平面连杆机构优化设计

平面连杆机构优化设计一、问题描述平面连杆机构是由所有构件均由低副连接而成的机构，四杆机构是最常用的平面连杆机构。一般情况下，四杆机构只能近似实现给定的运动规律或运动轨迹，精确设计较为复杂。在四杆机构中，若两连架杆中的一个是曲柄，另一个是摇杆，则该机构为曲柄摇杆机构。曲柄摇杆机构可将曲柄的连续转动转变为摇杆的往复摆动。设计一曲柄摇杆机构（如图1所示）。已知曲柄长度l=100mm，机架长1度l=500mm。摇杆处于右极限位置时，曲柄与机架的夹角为8，摇杆与机40架的夹角为十。在曲柄转角8从80匀速增至8+90°的过程中，要求摇杆00转角甲=甲+二%-①＜为防止从动件卡死，连杆与摇杆的夹角Y只03n0四杆机构的设计要求可归纳为三类，即满足预定的连杆位置要求、满足预定的运动规律要求、满足预定的轨迹要求。本案例中，要求曲柄作等速转动时，摇杆的转角满足预定运动规律w=w+2%-中)。优化设计E03n0时，通常无精确解，一般采用数值方法得到近似解。本案例将机构预定的运动规律与实际运动规律观测量之间的偏差最小设为目标，由此建立优化设计数学模型，并运用MATLAB优化工具箱的相关函数进行求解。三、要点分析优化设计数学模型的三要素包括设计变量、目标函数和约束条件。依次确定三要素后，编写程序进行计算。设计变量的确定通常将机构中的各杆长度，以及摇杆按预定运动规律运动时，曲柄所处的初始位置角0列为设计变量，即0X=(XXXX%=(Illl①)T⑴考虑到机构各杆长按比例变化时，不会改变其运动规律，因此在计算可取11为单位长度，而其他杆长则按比例取为11的倍数。若曲柄的初始位置对应摇杆的右极限位置，则8及十均为杆长的函数，即00(l+l)2+l2—12/Q\①=arccos12 43(2)0 2(l1+l2)l4

243-(l+l)——12——12=arccos-4243-2⑶21314因此，设计变量缩减为3个独立变量，即X=(XiX2X3)t=(12叩4)T⑷目标函数的建立以机构预定的运动规律观测量八•与实际运动规律观测量八•之间的偏TOC\o"1-5"\h\zE1 1差平方和最小为指标来建立目标函数，即f(X)=X皿-V)2・min⑸Ei ii=1式中，m为输入角的等分数；(久为预期输出角，匕WE(W.)；中•为E1 1E 1 1输出角。由图2可知:输出角。由图2可知:iia+P(0<p<n)(n<pi<2n)⑹iiiP2+12a—arccosa—arccos;32p12—P=arccos——-4『⑻

(a)0W3<n(b)nW(a)0W3<n图2曲柄摇杆机构的运动学关系约束条件的确定(10)(11)(10)(11)(12)(13)(14)(15)g1(X)=11-12<0g2(X)=11-13<0g3(X)=11-14<0g4(X)=11+14-12-13<0g5(X)=11+12-13-14<0g6(X)=11+13-12-14<0连杆与摇杆的夹角应在Y和Y之间，即TOC\o"1-5"\h\zn maxmiH—-1+1)2窣&=\o"CurrentDocument"arccos^——-3 1 /、4--y <0(16)7 211 max23丄+厶-(1-1)2g(X)=y.-arccos^ 32 4 \o"CurrentDocument"1—<0 (17)212138min23四、具体步骤1.选择设计变量已知l=100mm,l=500mm，且8和不是独立参数，它们可由下式1 4 00(2)、式(3)求出，即甲=arccos(100+1)2+250000-甲=arccos(100+1)2+250000-12 2 31000(100+12)3(100+1)2-250000-12厶 厶10001 33所以该问题只有两个独立参数1和1,故设计向量为w=arccos223X=(XX)T=(11)T12232.建立目标函数将输入角分成30等分函数并依次取30个观测点中］匕，…，匕J得目标f(&二自(w-w)2Eiii=1式中：W=nr2+12-12r2+X2-X2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a=arccost 3 2-=t 2 ---2r1 2rXi13 i2r+1-1 r +2400002222P=arccos-4--4 =arccos \o"CurrentDocument"2r1 1000rr=22r=22W1Ai1 4w=w0+3?-%—周)・J12+12—211cos①二、・260000—lOOOOOcos①1A •14i3.确定约束条件约束函数按曲柄存在条件及对传动角的限制来建立，得g1(X)=100-X1<0g2(X)=100-%2<0g3(X)=600-q-%2<0g4(X)=%1-%2-400<0g5(X)=%2-%1-400<0g6(X)=%2+%2-1.414%%-160000<012360000-%2-%2-1.414%J2<0MATLAB程序及优化结果这是一个具有2个设计变量、7个不等式约束条件的优化设计问题。应用MATLAB软件的优化工具箱的fmincon函数对上述优化问题求解。(1)编写m文件Objfun.m定义目标函数。functionf=objfun(x)l1=100；l4=500；th0=acos(((100+x(1)『2-x(2厂2+250000)/(1000*(100+x(1))))；ps0=acos(((100+x(1)『2-x(2厂2-250000)/(1000*x(2)))；f=0；forth=th0:pi/2/30:th0+pi/2r二(10000+250000-2*100*500*cos(th)厂0.5；a=acos((r^2+x(2)八2-x(1)八2)/(2*r*x(2)))；b二acos((/2+240000)/(1000*r))；ps=pi-a-b；pse=ps0+2/(3*pi)*(th-th0)八2；f=f+(ps-pse)八2；end(2)编写m文件confun.m定义约束。function[c，ceq]=confun(x)c(1)=100-x(1)；c(2)=100-x(2)；c(3)=600-x(1)-x(2)；c(4)=x(1)-x(2)-400；c(5)=x(2)-x(1)-400；c(6)=x(1『2+x(2厂2-1.414*x(1)*x(2)-160000；c(7)=360000-x(1厂2-x(2『2-1.414*x(1)*x(2)；ceq=[]；编写m文件run.m求解计算。x0=［400400］；options=optimset('LargeScale'，'off')；［x,fval］=fmincon(@objfun，x0，［］，［］，［］，［］，［］［］，@confun)运行m文件run.m,得最优解X=(412・8926mm,232・2417mm),*f(X