专题08平面向量与复数(原卷版)

专题08平面向量与复数目录一常规题型方法1题型一平面向量的基本概念1题型二平面向量的线性运算2题型三平面向量的坐标运算4题型四平面向量数量积6题型五复数的概念与运算7题型六复数的几何意义9二针对性巩固练习10练习一平面向量的基本概念10练习二平面向量的线性运算11练习三平面向量的坐标运算11练习四平面向量数量积12练习五复数的概念与运算13练习六复数的几何意义13常规题型方法题型一平面向量的基本概念【典例分析】典例1-1．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属高一期末）给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若与同向，且，则>；④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．其中假命题的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4典例1-2．（2022·陕西·渭南高级高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则存在唯一实数使得C．若，，则D．与非零向量共线的单位向量为【方法技巧总结】1.类型：向量概念、向量的模、零向量与单位向量、向量相等、向量平行（共线）2.技巧：向量不可以比较大小，零向量的方向是任意的，单位向量长度为1，向量平行也称向量共线。【变式训练】1．（2022·安徽·高三阶段练习）下列说法正确的有（

）A．若向量，，则B．若向量，则向量、的夹角为锐角C．向量，，是三个非零向量，若，则D．向量，是两个非零向量，若，则2．（2022·河北·高碑店市崇德实验高三阶段练习）与向量共线的单位向量是（

）A． B． C． D．(0，1)题型二平面向量的线性运算【典例分析】典例2-1．（2022·广东·饶平县第二高一阶段练习）如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（

）A．B．C． D．典例2-2．（江西省西路片七校2023届高三上学期第一次联考数学（文）试题）已知四边形是以和为底边的梯形，（），，（，是平面内两个非零且不共线向量），则（

）A． B． C． D．6典例2-3．（2022·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心典例2-4．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．2【方法技巧总结】1.类型：基底、向量共线定理、“四心”问题。2.技巧：将所求向量分解为一组不共线的基底向量是常见的向量两大方法之一，向量共线定理要注意系数的几何意义，四心问题要记好常见的一些结论，如下：=1\*GB3①重心⇔PA+PB+PC=0；=2\*GB3②内心⇔aPA+bPB+cPC=0；=4\*GB3④垂心PA⋅PB=PB⋅PC【变式训练】1．（2022·山东德州·高三期中）设为所在平面内一点,,则（

）A． B．C． D．2．（2022·河南·郑州市第一〇六高级高二阶段练习）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2007·天津·高考真题（文））O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心4．（2022·安徽·高二开学考试）如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边分别相交于点，若，则（

）A． B． C． D．题型三平面向量的坐标运算【典例分析】典例3-1．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知，，，若，则（

）A． B． C． D．典例3-2．（山西省运城市2023届高三上学期期中数学试题）已知向量，且，则a-b=（

A．5 B． C． D．典例3-3．（2007·福建·高考真题（理））已知，点C在内，且.设，则等于（

）A． B．3 C． D．【方法技巧总结】1.技巧：熟练掌握公式及其应用；并在一些规则图形中可以使用建立直角坐标系的方法把问题用坐标运算解决，这也是向量的两大方法之一。2.注意：给出两点坐标也可以求两点所成向量，坐标是后减前。根据钝角锐角使用夹角公式求参数范围，需注意平角和零角的特殊情况。【变式训练】1．（2022·陕西·咸阳市高新高二期中（理））已知平面向量，若，则实数x的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2021·陕西·无高二期中（理））已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在边长为3的正方形ABCD中，E是BC上靠近B点的三等分点，则（

）A．3 B．－3 C．－4 D．4题型四平面向量的数量积【典例分析】典例4-1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（

）A． B． C． D．典例4-2．（2022·山西忻州·高三阶段练习）已知平面向量与的夹角为，若，，则（

）A．2 B．3 C． D．4典例4-3．（2022·湖北·宜都高三期中）如图，在平行四边形中，，点E是的中点，点F满足，且，则（

）A．9 B． C． D．典例4-4．（2022·上海市嘉定区第一高二期中）已知，则在方向上的投影为（

）A． B． C．4 D．8【方法技巧总结】1.公式：数量积公式、夹角公式、投影公式2.技巧：不管是题干还是问题，出现向量的绝对值（绝对值里不是单独的一个向量）都需要进行平方。投影公式要注意还有一个推式适用于不知道夹角的情况。【变式训练】1．（2022·河南·郑州市第一〇六高级高二阶段练习）已知空间向量满足，，，，则=（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏南京·模拟预测）已知，为单位向量.若，则（

）A．2 B． C．4 D．3．（2022·福建·泉州高三期中）已知在△ABC中，，，，，P在CD上，，则的值为（

）A． B． C．4 D．64．（2022·天津河西·高三期中）已知点，，，，则向量在方向上的投影向量的长度为（

）A． B． C． D．题型五复数的概念与运算【典例分析】典例5-1．（河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学（文）试题）已知复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（

）A． B．26 C． D．13典例5-2．（辽宁省名校联盟2022-2023学年高三上学期11月份联合考试数学试题）已知复数，若是纯虚数，则实数的值为（

）A．2 B． C． D．典例5-3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴高三期中（理））若复数，则（

）A．1 B． C． D．3【方法技巧总结】1.类型：复数的概念、复数的分类、复数相等。2.技巧：要注意所有复数都需要整理成标准的复数形式才可以做题，复数的不同分类下对应的限制要记牢。【变式训练】1．（2022·湖北·沙市高二阶段练习）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．22．（2022·贵州·六盘水市第二高一阶段练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，且为纯虚数，则实数（

）A． B． C． D．3．（2022·宁夏·平罗高三期中（理））已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（

）A．4 B．2 C．0 D．题型六复数的几何意义【典例分析】典例6-1．（辽宁省六校协作体2022-2023学年高二上学期期中数学试题）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限典例6-2．（2022·河南省淮阳模拟（理））已知，其中为虚数单位，则（

）A．16 B．17 C．26 D．28典例6-3．（广东省韶关市2023届高三上学期综合测试（一）数学试题）若，，是的共轭复数，则（

）A． B．2 C． D．10典例6-4．（云南师范大学附中（贵州版）2023届高三上学期月考（五）数学（理）试题）已知复数z满足：，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【方法技巧总结】1.类型：复平面、共轭复数、复数的模2.技巧：对于无法根据题干等式来整理出复数的情况，可以使用待定系数法，结合复数相等求出参数；对于复数模最值问题需结合轨迹方程来处理。【变式训练】1．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·广东·河源市河源高三阶段练习）设是虚数单位，，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．3．（2022·全国·高一课时练习）在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（

）A． B． C．2 D．4．（2022·湖北·高二期中）已知复数z满足，则的最大值是（

）A． B． C．2 D．针对性巩固练习练习一平面向量的基本概念1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上2．（2022·湖北·高二期中）下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向 B．若，则C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同练习二平面向量的线性运算3．（2022·四川·蓬溪绿然高三阶段练习（文））如图，在中，，，若，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·广东·高三学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线5．（2022·山西太原·高三期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（

）A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心6．（2022·湖南衡阳·高一期末）在中，，，AD，BC交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（

）A． B． C． D．练习三平面向量的坐标运算7．（2022·福建·永安市第九高三期中）已知向量，，若∥，则实数的值为（

）A． B． C． D．8．（2022·重庆·高三阶段练习）已知向量，b=2,1，，则实数（

）A． B． C． D．9．（2022·甘肃·天水市第一高二阶段练习）如图，在正方形网格中，向量，满足，则AB-AD+BC=（

A．-3a-12b B．-练习四平面向量的数量积10．（2022·山东·青岛高二阶段练习）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．11．（2022·湖北·高三阶段练习）已知向量、满足，，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．812．（2022·安徽·六安高三阶段练习）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（

）A． B． C．1 D．213．（2022·江西赣州·高三期中（文））已知向量，满足a+b=a-3b，其中是单位向量，则在方向上的投影为（A．1 B． C． D．练习五复数的概念与运算14．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．15．（2022·云南玉溪·高一期末）已知复数与都是纯虚数，则（

）A． B． C． D．16．（2022·青海玉树·高二期末（理））若，其中，则（）A．3