专题4函数的单调性极值与最值（学生版）

专题4函数的单调性、极值与最值导数导数是解决函数问题的利器，利用导数研究函数的单调性、极值与最值，一直是高考的重点和难点，也为解决函数零点问题、函数与不等式的证明等打好基础.不管是求单调区间还是求极值，首先需要确定函数的定义域；对于极值和最值，需要注意区分；在利用导数求含参函数的单调性及其最值问题时，要注意对参数范围进行讨论。本专题提炼了解决函数单调性问题的通性通法，指明了问题解决的方向方法；精选了部分最新优质的模考试题和联考试题，这些题目有助于提升分类讨论思想、函数方程思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理等素养。——合肥一中高级教师陈银科探究1：利用导数研究函数单调性【典例剖析】例1.(2021·福建省福州市期中)已知函数f(x)=12(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数g(x)=f(x)+ax+49x3在选题意图:选题意图:高考对于函数与导数的考查紧扣高中数学的知识点，且试题难度都较大，例1仅考查不含参的情况下求函数的单调区间与已知单调性求参，难度不高，想借助该题让学生回归基础，梳理利用导数研究函数单调性的步骤，掌握已知函数单调性的转化方向.思维引导：第一问按照求定义域、求导、解导数不等式的顺序求出函数的单调区间；第二问，已知函数在区间上单调，转化为恒成立问题求参.【变式训练】练11(2021·广东省汕头市联考)已知函数f(x)=ax2-4ax-lnx，则f(x)在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是(

)A.a>-12 B.0<a<116

C.a>1练12(2022·湖南省长沙市一模)已知f(x)=alnx+12x2，若对任意两个不等的正实数xf(x1)-f(x2)x1-x2>2恒成立，则a练13(2021·江苏省无锡市月考)已知函数f(x)=lnx+ax2-x+b．

(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线为y=x+2，求a，b的值；

(2)若a∈R【规律方法】1.确定函数单调区间的步骤=1\*GB2⑴确定函数f(x)的定义域；=2\*GB2⑵求f'(x)；=3\*GB2⑶解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；=4\*GB2⑷解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2.含参函数的单调性讨论=1\*GB2⑴确定函数f(x)的定义域；=2\*GB2⑵求f'(x)；=3\*GB2⑶确定导函数有效部分，记为gx:对f'(x)进行化简变形后，去除符号已经确定的部分，留下的部分则为f'(x)的有效部分（如：f'x=exx=4\*GB2⑷确定导函数有效部分的类型：=1\*GB3①导函数有效部分是一次型：fx=lnx-ax，则f'x的有效部分为gx=1-ax，因x>0则“临界状态”即为0，=2\*GB3②导函数有效部分是二次型且可因式分解型：fx=lnx+axgx=2ax-1x-1，讨论=3\*GB3③导函数有效部分是二次型且不可因式分解型：fx=-2lnx-2ax+2xgx=x2=4\*GB3④二次求导，研究gx单调性及零点从而判断原函数的单调性.3.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f'(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f'(x)探究2：函数的极值、最值问题【典例剖析】例2.(2022·重庆市市辖区模拟)已知函数f(x)=alnx+1x(a>0)．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为2选题意图选题意图：函数的极值、最值时函数内容中的重要知识点，通常在导数压轴题中出现，试题难度大.在解决较难的极值、最值问题之前，要通过基础试题，强化解题思路，再逐步探究解题思路更加抽象的试题.思维引导：第一问求导，求出函数的单调区间，判断函数是否存在极值点，并求出相应极值；第二问函数的极值点含有参数，讨论极值点与区间的位置关系，从而判断出函数在区间1,e上的单调性，求出最小值.【变式训练】练21(2021·浙江省宁波市期中)已知函数f(x)=x2+aln(2x+1)有两个不同的极值点x1、x2，且x练22(2022·山东省潍坊市模拟)若b≥ln 2x-ax对x∈(0,+∞)恒成立，则b+1a的最小值为(

)A.-12e B.-1练23(2022·广东省联考·多选)已知函数f(x)=x2-3eA.函数fx的单调减区间是-1,3 B.函数fx有极小值，但无最小值

C.函数fx有极大值，但无最大值 D.函数y=f【规律方法】1.函数极值问题的常见类型及解题策略=1\*GB2⑴利用图象判断函数极值：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．=2\*GB2⑵已知函数求极值：求导f'(x)，判断函数单调性，判断极值点，进而求出极值.=3\*GB2⑶已知极值点个数求参数：已知函数极值点个数转化为导函数零点个数，转化为已知函数零点个数求参.2.求函数f(x)在闭区间[a，b]=1\*GB2