材料力学上课例题

第七章弯曲变形上课例题例题1图示一抗弯刚度为EI

的悬臂梁，在自由端受一集中力F

作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度

W

mx

和

最

大

转

角

θmax解：(1)弯

矩方

程

为M(x)=-F(l-x)

(1)(2)挠曲

线的

近

似

微

分

方

程

为EIw”=M(x)=-Fl+Fx

(2)对

挠曲

线

近

似

微

分

方

程

进

行

积

分(4)

(4)

边

界

条

件

x=0,

w=0x=0,

w¹=0将

边

界

条

件

代

入(

3

)

(4)两式中，可得

C₁=0

C₂=0梁的转角方程和挠曲线方程分别为Omax

和

Wax

都发生在自由端截面处例题2

图示一抗弯刚度为EI

的简支梁，在全梁上受集度为q

的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其0max和

Wm

ax解：由对称性可知，梁的两个支反力为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为边界

条

件x=0

和x=l

时，w=0梁的

转

角

方

程

和

挠

曲

线

方

程

A分

别

为最

大

转

角

和

最

大

挠

度

分

别

为在x=0

和x=l

处

转

角的

绝

对

值

相

等

且

都

是

最

大

值

，在

梁

跨中

点

处

有

最

大

挠

度

值例题3

图示一抗弯刚度为EI

的简支梁，在D点处受一集中力F的作

用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大挠度和最大转角

.两段梁的弯矩方程分别为解：梁的两个支反力为(a≤x≤1)(O≤x≤a)两段梁的挠曲线方程分别为(a)(O≤x≤a)挠曲线方程转角方程挠度方程转

角

方

程挠

度

方

程(b)

(a≤x≤l)D

点的连续条

件在x=a

处

wí=w2W₁=W₂边界条件在

x=0

处

，W₁=0在x=1处

，w₂=0代

入

方

程

可

解

得

：D₁=D₂=0FRB(b)

(a≤x≤l(a)(0≤x≤a))将x=0

和

x=1

分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当a>b时，右支座处截面的转角绝对值为最大简

支

梁的

最

大

挠

度

应

在

w'=0

处先研究第一段梁，令

w₁′=0

得当a>b时，x₁<a最

大

挠

度

确

实

在

第

一

段

梁中结论

：

在简支梁中

，

不论它受什么荷载作用

，

只要挠曲线上无拐点，

其

最

大

挠

度

值

都

可

用

梁

跨中

点

处

的

挠

度

值

来

代

替

，

其

精

确

度是

能

满

足

工

程

要

求的

。梁

中

点

C

处

的挠度为例题4

一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理

求梁跨中点的挠度wc和支座处横截面的转角0₄,0。解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图所示wc=(wc)

。+(Wc)m,OA=(0A)+(OA)。0g=(0)+(0)(c))(a)(b)例

题

5

试利用叠加法，求图所

示

抗

弯

刚

度

为EI

的简支梁

跨

中

点

的

挠

度

wc

和

两

端截

面

的

转

角

0₄

,

θ

g

·解：可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠

加

.在跨中C

截面处，挠度

wc

等于零，但转角不等于零且该截面的

弯矩也等于零可

将AC

段

和BC

段分别视为受均布线荷载作用且长度为1

/2的

简

支

梁(

2

)

反

对

称

荷

载

作

用

下(

1

)

正

对

称

荷

载

作

用

下

q/2 q/2AAB

q/2

q/2将

相

应

的

位

移

进

行

叠

加

，

即

得

A可

得到

：(|)Wc₂))q/2q/2B(例题6

一抗弯刚度为EI

的外伸梁受荷载如图所示，试按叠加原理

并利用附表，求截面B的转角0以及A端和BC中点D的挠度w₄和Wp

.A解：将外伸梁沿B

截

面

截

成

两

段

，

将AB

段

看

成B

端

固

定

的

悬

臂梁，BC

段看成简支梁

.

AB

截

面

两

侧

的

相

互

作

用

为

：2qaM。=ga'2qMg=qa²

Mʙ=qa²AB2qa由简支梁BC

求得的Og,Wp就是外伸梁AC的

0gWD简支梁BC的变形就是Mp和均布荷载q分别引起变形的叠加.简支梁BC

的受力情况与

外伸梁AC

的BC

段的受力情

况相同Mg=qa²(1)求θ

,WDB

(

2

)

求W悬臂梁AB本

身的

弯曲

变

形，

使A

端产生挠度w2由于简支

梁

上B截

面

的

转

动

，

带

动AB

段

一

起

作

刚

体

运

动

，

使A端产生

挠

度w₁因此，A端的总挠度应

为

WA=W₁+W₂=-θg·a+W₂Mg=ga²例

7

下图为

一

空心圆杆，内外径分别为：d=40mm,D=80mm,杆的E=210GPa,

工

程

规

定C

点

的[w/L]=0.00001,B

点的[θ]=0.001弧度，试校

核

此

杆

的

刚

度

.A解

：

(

1

)

结

构

变

换

，

查

表

求

简单

载

荷

变

形

.D

B

200mm

F₁=1kN

l=400mma=0.1m

C2=2kNθ₂s=0A图1

DCF₁=1kN

+图

2BCF₂F₂=2kN

0₂

=-16t+

(2)叠加求复杂载荷下的变形=188×10-⁸m⁴D200mmBF₁=1kl=400mm图

3a=0.1mA(3)校核刚度：+0.423×10⁴(rad)例题8

梁AC如图所示，梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接，在梁受荷载作用前，杆AD内没有内力，已知梁和杆用同样的钢材制成，材

料的弹性模量为E,钢梁横截面的惯性矩为I,

拉杆横截面的面积为

A,其余尺寸见图，试求钢杆AD内的拉力FLA点的

变

形

相

容

条

件

是

拉

杆

和

梁

在

变

形

后

仍

连

结

于A点

.

即W₄=△解：这是

一

次超静定问题

.

将AD

杆与梁AC

之

间

的

连

结

绞

看

作

多

余约束

.

拉力Fx

为

多

余

反

力

.

基

本

静

定

系

如

图根

据

叠

加

法A

端

的

挠

度

为WA=(WA)

。+(W₄)F变

形

几

何

方

程

为在

例

题

中

已

求

得可算出：(W₄)+(W₄)r

、=△拉

杆

AD

的伸长为：补充方程为：由此解得：FN例

题

9

求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图

.已

知

EI=5×103kN-m³.A解：这是一次超静定问题取支座B

截面上的相

对转动约束为多余约束.

A基本静定系为在B

支

座截面上安置铰的静定梁，

如图所示.多余反力为分别作用于

简

支

梁AB

和

BC

的

B端

处的一对弯矩

Mg变形相容条件为，简

A

支梁AB的

B

截面转角和BC

梁

B

截面的转角相等.20kN/m30kNθ4mθ=0;20kN/m91

B3mMg2mD=2+3由

表

中

查

得

：Mg20kN/mFR₄=32.05KNFR=66.35KNFRc

=11.6KN在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图

.由基本静定系的平衡方程

可

求

得

其

余

反

力

A11.6447.951.603m30kND3m

2mB4m20kN/m25.6823.2832.0518.40一第八章

：应

力

状

态

分

析

和强

度

理

论例

题

1

分

析

薄

壁

圆

筒

受

内

压

时

的

应

力

状

态薄壁圆筒的横：=πDδ(

1

)

沿

圆

筒

轴

线

作

用

于

筒

底

的

总

压

力

为F(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象2o”δl

-plD=0解：

把从A点处截取的单元体放大如图σx=-70,

σy=0,

txy=50例题4

简支梁如图所示.已知

m-m

切应力分别为σ=-70MPa,x=50MPa.

的方位.截面上A

点的弯曲正应力和

确定A

点的主应力及主平面因为σ<σ,所以

a₀=27.5°

与

σmin对

应σ1=26MPa,

G₂=0,O3

=-96MPa例题5图示单元体，已知o=-40MPa,σ=60MPa,ry=-50MPa.试求e-f截面上的应力情

况及主应力和主单元体的方位。解：(1)求e-f截面上的应力=-58.3MPa(-50)cos(-60°)=18.3MPaσ1=80.7MP

O₂

=

O³=-

60.7MPa因为σ<σ,所以a₀=-22.5°与Gmin对应(2)

求主应力和主单元体的方位x₀=

-

57262例题6求

平

面

纯

剪

切

应

力

状

态的

主

应

力

及

主

平

面

方

位

。因

为

o=o

且tx>0

所以a₀=-45°解：

(

1)求主

平

面

方

位与

σmax

对

应(2

)

求

主

应

力σ₁=r,O₂=0,O₃=-r例题7

从水坝体内某点处取出的单元体如图所示，

o=-1MPa,σ=-0.4MPa,y=-0.2MPa,xx=0.2MPa,(1)绘出相应的应力圆(2)确定此单元体在α=30°和α=-40°两斜面上的应力.

解：

(1)画应力圆量取OA=σ=-1,AD=y=-0.2,定出D点；OB=o=-0.4和，BD=x=0.2,

定出D'点.以DD'为直径绘出的圆即为应力圆.(2)确定α=30°斜截面上的应力将半径

CD逆时针转动2α=60°到半径

CE,E

点的坐标就

代表α=30°斜截面上的应力。(3)确定α=-40°斜截面上的应力将半径

CD

顺时针转2α=80°到半径

CF,F

点的坐标就代表α=-40°斜截面上的应力.O30。=-0.68MPa730。=-0.36MPaO40。=-0.95MPat⁴0

。=-0.26MPa尺

寸示

于

图

中

.

试

绘

出

截

面C

上a,b出

这

两

点

处

的

主

应

力

.例题8

两

端

简

支

的

焊

接

工

字

钢

梁

及

其

荷

载

如

图

所

示

，

梁

的

横

截

面两点处的应力圆，并用应力圆求解：(1)首先计算支反力，并作出梁的剪力图和弯矩图Fsmax=Fc

左=200

kNMmax

=Mc=80

kN-m200kN50kN=88×10⁶mmya=135mm以DD

'为直径作应力圆A₁A₂两点的横坐标分别代表a

点的两个主应力σ和σσ₁=OA₁=150MPaσ₂=OA₂=-27MPaA₁点对应于单元体上a

所在的主平面2a₀=-45°α₀=-22.5°(3)做应力圆o=122.5MPa,r=64.6MPa

G=0,ryx=-64.6MPa由σ

,y

定出D点

由σ,rx

定出D'点σ₁=150MPa

σ₂=0

σ₃=-27MPaα₀=-22.5°(

4

)

横

截

面C

上b

点

的

应

力y=150mmtp=0b点

的

单

元

体

如

图

所

示O

Gqbb

点的三个主应力为σ₁=136.5MPa,σ₂=σ3=0o₁

所在的主平面就是x

平面，即梁的横截面C例题9

单元体的应力如图所示，作应力圆，并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。解：该单元体有一个已知主应力σ=20MPa因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力o无关，依据x

截面和y

截面上的应力画出应力圆.求另外两个主应力σx=40MPaTxy=-20MPa由σ

,ry

定出D

点σy=-20MPaTyx=20MPa由

σ

,xy

定出D'点以DD'为直径作应力圆A₁A₂两点的横坐标分别代表另外两个主应力σ,和σ₂σ₁=46MPa

σ₃=-26MPa该单元体的三个主应力σ₁=46MPaσ₂=20MPaσ₃=-26MPa力圆根据上述主应力，作出三个应tmax=36MPa例

题

1

0

边

长α

=

0

.

1m

的铜立方块，无间隙地放入体积较大，变形可略去不计的钢凹槽中，如图所示

.

已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比μ=0.34,当受到F=300kN

的均布压力作用时，求该铜块的主=-30MPa铜

块

受

力

如图

所

示变

形

条

件

为应力，体积应变以及最大切应力

.解：铜块横截面上的压应力Z,例题11

一直径d=20mm

的实心圆轴，在轴的的两端加扭矩M=12

6N-m.

在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成-45°方向的应变

s=5.0×10-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量G.例题12

壁厚δ=10mm,

外径D=60mm

的薄壁圆筒，在表面上K点与其轴线成45°和135°角，即x,y

两方向分别贴上应变片，然后在

圆筒两端作用矩为M。的扭转力偶，如图所示，已知圆筒材料的弹性

常数为E=200GPa

和μ=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内，且Tmax

=100MPa,

试求K

点处的线应变。,S,以及变形后的筒壁厚度.解：从圆筒表面K

点处取出单元体，其各面上的应力分量如图

所示可求得Gy=σ₁=Tmax

=

80MPaσx=σ₃=-tmaxσz=0=-80MPa圆筒表面上K

点处沿径向(z轴)的应变和圆筒中任一点

(该点到圆筒横

截

面中心的

距离

为p)处的径向应变为因

此

，

该

圆

筒

变

形

后

的

厚

度

并

无

变

化

，

仍

然

为δ

=

1

0mm.(压

应

变

)(拉应变)K点处的线应变ξ,s

为E₁=-E=5.2×10-例题13

已知矩形外伸梁受力F₁

,F²

作用.弹性模量E=200GPa,泊松比μ=0.3,F₁=100KN,F₂=100KN.求：(1)A

点处的主应变s,62,6(2)A

点处

的线

应

变

k,5,z(

拉

伸

)(负

)(1)

A

点处的主应变e,

62,解：梁为拉伸与弯曲的组合变形.A

点有拉伸引起的正应力和弯曲

引起的切应力。

o1=41.4

O₂O³=—21.4(2)A

点处的

线

应

变6,5

,σx=20

Gy=σ=0例题14

简支梁由18号工字钢制成.其上作用有力F=15kN,

已知

E=200GPa,μ=0.3.求：A

点沿0°,45°,90°方向的线应变

Eos>≠4ss>∈go°Fy₄,J₂,d

查表得出Sz₄

为图示面积对中性轴z的静矩σ=σA=50.8σ9o=σy=0解：4s=2+

2cos90°-r:sin90°=94.2MPa;50

2+2

cos270°-r,sin270°=-43.3MPaT(a)

(b)例题15

一蒸汽锅炉承受最大压强为p,圆筒部分的内径为D,厚度为8且

δ远小于D.试

用

第

四

强

度

理

论

校

核

圆

筒

部

分

内

壁

的

强

度

。

已知p=3.6MPa,δ=10mm,D=1m,[o]=160MPa.=155MPa<[σ]所以

圆

筒内

壁

的

强

度

合

适

.内

壁的

强

度

校

核σ₁=σ”=180MPaσ2=σ”=90MPa用

第四

强

度

理

论

校

核圆

筒内

壁

的

强

度碳

钢

类

塑

性

材

料

在

纯

剪

切

应

力

状

态

下的[z].解：纯剪切应力状态下C₁=r,O₂=0,O₃=-r按第三强度理论得强度条件为

：σ₁-σ₃=r-(-t)=2r≤[o]另

一

方面，剪切的强度条件是：

t≤[t]例

题1

6

根

据

强

度

理

论

，

可以

从

材

料

在

单

轴

拉

伸

时

的[o]

可

推

知

低所

以

[x]=0.5

[o][o]

为

材

料

在单向

拉

伸时的

许

用

拉

应

力

.材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为[x].按第

三

强

度

理

论得

到

：按

第四强度理论得到

：按第四强

度

理

论

得

强

度

条

件

为

：[x]=0.5[x]≈0.6[o][o]例

题

1

7

对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第四强度理

论

求

相

当

应

力

.70MPa(d)(c)解

：

(

1)

单

元

体

(a)G₁=0σ₂=σ₃=-120MPaσr₃=G₁-σ₃=0-(-120)=120MPa(2)

单

元

体

(b)σ₁=140MPa

σ₂=110MPaσ₃=0σr₃=σ1-G₃=140MPa(

3

)

单

元

体

(c)σ₁=80MPaσ₂=-70MPa

σ₃=-140MPaσr₃=220MPa

Gr4=195MPa(

4

)

单

元

体

(d)140

MPa30MPaσ₁=94.72MPaσ₃=5.28MPaσr₃=89.44MPaσ₂=σz=50MPaσr₄=77.5MPa(c)80MPa70MPa70MPa50MPa例

题

1

8

直径为d=0.1m的

圆

杆

受

力

如

图

，M=7kN-m,F=50kN,

材料为铸铁，[o]=40MPa,试用第

一

强度理论校核杆的强度。解：危险点A的

应

力

状

态

如

图σ₁=39MPa,σ₂=0,σ₃=-32MPa

O₁<[o]故

安

全

.A①FT例

题

1

9

薄壁圆筒受最大内压时，测得=1.88×10⁴,ξ=7.37×104,已

知

钢的E=210GPa,[o]=170MPa,泊松比μ=0.3,试用第三强度理论校y-X解：由广义胡克定律核其强度。主应力

σ₁=183.1MPa,

σ₂=94.4MPa,相当应力σr₃=G₁-σ₃=183.1MPa>[σ]1-03(737+0.3×1.88)×10⁷=183.1MPa所以，此容器不满足第三强度理论，不安全。G₃=0例题20

两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示已知其材料Q235

钢的许用应力为[o]=170MPa,[z]=100MPa.

试按强度条件选择

工字钢的型号.解：作钢梁的内力图.C,D

为危险截面(1)按正应力强度条件选择

截面取

C

截面计算Fsc

左

=Fsmax=200kNMc=Mmax=84kN-m十选用28a工字钢，其截面的W=508cm³200kN84kN-mM

图Fs

图(2)按切应力强度条件进行校核对于28a

工字钢的截面，查表得I₂=7114×10-⁸m⁴d=0.85×10-²m选用28a

工字典钢能满足切应力的强度要求.最大切应力为(3)腹板与翼缘交界处的的强度校核取

A

点

分

析A

点的应力状态如图所示=223×10-⁶m³(+)若

选

用

2

8b号工字钢，算得σ₄=173

.

2

MPa,比[o]

大

1

.

8

8

%

可

选用

2

8b

号

工

字

钢

.由

于

材

料

是

Q235

钢，所以在平面应力状态下，应按第四强度理

论

来

进

行

强

度

校

核

.应另选较大的工字钢。A点的

三

个

主

应

力

为σ₂=0解

：

(1)

分

析AB

的

受

力

情

况ZMᴀ=0

Fsin

30°×2.4-1.2F=0FNc=FZF=0

FR₄x

=0.866FZF,=0FR=0.5FAB

杆

为

平

面

弯曲

与

轴向

压

缩

组

合

变

形中

间

截

面

为

危

险

截

面

.

最

大

压

应

力发

生

在

该

截

面的

上

边

缘第九章：组合变形例

题1

悬臂吊车如图所示，横梁用20a

工

字

钢

制

成

.

其

抗

弯

刚

度W,≤

=237cm³,横

截

面

面

积A=35.5cm²,总荷载F=34kN,横

梁

材

料

的

许用应力

为[o]=125MPa.校

核

横

梁AB

的

强

度

。(3)

最大弯曲正应力(4)危险点的应力(2)

压缩正应力例

题

2

小型压力机的铸铁框架如图所示

.

已知材料的许用拉应力

[]=30MPa,

许

用

压

应

力[o]=160MPa.

试按立柱的强度确定压力机的许可压力F。解

：

(

1

)

确

定

形

心

位

置

A=15×10-3m2

zo=7.5

cm计

算

截

面

对

中

性

轴y

的

惯

性

矩

I₇=5310cm⁴(2)

分

析

立

柱

横

截

面

上

的

内

力

和

应

力在

n-n

截面上有轴力F

及弯矩M,FN=FM,=[(35+7.5)×10-²1F=42.5×10-²F由

轴

力F产生的拉伸正应力为由弯矩M₂产生的最大弯曲正应力为(

3

)

叠

加

在

截

面

内

侧

有

最

大

拉

应

力→

[F]≤45.1kN[F]≤171.3

kN所

以

取

[F]≤45.1

kN在截面外侧有最大压应力例

题

3

正方形截面立柱的中间处开

一

个槽，使截面面积为原来截面面积的

一

半

.

求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几FF倍

.a

ad

a开

槽

后

1

-

1

是

危

险

截

面危

险

截

面

为

偏

心

压

缩

将

力F

向

1

-

1

形

心

简

化解：

未

开

槽

前

立

柱

为

轴向

压

缩例题4

矩形截面柱如图所示，F₁

的作用线与杆轴线重合，F²

作用

在y

轴上.已知：F₁=F₂=80kN,b=24cm,h=30cm.如要使柱的m-m

截

面只出现压应力，求F²的偏心距e.y轴向压力

F=F₁+F₂力偶矩

M₂=F₂·e(2)m-m

横

截

面

上

的

内

力

有轴力

F=F₁+F₂弯矩

M₂=F₂·e解

：(1)外力分析将力F₂

向截面形心简化后，

梁上的外力有轴力产生压应力，弯矩产生的最大正应力(

3

)

依

题

的

要

求

，

整

个

截

面

只

有

压

应

力得例

5

求圆

形

截

面的

截

面

核

心解

：(1

)

作

切

线□

为中

性

轴，

在

两

个

形心

主

惯

性

轴

上的

截

距

分

别

为(2)

由于圆截面对于

圆心O

是对称的，因而，截面核心的边界对

于

圆

也

应

是

对

称

的

，

从

而

可

知

，

截

面

核

心

边

界

是

一

个以O为圆

心

，以d/8

为

半

径的圆例

6

求

矩

形

截

面

的

截

面

核

心解

：

作

切

线

□

为

中

性

轴

，

得

两

截

距

分

别

为矩

形

截

面

的y可求得对应的核心边界上点的坐标依次：

(0,

,0)(3)矩形截面核心形状分析直线口绕顶点B旋转到直线口时，将得到一系列通过B点但斜

率不同的中性轴，而B

点坐标

yg,z是这一系列中性轴上所共有的

.(2)同理，分别作切线□、

□、

□

,上式

可以

看

作是

表

示

外

力

作

用

点

坐

标间

关

系的

直

线

方

程

.故外

力

作

用

点

移

动的

轨

迹

是

直

线

。这些中性

轴

方

程

为例题7

空心圆杆AB

和CD

杆焊接成整体结构，受力如图.AB

杆的外

径D=140mm,

内外径之比α=d/D=0.8,材料的许用应力[o]=160MPa.

试用第三强度理论校核AB

杆的强度解：(1)外力分析

10kN将力向AB

杆的B

截面形心简化得F=25kNM₆=15×1.4-10×0.6=15kN·mAB杆为扭转和平面弯曲的组合变形(2)内力分析一画扭矩图和弯矩图固定端截面为危险截面T

=15kN·mMmax=20kN·m20kN·m15kN·m带

轮

直

径D=300mm,

皮带轮紧边拉力为F₁,

松

边

拉

力

为F₂

.且F₁=2F₂

,I=200mm,轴

的

许

用

应

力[o]=160MPa.试用第三强度理论设计轴的直径解：将力向轴的形心简化例

题

8

传动轴如图所示

.

在A处作用

一

个外力偶矩M

。=1kN·m,

皮轴产生扭转和垂直纵向对

称面内的平面弯曲=20kNF中间截面为危险截面T

=1kN·mMmax

=1kN·md≥44.83mmT=1kN·m例题9

图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮C

上作用有铅垂切向力5

kN,径向力1.82

kN;

齿轮D

上作用有水平切向力10

kN,

径向力3.64

kN.齿轮

C

的节圆直径d₁=400

mm,齿轮D

的节圆直径d₂=200mm.

设许用应力[o]=100

MPa,试按第四强度理论求轴的直径

.(2)轴的变形分析5kN,3.64kN

使轴在xz

纵对称面内产生弯曲1.82kN,10kN

使轴在xy纵对称面内产生弯曲1kN-m使轴产生扭转y解：(1)外力的简化将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化3.64kN1kN·mBD

X5kN1kN·mCZA1.82kN10kN,(3)绘制轴的内力图Myc=0.57kN·mMg=0.36kN·mM₂c=0.227kN·mM₂=1kN·mT=1kN-m圆杆发生的是斜弯曲与扭

转的组合变形由于通过圆轴轴线的任一

平面都是纵向对称平面，故轴在

xz

和xy两平面内弯曲的合成结

果仍为平面弯曲，从而可用总弯

矩来计算该截面正应力1

T

图M,

图(4)危险截面上的内力计算Myc=0.57kN·mM₂c=0.227kN·mMyg=0.36kN·m

M₂g=1kN·mB和C截面的总弯矩为Mc=√M3c+M²=0.36kN·m

Tg=Tc=1kN·mB

截面是危险截面1kN-MT图M₂

图C0.36kN

·

mM₂

图(5)由强度条件求轴的直径轴需要的直径为例题10

F₁=0.5kN,F₂=1kN,[o]=160MPa。(1)用第三强度理论计算AB

的直径(2)

若AB

杆

的

直

径d=40mm,

并

在B

端

加

一

水

平

力F₃=20kN,校核AB杆的强度.解：将F₂

向AB

杆的轴线简化得F₂=1kNM₀=0.4kN·mAB为弯扭组合变形固定端截面是危险截面Mmax

=0.8F₁+0.4F₂=0.8kN·md

=38.5mmTmax=0.4kN·m(

2

)

在B

端

加

拉

力F₃AB为弯，扭与拉伸组合变形固定端截面是危险截面Mmax=0.8F₁+0.4F₂=0.8kN·mTmax

=0.4kN·mFN=F₃=20kN由

第

三

强

度

理

论σ₃=√o²+4r²=157MPa≤[o]固

定

端

截

面

最

大

的

正

应

力

为最

大

切

应

力

为第九章：

组合变形2.其它支座条件下的欧拉公式(Euler's

Formula

forOtherEndl—

相当长度μ—长度因数欧拉公式

一Conditions)支承情况临

界

力

的

欧

拉

公

式长

度

因

数

μ两端铰支L=1一

端

固

定

，

另

一

端

铰

支μ=0.7两

端

固

定μ=0.5一

端

固

定

，

另

一

端

自

由μ=2表9-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式欧拉公式的统一形式(General

Euler

Buckling

Load

Formula)(μ为压杆的长度因数)例题1

已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状

为工字钢形，惯性矩I₂=6.5×10⁴mm⁴,I,=3.8×10⁴mm⁴,

弹性模量E=210GPa.试计算临界力F分析思路：(1)杆件在两个方向的约束情况不同；(2)计算出两个临界压力.最后取小的一个作为压杆

的临界压力.yxOz面：约束情况为两端固定μ=0.5,I=I,l=0.88m=406.4kN所以连杆的临界压力为134.6kN.解：xOy面：约束情况为两端铰支μ=1,I=I₂,l=1m=134.6kN

Z易ZZ.1000880X例题2图示各杆均为圆形截面细长压杆.已知各杆的材料及直径相等.问哪个杆先失稳?d解

：

杆A

μ=2

μl

=2a杆B

μ=1

μl=1.3a杆C

μ=0.7l=0.7×1.6a=1.12aA

杆

先

失

稳

.d例题3

压杆截面如图所示.两端为柱形铰链约束，若绕y

轴失

稳可视为两端固定，若绕z

轴失稳可视为两端铰支.已知，杆长l=1m,材料的弹性模量E=200GPa,op=200MPa.求压杆的临界应力.解

：因为λ>λ,所以压杆绕

z

轴先失稳，且λ=115>a,用欧拉公式计算临界力.μy=0.5

L₇=1例题3

外

径D=50mm,

内

径d=40

mm

的

钢

管

，

两

端

铰

支

，材料为

Q235

钢，承受轴向压力F.试求(1)能用欧拉公式时压杆的最小长度；(2)当压杆长度为上述最小长度的3/4时，压杆的临界应力.已知：

E=200GPa,σ,=200MPa,σ=240MPa,用直线

公

式

时

，a=304

MPa,

b=1.12

MPa.解：

(1)能用欧拉公式时压杆的最小长度压

杆

μ

=

1(

2

)

当l=3/4lmm

时

，Fc=?用

直

线

公

式

计

算(1)计算最大的柔度系数Amax;(

2

)

根

据λnax选择公式计算临界应力；(3)根据

稳定

性

条

件，判断

压

杆的稳定

性

或

确

定

许

可

载

荷.§9

-

5压杆的稳定校核(Check

the

stability

of

columns)1.

稳定性

条

件(The

stability

condition)2.计

算

步

骤(Calculationprocedure)例题4

活

塞

杆由

45

号

钢

制

成，

σ

=

3

5

0MPa,σp=280MPaE=210GPa.长

度l=703mm,

直径d=45mm.最大

压

力Fmax=41.6kN.

规定稳定安全系数为ns=8-10.试校核其稳定性

.活塞

杆

两

端

简

化

成

铰

支截面为圆形不能

用

欧

拉

公

式

计

算临

界

压

力

.解

：μ=1可由直

线公

式

计

算

临

界

应

力

.σc=a-bλ=301MPaF=0·A=478MPa如

用

直线

公

式，需

查

表

得

：a=461MPab=2.568MPaλ₂

<λ<λ₁临界压力

是所以满

足

稳

定

性

要

求

。活塞的

工

作安

全因

数例题5油缸活塞直经D=65mm,

油

压

p=1.2MPa.活塞杆长度l=1250mm,

材料为35钢，σ,=220MPa,E=210GPa,[nst]=6.试确定活塞杆的直经.D活塞活塞杆d活塞杆Dd活塞活塞杆承受的临界压力应为F=ns·F=23900N把活塞的两端简化为铰支座。解：活塞杆承受的轴向压力应为(1)

先由欧拉

：求

得d=24.6mm.

取

d=25mm(2

)用

求

得

直

径

计

算

活

塞

杆

柔

度由

于

λ

>a,

所以前面

用欧

拉

公

式

进

行

试

算

是

正

确的

.用

试算

法

求

直

径例题6

AB的直径d=40mm,长

l=800mm,两端可视为铰支。材

料为Q235

钢，弹性模量E=200GPa.比例极限σp=200MPa,屈

服极限

o=240MPa,

由AB杆的稳定条件求[F].(若用直线式a

=304

MPa,

b=1.12MPa)解：取

BC

研究ZMc=00.9F-Fsina·0.6=0Fv=2.27Fλ₂

<λ<λ₁用

直线公

式σr=a-bλ=214MPaF=A·σ=268kN=[FN][F]=118kN不能

用欧

拉

公

式Fy=2.27F第十

二

章：交变