)已知函数()的最小值为–1.(1)求实数a的值;(2)当,时,求函数的最小值.【变式2】(2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习)已知函数,求函数在区间上的最小值【变式3】(2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中)已知函数.(1)若函数在上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若,求时的最小值.题型09函数不等式恒成立问题【典例1】(2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中)已知.(1)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围;(2)若,解不等式.【典例2】(2023·江苏·高一专题练习)已知函数,(1)判断函数在区间上的单调性,并利用定义证明;(2)若对任意的时,恒成立,求实数的取值范围.【变式1】(2023·高一课时练习)已知函数.(1)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围;(2)若对任意的,恒成立,求的取值范围.题型10函数不等式有解问题【典例1】(2023·高一课时练习)已知函数(1)解关于的不等式;(2)已知,当时,若对任意的,总存在,使成立,求实数的取值范围.【典例2】(2023·全国·高三专题练习)已知函数在上的最大值为3,最小值为.(1)求的解析式;(2)若,使得,求实数的取值范围.【变式1】(2023·高一单元测试)若存在实数,使得不等式成立,求x的取值范围.【变式2】(2023·高一课时练习)已知,其中为常数.(1)若的解集为或,求的值;(2)使,求实数的取值范围.题型11重点方法(分类讨论)【典例1】(2023·高一课时练习)定义一种运算,设(t为常数),且,则使函数最大值为4的值是__________.【典例2】(2023·全国·高三对口高考)设的定义域为,对于任意实数,则的最小值__________.题型12数学思想方法(数形结合)【典例1】(2023·全国·高一专题练习)已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【典例2】(2023·全国·高三对口高考)已知函数,若存在,使得成立,则实数的取值范围是(
)A.或 B. C. D.3.2.1单调性与最大(小)值A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1.(2023·广东·高三统考学业考试)在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是(
)A. B. C. D.2.(2023秋·江苏扬州·高一期末)的图象大致是(
)A.B.C.D.3.(2023秋·高一课时练习)已知函数在上是增函数,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.4.(2023·江苏·高一专题练习)关于的不等式的解集为,且不等式恒成立,则实数t的取值范围为(
)A. B.C. D.5.(2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测)已知函数若,则的单调递增区间为(
)A. B.C. D.6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的值域为,则a的最小值为(
)A.1 B.2 C.3 D.47.(2023秋·高一课时练习)已知函数,对于任意的恒成立,则实数的最小值是(
)A.0 B.1 C.2 D.38.(2023春·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中)设函数,若函数在上是减函数,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.二、多选题9.(2023春·甘肃武威·高一统考开学考试)下列函数中,在上单调递增的是(
)A. B. C. D.10.(2023秋·高一课时练习)下列函数中满足“对任意,∈(0,+∞),都有>0”的是(
)A.=- B.=-3+1C.=+4+3 D.=-三、填空题11.(2023·高一课时练习)已知函数是上的严格减函数,则的取值范围是______.12.(2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中)函数的单调减区间为__________.四、解答题13.(2023·高一课时练习)已知在上的图像如图所示.(1)指出的单调区间.(2)分别指出在区间及上的最大、最小值.14.(2023·高一课时练习)己知函数为定义在上的减函数,且,试求实数m的取值范围.15.(2023·全国·高三专题练习)利用定义证明函数在区间上为减函数.B能力提升1.(2023·全国·高三对口高考)对于任意,函数的值恒大于零,则x的取值范围是(
)A. B.C.或 D.2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,满足对任意的实数,且,都有,则实数a的取值范围为(
)A. B. C. D.3.(2023·北京·高三专题练习)已知函数的定义域为,存在常数,使得对任意,都有,当时,.若在区间上单调递减,则t的最小值为(
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