9.1 单因素方差分析

概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第九章方差分析第一节单因素方差分析二、单因素方差分析的数学模型四、单因素方差分析表一、单因素方差分析的基本原理三、离差平方和及自由度的分解五、小结孩子编号甲乙丙丁11701701651582175163171156317716716716441801651721615182174160168表9.1四个家庭的成年孩子的身高（单位：cm）例9.1.1考察甲、乙、丙、丁四个家庭的孩子的身高，已知每个家庭均有5个成年的孩子，其身高数据如表9.1所列．试分析不同家庭的成年孩子的身高有无显著差别．家庭称为因素（或因子），成年孩子的身高称为试验指标．用表示家庭因素，则有四个水平：甲、乙、丙和丁，也可用表示因素的第个水平所对应的5个成年孩子的身高是来自同一个总体的样本，这里就有4个总体和4个独立的样本，通常假定这些总体服从方差相同的正态分布记分别表示4个总体的总体均值，不全相等则分析不同家庭的成年孩子的身高有无显著差别就相当于作如下假设检验一、单因素方差分析的基本原理数据间的差异系统偏差(组间偏差)：来自不同总体样本数据之间的差异随机误差(组内偏差)：来自同一总体样本数据之间的差异同一个家庭的5个孩子的身高是不一样的，这种差异为随机误差；不同家庭的成年孩子的身高也是不一样的，这种差异为系统偏差．图9.1四个家庭的成年孩子身高的分组箱线图若原假设成立，所有孩子的身高应该处于同一水平，即图中总平均线高度，而实际上受家庭因素和其他随机因素影响，20个孩子的身高是不全相同的．一、单因素方差分析的基本原理第个家庭的第个孩子的身高

第个家庭的5个孩子的平均身高

所有孩子的总平均身高左端表示单个孩子的身高与总平均身高的差异，可理解为单个样本数据的总离差．右端被拆分为两项，其中第一项为组内偏差，第二项为组间偏差．一、单因素方差分析的基本原理一、单因素方差分析的基本原理总离差平方和组间离差平方和:系统因素所造成的离差平方和组内离差平方和:随机因素所造成的离差平方和单因素方差分析就是将样本数据的总离差平方和分解为组间离差平方和与组内离差平方和，然后根据这两个平方和构造检验统计量，推导统计量所服从的分布，最后确定检验的拒绝域．二、单因素方差分析的数学模型设因素有个水平，对应试验指标的个总体，记为，它们的分布为令二、单因素方差分析的数学模型组别样本样本均值样本方差表9.2个总体的样本二、单因素方差分析的数学模型单因素方差分析的数学模型为

其中（Independentidenticallydistributed）表示独立同分布．欲检验因素对试验指标有无显著影响，相当于检验 不全相等二、单因素方差分析的数学模型令单因素方差分析的数学模型可改写为式等价于不全为二、单因素方差分析的数学模型表示由因素的第个水平所造成的偏离总均值的增量，称为因素的第个水平的效应，可以看作对总平均的“贡献”大小．若，称的效应为正，若，称的效应为负．三、离差平方和及自由度的分解由(9.5)令用作为的估计，作为的估计，作为的估计，作为的估计，则式(9.5)变为三、离差平方和及自由度的分解记为样本数据的总离差平方和，即

结合上述分解,有三、离差平方和及自由度的分解由于所以

三、离差平方和及自由度的分解其中

可以看出为因素所造成的离差平方和，称为组间离差平方和，

为随机因素所造成的离差平方和称为组内离差平方和．定理9.1.1在以上记号下，对于模型式(9.5)，有以下结论成立．(1)

,且与相互独立(2)原假设成立时,三、离差平方和及自由度的分解三、离差平方和及自由度的分解构造检验统计量

由定理9.1.1可知，当原假设成立时，其中称为组间均离差平方和，

为组内均方离差平方和.三、离差平方和及自由度的分解当统计量的观测值大于某个临界值时，应拒绝原假设,所以对于给定的显著性水平,检验的拒绝域为其中为分布的上侧分位数.四、单因素方差分析表当时，应拒绝原假设，认为因素对试验指标有显著影响．四、单因素方差分析表可将临界值换成检验的值，其定义为当时，应拒绝原假设，认为因素对试验指标有显著影响，并且值越小，显著性越强当时，应接受原假设，认为因素对试验指标无显著影响当，亦即时，为慎重起见，可增加样本容量，重新进行抽样检验．对于给定的显著性水平，四、单因素方差分析表例9.1.2考察甲、乙、丙、丁四个家庭的孩子的身高，已知每个家庭均有5个成年的孩子，其身高数据如表9.1所列．试分析不同家庭的成年孩子的身高有无显著差别．（取显著性水平）解利用表9.1中数据，计算得

、

和

的自由度分别为3、16和19，从而可得各均方分别为四、单因素方差分析表计算得于是可得单因素方差分析表如下：四、单因素方差分析表由方差分析表可知