教案一元二次方程的解集及其根与系数的关系

6/6一元二次方程的解集及其根与系数的关系【教材分析】本节内容结合初三学过的一元二次方程，三角形相似，勾股定理，必修一集合的知识，让学生通过古代数学语言，体会数学在实际生活中的应用，了解近年来高考的语境。【教学目标】1．掌握一元二次方程一般式解集的方法．2．掌握一元二次方程根与系数的关系．3．会用整体代入法解一元二次方程．4．学会用配方法推出一元二次方程的解集．5．灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题．【核心素养】1．数学抽象：学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。2．逻辑推理：由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其过程。3．数学建模：在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模型，计算结果，检验结果实际性。4．数学运算：掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方法。5．数据分析：对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得出简捷运算方法。【教学重难点】教学重点1．掌握用配方法，整体代入法解一元二次方程．2．用根与系数的关系解题．3．实际情景问题中构建一元二次方程模型．教学难点1．用整体代入法解一元二次方程．2．灵活运用根与系数的关系，基础恒等式解决问题．【课前准备】回顾初中所学的一元二次方程，三角形相似，勾股定理等知识。【教学过程】一、一元二次方程的解集情境与问题我们知道，形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0．从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？尝试与发现你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明．你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明．不难知道，如果一个一元二次方程可以化为x2=t的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集①是容易获得的．（①如不特别声明，本书中所说的一元二次方程的解均指的是实数解，下同。）例如，方程x2=3的解集为{一，}，方程x2=0的解集为{0}，方程x2=-2的解集为∅．一般地，方程x2=t：当t>0时，解集为{，-}；（2）当t=0时，解集为{0}；（3）当t<0时，解集为∅．更进一步，形如（x-k）2=t（其中k，t是常数）的一元二次方程的解集也容易得到．例如，由（x-1）2=2可知x-1=﹣或x-1=，从而x=1-或x=1+，因此解集为{1-，1+}．一般地，方程（x-k）2=t：当t>0时，解集为________；当t=0时，解集为________；当t<0时，解集为________．因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为（x-k）2=t的形式，就可得到方程的解集．尝试与发现怎样将怎样将x2+2x+3=0化为（x-k）2=t的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集．我们知道，利用配方法可得x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2因此x2+2x+3=0可以化为（x+1）2=﹣2，从而解集为∅．事实上，利用配方法，总是可以将ax2+bx+c=0（a≠0）化为（x-k）2=t的形式。过程如下：因为a≠0，所以一般地，Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式．由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。前述情境与问题中的方程可以化为（x+17）2=71289，从而可解得x=250或x=-284（舍）．典型例题例1：求方程的解集．分析：这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程．解：设=y，则y≥0，且原方程可变为因此可知y=1+或y=1-（舍）从而=1+，即x=3+2，所以原方程的解为{3+2}．二、一元二次方程根与系数的关系我们知道，当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解集不是空集时，这个方程的解可以记为①①当Δ=0时，x1=x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根．尝试与发现这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系．典型例题例2：已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）|x1-x2|．尝试与发现解：如下图所示：【教学反思】本节内容新引用了“整体代入法”数学思想，也有一元二次方程常考的“分类讨论”思想，对学生的运算能力有一定的要求。小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。在学生阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。如何培养中学生的自主学习能力？01学习内容的自主性1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。2、有一个关于以后的人生设想。3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。6、会针对自己的弱项设定学习目标。7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。10、自己不感兴趣的学科也好好学。11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。02时间管理13、常常为自己制定学习计划。14、为准备考试，会制定一个详细的计划。15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。16、常自己寻找没有干扰的地方学习。17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。19、作业总是在自己规定的时间内完成。20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。03学习策略21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。27、常寻找同一道题的几种解法。28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。30、常对学过的知识进行分类、比较。31、常回忆当天学过的东西。32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。34、注意学习别人的解题方法。35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。36、留意别人好的学习方法，学来用用。37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。04学习过程的自主性39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。40、在学习时很少烦躁不安。41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。44、解决问题时，要检验每一步的合理性。45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。05学习结果的评价与强化46、做完作业后，自己认真检查一遍。47、常让同学提问自己学过的知识。48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。49、常常对一天的学习内容进行回顾。50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。53、如果因贪玩而