高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第17讲 3.2.1单调性与最大（小）值（学生版）

第03讲3.2.1单调性与最大（小）值课程标准学习目标①理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义．②掌握定义法证明函数单调性的步骤．③掌握函数单调区间的写法.④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.⑤.会借助单调性求最值.⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值．通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值.知识点01：函数的单调性1、增函数与减函数1.1增函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).1.2减函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).2、函数的单调性与单调区间如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．3、常见函数的单调性函数单调性一次函数（）当时，在上单调递增当时，在上单调递减反比例函数（）当时，在和上单调递减当时，在和上单调递增二次函数（）对称轴为当时，在上单调递减；在上单调递增当时，在上单调递增；在上单调递减知识点02：函数单调性的判断与证明1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为①取值：任取，，且；②作差：计算；③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性2、图象法一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.3、性质法（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；（3）和的公共定义区间，有如下结论；增增增不确定增减不确定增减减减不确定减增不确定减【即学即练1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知函数.(1)判断函数在上的单调性，并证明；【答案】(1)函数在上单调递减，理由见详解【详解】（1）函数在上单调递减；理由如下：取，规定；则因为，所以所以所以函数在上单调递减知识点03：函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有②，使得那么称是函数的最大值；2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有②，使得那么称是函数的最小值；知识点四：复合函数的单调性（同增异减）一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：：令：和增增增增减减减增减减减增【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）当时，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，因为，所以，当时，函数单调递减，故，当时，即，所以，所以函数的值域为：.故选：C．题型01定义法判断或证明函数单调性【典例1】（2023·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（

）A．若为增函数，为增函数，则为增函数B．若为减函数，为减函数，则为减函数C．若为增函数，为减函数，则为增函数D．若为减函数，为增函数，则为减函数【典例2】（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数，且，．(1)求函数的解析式；(2)根据定义证明函数在上单调递增．【变式1】（2023秋·高一课时练习）求证：函数在区间上是增函数.【变式2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试）设函数．（1）用定义证明函数在区间上是单调减函数；【变式3】（2023·全国·高一专题练习）求证：函数在区间上是减函数．题型02求函数单调区间【典例1】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）函数的减区间是（

）A． B．C．， D．【变式1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图是函数的图象，则函数的减区间是（

）A． B． C． D．题型03复合函数单调区间【典例1】（2023·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数的单调递减区间是（

）A． B．和C． D．和【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．题型04根据函数的单调性求参数【典例1】（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（）A． B． C．0 D．1【变式1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知在上是增函数，则的取值范围是________．【变式2】（2023·全国·高一专题练习）“”是“函数在区间上为减函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型05根据函数的单调性解不等式【典例1】（2023秋·高一课时练习）已知函数是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（

）A． B．(2，3)C．(1，2) D．(1，3)【典例2】（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知定义在上的函数,满足,且当时,.(1)讨论函数的单调性,并说明理由;(2)若,解不等式.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3)>f(－m)，则实数m的取值范围是（

）A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【变式2】（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是______．题型06根据单调性（图象）求最值或值域【典例1】（多选）（2023秋·云南怒江·高一校考期末）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A．的单调递减区间为B．的最大值为C．的最小值为D．的单调递增区间为【典例2】（2023春·重庆·高二统考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且．（1）求实数a，b，并确定函数的解析式；（2）判断在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需要说明理由）【变式1】（2023·全国·高一专题练习）设对任意的有，且当时，.(1)求证是上的减函数；(2)若，求在上的最大值与最小值.【变式2】（2023秋·高一单元测试）已知函数是上的偶函数(1)求实数的值，判断函数在,上的单调性；(2)求函数在,上的最大值和最小值．题型07根据函数的最值（值域）求参数【典例1】（2023·全国·高一专题练习）函数在时有最大值为，则的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【典例4】（2023·全国·高一专题练习）已知(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数(2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值【变式1】（2023·上海·高三专题练习）设若是的最小值，则的取值范围是.【变式1】（2023秋·江西宜春·高一校考期末）已知函数.(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；(2)若在区间上有最大值3，求实数的值.题型08二次函数最值问题（含参）【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数的表达式，若，求函数的最值．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，且．(1)求的解析式；(2)求函数在区间，上的最大值．【变式1】（2022秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知函数（）的最小值为–1．(1)求实数a的值；(2)当，时，求函数的最小值．【变式2】（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）已知函数，求函数在区间上的最小值【变式3】（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知函数．(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若，求时的最小值．题型09函数不等式恒成立问题【典例1】（2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）已知.(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)若，解不等式.【典例2】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数，(1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明；(2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围.【变式1】（2023·高一课时练习）已知函数.(1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.题型10函数不等式有解问题【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数(1)解关于的不等式；(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为3，最小值为．(1)求的解析式；(2)若，使得，求实数的取值范围．【变式1】（2023·高一单元测试）若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围．【变式2】（2023·高一课时练习）已知，其中为常数．(1)若的解集为或，求的值；(2)使，求实数的取值范围．题型11重点方法（分类讨论）【典例1】（2023·高一课时练习）定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的值是__________．【典例2】（2023·全国·高三对口高考）设的定义域为，对于任意实数，则的最小值__________．题型12数学思想方法（数形结合）【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三对口高考）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A．或 B． C． D．3.2.1单调性与最大（小）值A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·广东·高三统考学业考试）在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江苏扬州·高一期末）的图象大致是（

）A．B．C．D．3．（2023秋·高一课时练习）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏·高一专题练习）关于的不等式的解集为，且不等式恒成立，则实数t的取值范围为（

）A． B．C． D．5．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知函数若，则的单调递增区间为（

）A． B．C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则a的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023秋·高一课时练习）已知函数，对于任意的恒成立，则实数的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（2023春·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中）设函数，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023春·甘肃武威·高一统考开学考试）下列函数中，在上单调递增的是（

）A． B． C． D．10．（2023秋·高一课时练习）下列函数中满足“对任意，∈(0,＋∞)，都有＞0”的是(

)A．＝－ B．＝－3＋1C．＝＋4＋3 D．＝－三、填空题11．（2023·高一课时练习）已知函数是上的严格减函数，则的取值范围是______．12．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）函数的单调减区间为__________.四、解答题13．（2023·高一课时练习）已知在上的图像如图所示.（1）指出的单调区间.（2）分别指出在区间及上的最大、最小值.14．（2023·高一课时练习）己知函数为定义在上的减函数，且，试求实数m的取值范围．15．（2023·全国·高三专题练习）利用定义证明函数在区间上为减函数.B能力提升1．（2023·全国·高三对口高考）对于任意，函数的值恒大于零，则x的取值范围是（

）A． B．C．或 D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（