种群增长模型

楚雄师范学院首届“雁峰杯”数学建模竞赛论文题目种群增加规律模型

队员姓名系别专业班级1陈志明数学系数学与应用数学级2班2阮秀婷数学系数学与应用数学级1班3刘大成数学系数学与应用数学级1班

年5月26日种群增加规律模型摘要：某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称种群）生存时，人们惯用Logistic模型来描述这个种群数量的演变过程。并且一种种群就不存在互相竞争、互相依存或是弱肉强食的关系。本文在Logistic模型基础上，根据种群数量的统计数据，建立种群指数增加模型，并运用Matlab这一数学软件对所统计的数据进行拟合，最后对模型进行分析和评价。核心词：Logistic模型生物种群指数增加Matlab软件一、问题重述在某个地区生长着一种种群（一类生物群落），重要依靠自然资源存活并繁殖，假设该种群单位时间的增加量与其数量成正比。一种动物学家在对该种群进行了追踪研究，每月观察一次，并通过科学的办法获得了以下数据日期1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月种群数量（只）26324048597389108133163日期11月12月种群数量（只）198242请通过一定的简化假设建立该种群增加的数学模型，并预测3月该种群的数量。假设该地区最多只能容纳该种群只，请计算出该种群达成最大容量的大概时间。二、问题分析种群的数量随时间变化而变化，根据统计数据绘出曲线图如图1。图表SEQ图表\*ARABIC1种群数量的动态变化由图表1所绘曲线图可知种群的数量变化趋势大致成指数曲线增加，类似于其它生物种群数量的动态变化趋势。对于生物种群的这种指数曲线的动态变化趋势，往往用Logistic模型来描述，并且根据种群的统计数据运用Matlab软件解决。运用所得的模型对以往种群的数量进行推算预测，可检查模型的精确度，方便对模型进行改善。三、模型假设1、假设环境环境条件允许生物种群数量有一种最大值，即环境容纳量N，当种群数量达成环境最大容纳量时，种群数量不再增加；2、种群数量的增加简朴运用固有增加率r来描述；3、种群中每个个体处在同一水平，在种群增加的过程中隔天到差别如年纪构造等个不予考虑；4、在所研究地区只考虑区域内部的种群数量，不考虑种群在区域间的迁入与迁出；5、种群总数是随时间持续变化的。四.符号阐明t:时间；：种群在t时的数量；r:种群的固有增加率；N：种群的最大数量；五.模型的建立与求解根据模型的假设，在最大容量为只，种群生长不受其它任何条件的限制，也就是说食物等能充足满足种群需求的状况下，种群就能充足发挥其增加能力，数量快速增加，呈现指数增加规律，也称为“J”型增加，这种增加变化的曲线如图表2所示图表SEQ图表\*ARABIC2种群数量散点图种群在有限环境中的增加不是“J”型，而是“S”型，但由于在较大的空间容量，以及不考虑其它因素的状况下，种群在有限环境中的增加也能够看做是“J”型增加，即符合“S”型增加曲线的logistic模型是同等的。对于logistic数学模型：（1）用分离变量法能够求解得：（2）为了能用最小二乘求拟合c和r的值，对（2）式进行变化得：（3）其中，假设即（3）式变为（4）计算出t、、的关系列表，方便用最小二乘求拟合c和r的值：时间（t）123456种群数量x(t)263240485973Y(t)75.92361.54940.66732.89826.397时间（t）789101112种群数量x(t)89108133163198242Y(t)21.47217.51914.03811.279.1017.264根据以上数据点，运用最小二乘求拟合，首先求解E（r,c）的最小值：E(r,c)=使用matlab中的fmins命令求解最小化E（r,c）后的r和c的近似值。在matlab中定义E（r,c）为一种M文献。functionz=E(u)r=u(1);c=u(2);z=(c.*exp(-r)-75.923).^2+(c.*exp(-2*r)-61.5).^2+(c.*exp(-3*r)-49).^2+(c.*exp(-4*r)-40.667).^2+(c.*exp(-5*r)-32.898).^2+(c.*exp(-6*r)-26.397).^2+(c.*exp(-7*r)-21.472).^2+(c.*exp(-8*r)-17.519).^2+(c.*exp(-9*r)-14.038).^2+(c.*exp(-10*r)-11.27).^2+(c.*exp(-11*r)-9.101).^2+(c.*exp(-12*r)-7.264).^2;使用fmins命令和初始值r=1.0和c=1.0，可得>>fmins('E',[1,1])ans=0.210893.6122即拟合后的r=0.2108,即拟合后的c=93.6122,故能够得到种群在t时刻的数量模型为：（5）为了验证我们最后计算式的精确性，我们采用对比的方式分别把前12个月的时间t带入到最后计算式（5）中，得到与实际值的比较。时间（t）计算值实际值两者差误差率1262600.00%2323200.00%339.440-0.6-1.50%448.4480.40.83%559.5590.50.85%672.973-0.1-0.14%789.3890.30.34%8109.11081.11.02%913313300.00%10161.7163-1.3-0.80%11195.9198-2.1-1.06%12246.42424.41.82%由表能够看出，12个月内的计算值和真实值之间的误差都在2%以内，阐明我们做的这个模型是比较精确的计算值值得接受。现在计算t=15，也就是3月的时候该种群的数量，代入（5）式计算得402.9，即预计该种群到了3月的时候种群的数量为403只。计算当的时候t的值，也就是该地区最多只能容纳该种群只的大概时间。代入（5）式计算得t=72，即到了12月的时候，该地区达成最大容量。为了更方便的研究该种群数量随时间变化的状况，我们计算得数量随时间t变化的统计表。时间（t）1月2月3月4月5月6月种群数量x(t)263240485973时间（t）7月8月9月10月11月12月种群数量x(t)89108133163198242时间（t）1月2月3月4月5月6月种群数量x(t)284339.3402.9475555.5643.9时间（t）7月8月9月10月11月12月种群数量x(t)739.2839.8943.91049.21153.41254.3时间（t）1月2月3月4月5月6月种群数量x(t)13501438.91519.91592.61656.71712.6时间（t）7月8月9月10月11月12月种群数量x(t)1760.71801.71836.31865.31889.51909.5时间（t）1月2月3月4月5月6月种群数量x(t)1926.11939.71950.919601967.51973.6时间（t）7月8月9月10月11月12月种群数量x(t)1978.61982.61985.91988.61990.71992.5时间（t）1月2月3月4月5月6月种群数量x(t)1993.91995.119961996.81997.41997.9时间（t）7月8月9月10月11月12月种群数量x(t)1998.31998.61998.91999.11999.31999.4时间（t）1月2月3月4月5月6月种群数量x(t)1999.51999.61999.71999.71999.81999.8时间（t）7月8月9月10月11月12月种群数量x(t)1999.91999.91999.91999.91999.9六、模型的成果分析和检查现在我们对模型的对的性进行分析，由上述模型求解的12个月的计算值和真实值的比较，误差在2%以内，因此我们做的这个模型是比较精确的计算值值得接受。模型所求得的在12月的时候，种群的数量几乎要达成环境所允许的最大数量N，也就是说到了12月的时候种群的数量增加已经严重的受到了环境的影响。该模型由于没有考虑种群的出生率和死亡率，因此种群的固有增加率在模型数量比较多的时候会有误差。从种群数量随时间t变化的统计表中能够看出，在1月到12月期间，种群数量增加缓慢。七、模型评价与推广一）模型评价1.模型的优点：用Logistic模型来描述生物种群数量的动态变化曲线，是现在研究这类问题最惯用的办法。本文在Logistic模型基础上，根据种群数量的统计数据，建立种群指数增加模型，运用了最小二乘拟合，并运用Matlab这一数学软件对所统计的数据进行求解，使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。分别对所涉及到的重要参数进行了全方面的分析，为推算数年后种群的数量及何时种群数量何时能达成最大值提供了非常有价值的参考数据。2.模型的缺点及改善：从上表能够看出从10月到12月种群的增加非常缓慢，即种群的增加可能受到某些因素的影响。即用该模型来描述生物种群数量的生长曲线，有着明显的缺点。首先，它没有考虑到种群在不同环境条件下生长状况的差别，普通种群生长与环境的关系是很亲密的，环境条件影响着种群的生长与发展，在本模型中，我们没有考虑种群的出生率、死亡率、种内斗争与种外竞争以及捕食与被捕食等因素。因而种群具体生长环境是多个因素互相作用的综合体，他们为种群的生长提供了必要的条件。因此，我们在描述种群增加规律时，必须要考虑环境条件。另首先，该模型不能反映出环境条件变化对种群生长的影响。事实上，种群的生长环境是随时间在不停变化的，这是由自然因素和人为因素共同作用而至。这种环境的变化必然会对种群增加造成一定的影响。为了使该模型更贴近实际状况，我们应当考虑种群的出生率、死亡率、种内斗争与种外竞争以及捕食与被捕食等因素，使得模型更加完美、实用。（二）模型推广根据对模型的评价，我们能够懂得此模型比较适合于种群受外界环境影响比较小的状况，当种群的生存空间足够大时此模型与现状就很吻合。当有了一定的生存空间限制时则就要考虑某些影响种群数量增加的因素。在满足这些条件时，此模型也可运用到其它生物种群的变化上。例如大规模的山地形野兔养殖，大规模的山地形野鸡养殖等。该模型能较好的给养殖者提供种群的数量随时间变化的有关数据，方便获得更大利润。八、参考文献[1]姜启源，数学建模（第三版），北京:高等教育出版社，[2]茆诗松，概率论与数理统计教程（第二版），北京:高等教育出版社,[3]何晓群，应用回归分析（第三版），北京：中国人民大学出版社，[4]易丹辉，数据分析与EViews应用，北京：中国人民大学出版社，[5]寿纪麟，数学建模--办法与范例，西安：西安交通大学出版社，1993年[6]王向东，数学实验，北京：高等教育出版社，[7]祁建勋，一种单种群增加模型，内蒙古大学学报(自然科学版)，第1-3期：1-15,1993年[8]刘明，Logistic模型预测的新思路，统计与决策，第10期：1-16,附录：eviews导入数据TIMEZQSL12623234044855967378981089133101631119812242eviews运行成果matlab代码（1）functionz=E(u)r=u(1);c=u(2);z=(c.*exp(-r)-75.923).^2+(c.*exp(-2*r)-61.5).^2+(c.*exp(-3*r)-49).^2+(c.*exp(-4*r)-40.667).^2+(c.*exp(-5*r)-32.898).^2+(c.*exp(-6*r)-26.397).^2+(c.*exp(-7*r)-21.472).^2+(c.*exp(-8*r)-17.519).^2+(c.*exp(-9*r)-14.038).^2+(c.*exp(-10*r)-11.27).^2+(c.*exp(-11*r)-9.101).^2+(c.*exp(-12*r)-7.264).^2;>>fmins('E',[1,1])ans=0.210893.6122matlab代码（1）>>t=1:1:75;>>y=./(1+93.6122*exp(-0.2108*t))y=1.0e+003*Columns1through60.02600.03200.03940.04840.05950.0729Columns7through120.08930.10910.13300.16170.19590.2364Columns13through180.28400.33930.40290.47500.55550.6439Columns19through240.73920.83980.94391.04921.15341.2543Columns25through301.35001.43891.51991.59261.65671.7126Column