高三北师大版文科数学第27讲 平面向量的应用举例 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课时作业(二十七)[第27讲平面向量的应用举例]（时间：45分钟分值:100分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身）1．若向量eq\o（OF1,\s\up6（→））＝(2，2)，eq\o(OF2,\s\up6（→））＝(－2,3)分别表示两个力F1与F2，则|F1＋F2|为（）A．2。5B．4eq\r(2)C．2eq\r(2)D．52．在四边形ABCD中,eq\o（AB，\s\up6（→))＝eq\o(DC,\s\up6（→)）,且eq\o（AC,\s\up6(→）)·eq\o(BD，\s\up6(→））＝0,则四边形ABCD是(）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq\o(OC，\s\up6（→))＝a1eq\o（OA，\s\up6（→））＋a200eq\o(OB,\s\up6（→))，且A，B，C三点共线(该直线不过原点)，则S200＝（）A．100B．101C．200D．2014．平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y）满足eq\o(OP,\s\up6（→))·eq\o（OA，\s\up6（→))＝4，则点P的轨迹方程是________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．［2012·昆明一中一摸]已知a＝(m，1）,b＝(1，n－1）(其中m,n为正数)，若a·b＝0,则eq\f(1,m)＋eq\f（1,n)的最小值是（）A．2B．2eq\r(2）C．4D．86．[2012·石家庄质检]在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3,点M满足eq\o(BM,\s\up6(→））＝2eq\o（AM，\s\up6（→）)，则eq\o(CM，\s\up6(→）)·eq\o（CA，\s\up6(→）)＝（）A．18B．3C．15D．127．直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M，N，若c2＝a2＋b2,则eq\o（OM，\s\up6(→))·eq\o(ON，\s\up6（→))(O为坐标原点)等于()A．－7B．－14C．7D．148．［2013·湖南十二校联考］设△ABC的三个内角为A,B，C，向量m＝(eq\r（3)sinA,sinB），n＝(cosB,eq\r（3）cosA),若m·n＝1＋cos(A＋B),则C＝(）A。eq\f(π,6）B.eq\f(π，3)C.eq\f(2π，3）D。eq\f（5π,6）9．已知a，b，c为△ABC的三个内角A,B，C的对边，向量m＝（eq\r（3），－1），n＝(cosA，sinA）．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC,则角A，B的大小分别为(）A。eq\f(π,6）,eq\f(π，3）B。eq\f（2π，3),eq\f（π，6)C。eq\f(π,3），eq\f（π,6）D.eq\f(π，3），eq\f（π,3)10．已知M是△ABC内的一点,且eq\o(AB，\s\up6(→）)·eq\o（AC,\s\up6（→））＝2eq\r（3),∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为eq\f(1,2)，x，y，则eq\f（1，x）＋eq\f(4,y）的最小值是________．11．已知在平面直角坐标系中，O（0，0)，M(1，1），N(0,1）,Q（2，3)，动点P(x,y)满足不等式0≤eq\o(OP，\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))≤1,0≤eq\o(OP，\s\up6(→)）·eq\o（ON,\s\up6（→）)≤1，则z＝eq\o(OQ，\s\up6（→））·eq\o（OP,\s\up6（→)）的最大值为________．12．在△ABC中，AB＝eq\r（3),BC＝2,∠A＝90°，如果不等式｜eq\o(BA,\s\up6(→))－teq\o(BC，\s\up6(→)）|≥|eq\o(AC,\s\up6（→)）｜恒成立,则实数t的取值范围是________________．13．在四边形ABCD中,eq\o（AB，\s\up6(→)）＝eq\o(DC，\s\up6(→))＝（1,1），eq\f(1，｜\o(BA，\s\up6（→）)|)eq\o（BA，\s\up6(→））＋eq\f（1，｜\o（BC,\s\up6（→)）｜）eq\o（BC,\s\up6（→）)＝eq\f(\r（3）,|\o（BD，\s\up6（→)）|）eq\o（BD,\s\up6（→））,则四边形ABCD的面积为________．14．（10分)已知圆C:（x－3)2＋（y－3）2＝4及点A(1，1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且eq\o（MA，\s\up6(→）)＝2eq\o（AN，\s\up6（→）)，求点N的轨迹方程．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b，c，已知m＝coseq\f(3A，2)，sineq\f(3A，2),n＝coseq\f（A，2），sineq\f（A,2），且满足｜m＋n|＝eq\r(3).（1)求角A的大小;（2）若｜eq\o(AC，\s\up6(→）)|＋|eq\o（AB,\s\up6（→)）|＝eq\r（3）｜eq\o(BC，\s\up6(→））｜，试判断△ABC的形状．eq\a\vs4\al\co1（难点突破)16．（12分）［2012·杭州二模]在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a,b,c，设向量m＝a，eq\f（1，2),n＝(cosC，c－2b）,且m⊥n。（1）求角A的大小；(2）若a＝1,求△ABC的周长的取值范围．

课时作业(二十七)【基础热身】1．D[解析]∵F1＋F2＝（2，2）＋（－2，3)＝(0，5），∴｜F1＋F2｜＝eq\r(0＋52）＝5。2．B[解析]由eq\o（AB,\s\up6(→)）＝eq\o(DC，\s\up6（→)）知四边形ABCD为平行四边形，又因为eq\o(AC,\s\up6（→）)·eq\o（BD,\s\up6（→））＝0，即▱ABCD的两条对角线垂直，所以四边形ABCD为菱形．3．A[解析］依题意，a1＋a200＝1，S200＝eq\f（200(a1＋a200）,2）＝100.4．x＋2y－4＝0［解析]∵eq\o(OP,\s\up6(→））·eq\o（OA,\s\up6（→))＝4，∴（x，y)·(1，2)＝4，∴x＋2y－4＝0。【能力提升】5．C[解析]因为a·b＝0，所以m×1＋1×（n－1)＝0,即m＋n＝1.又m，n为正数，所以eq\f(1,m）＋eq\f（1，n）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，m）＋\f（1，n)）)（m＋n)＝2＋eq\f（n,m)＋eq\f（m，n)≥2＋2eq\r(\f（n，m)·\f（m,n))＝4，当且仅当eq\f（n,m)＝eq\f(m,n）,即m＝n＝eq\f（1，2)时等号成立．故eq\f(1，m）＋eq\f（1，n)的最小值是4.6．A［解析]由题意，如图建立直角坐标系，则A（3，0）,B（0,3）,∵eq\o（BM，\s\up6（→))＝2eq\o（AM，\s\up6(→))，∴A是BM的中点,∴M（6，－3），eq\o（CM，\s\up6(→））＝（6，－3)，eq\o(CA，\s\up6（→））＝(3，0)，eq\o(CM,\s\up6（→))·eq\o(CA,\s\up6（→）)＝18.7．A[解析］记eq\o（OM,\s\up6（→))，eq\o（ON，\s\up6(→))的夹角为2θ.依题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于eq\f(|c|,\r(a2＋b2）)＝1,∴cosθ＝eq\f(1，3),∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,3）））eq\s\up12（2）－1＝－eq\f（7,9),∴eq\o(OM,\s\up6（→）)·eq\o(ON，\s\up6(→）)＝3×3cos2θ＝－7，选A。8．C［解析］依题意得eq\r（3）sinAcosB＋eq\r（3)cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，eq\r（3)sin（A＋B）＝1＋cos(A＋B)，eq\r(3)sinC＋cosC＝1,2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（C＋\f(π,6）))＝1，sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,6)))＝eq\f(1，2)。又eq\f（π,6)＜C＋eq\f（π,6）＜eq\f（7π，6）,因此C＋eq\f(π，6）＝eq\f（5π，6），C＝eq\f（2π，3）.9．C[解析］方法一:∵m⊥n，∴eq\r（3）cosA－sinA＝0,∴coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（A＋\f(π，6））)＝0,又∵0〈A<π,∴A＋eq\f(π，6）＝eq\f(π,2），∴A＝eq\f(π，3）.在△ABC中,结合正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，又sin（A＋B)＝sinC≠0，∴sinC＝1，∴C＝eq\f（π,2），故B＝eq\f(π，6)。方法二:接方法一中,A＝eq\f（π，3），在△ABC中，由余弦定理得a·eq\f（a2＋c2－b2,2ac)＋b·eq\f(b2＋c2－a2，2bc)＝csinC，∴eq\f(2c2,2c)＝c＝csinC,∴sinC＝1，∴C＝eq\f(π，2），故B＝eq\f（π，6）。10．18［解析]∵eq\o(AB,\s\up6（→）)·eq\o（AC，\s\up6（→））＝2eq\r(3）,∴bccosA＝2eq\r(3）,∵∠BAC＝30°，∴bc＝4，∴S△ABC＝1，∴x＋y＝eq\f(1,2)，eq\f(1,x）＋eq\f(4,y)＝eq\f（2（x＋y）,x)＋eq\f(8（x＋y），y)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2y,x)＋\f（8x,y)))＋10≥18。等号成立时，eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(\f（2y，x)＝\f(8x,y),,x＋y＝\f（1，2)，))∴x＝eq\f（1，6)，y＝eq\f(1，3），∴当x＝eq\f（1，6）且y＝eq\f(1,3）时,eq\f(1，x）＋eq\f(4,y)取得最小值18.11．3［解析]由题意eq\o(OP，\s\up6(→）)＝(x，y），eq\o（OM,\s\up6（→)）＝(1，1)，eq\o（ON，\s\up6(→）)＝（0，1),∴eq\o（OP，\s\up6(→))·eq\o（OM,\s\up6(→）)＝x＋y,eq\o(OP，\s\up6（→))·eq\o(ON,\s\up6(→）)＝y，即在eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（0≤x＋y≤1,，0≤y≤1))条件下，求z＝eq\o（OQ，\s\up6(→))·eq\o(OP，\s\up6（→））＝2x＋3y的最大值，由线性规划知当x＝0，y＝1时有最大值3。12.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（－∞,\f（1,2)））∪［1，＋∞）［解析］由AB＝eq\r(3）,BC＝2，∠A＝90°可知∠B＝30°，则由题意知|eq\o（BA,\s\up6(→)）｜2＋t2|eq\o（BC，\s\up6（→)）｜2－2teq\o(BA，\s\up6（→))·eq\o（BC,\s\up6（→))≥|eq\o(AC,\s\up6（→））|2，即4t2－6t＋2≥0,解得t≥1或t≤eq\f(1，2）。13.eq\r（3)[解析]已知eq\f（\o(BA,\s\up6(→)），｜\o（BA,\s\up6（→)）｜)＋eq\f（\o(BC，\s\up6(→）），｜\o（BC，\s\up6(→)）｜）＝eq\r（3)eq\f(\o（BD,\s\up6（→）），|\o(BD，\s\up6（→））|），由单位向量得(如图）∠ABC＝60°。∵eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\o(DC,\s\up6(→））＝(1，1），∠ABC＝60°，AC⊥BD，∴S＝2×eq\f(\r(3),4）×（eq\r（2）)2＝eq\r(3）.14．解:设M（x0，y0），N(x，y）．由eq\o(MA，\s\up6（→）)＝2eq\o(AN，\s\up6（→))得（1－x0，1－y0)＝2(x－1，y－1），∴eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x0＝3－2x，,y0＝3－2y.))∵点M(x0，y0)在圆C上,∴（x0－3)2＋（y0－3）2＝4，即（3－2x－3）2＋（3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1。∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1。15．解：（1)由｜m＋n|＝eq\r(3），得m2＋n2＋2m·n＝3,即1＋1＋2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos\f（3A，2）cos\f（A,2）＋sin\f(3A,2)sin\f(A，2）)）＝3,∴cosA＝eq\f（1，2）,∵0＜A＜π，∴A＝eq\f（π,3）。(2）∵｜eq\o（AC,\s\up6(→））|＋|eq\o(AB,\s\up6(→））|＝eq\r（3)|eq\o(BC,\s\up6(→))|,∴b＋c＝eq\r（3）a，∴sinB＋sinC＝eq\r(3）sinA，∴sinB＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2π，3)－B))＝eq\r（3)×eq\f（\r（3）,2）,即eq\f(\r（3），2）sinB＋eq\f（1,2）cosB＝eq\f（\r（3）,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π，6)））＝eq\f(\r(3)，2）,又∵0＜B＜eq\f（2π，3），∴eq\f(π，6)＜B＋eq\f(π，6)＜eq\f（5π,6），∴B＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，故B＝eq\f（π,6)或eq\f(π,2），当B＝eq\f（π，6)时,C＝eq\f（π，2