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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精课时作业(二十七)[第27讲平面向量的应用举例](时间:45分钟分值:100分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1.若向量eq\o(OF1,\s\up6(→))=(2,2),eq\o(OF2,\s\up6(→))=(-2,3)分别表示两个力F1与F2,则|F1+F2|为()A.2。5B.4eq\r(2)C.2eq\r(2)D.52.在四边形ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→)),且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))=0,则四边形ABCD是()A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若eq\o(OC,\s\up6(→))=a1eq\o(OA,\s\up6(→))+a200eq\o(OB,\s\up6(→)),且A,B,C三点共线(该直线不过原点),则S200=()A.100B.101C.200D.2014.平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))=4,则点P的轨迹方程是________.eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5.[2012·昆明一中一摸]已知a=(m,1),b=(1,n-1)(其中m,n为正数),若a·b=0,则eq\f(1,m)+eq\f(1,n)的最小值是()A.2B.2eq\r(2)C.4D.86.[2012·石家庄质检]在△ABC中,∠C=90°,且CA=CB=3,点M满足eq\o(BM,\s\up6(→))=2eq\o(AM,\s\up6(→)),则eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))=()A.18B.3C.15D.127.直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M,N,若c2=a2+b2,则eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))(O为坐标原点)等于()A.-7B.-14C.7D.148.[2013·湖南十二校联考]设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(eq\r(3)sinA,sinB),n=(cosB,eq\r(3)cosA),若m·n=1+cos(A+B),则C=()A。eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D。eq\f(5π,6)9.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(eq\r(3),-1),n=(cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为()A。eq\f(π,6),eq\f(π,3)B。eq\f(2π,3),eq\f(π,6)C。eq\f(π,3),eq\f(π,6)D.eq\f(π,3),eq\f(π,3)10.已知M是△ABC内的一点,且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=2eq\r(3),∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为eq\f(1,2),x,y,则eq\f(1,x)+eq\f(4,y)的最小值是________.11.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点P(x,y)满足不等式0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))≤1,0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))≤1,则z=eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最大值为________.12.在△ABC中,AB=eq\r(3),BC=2,∠A=90°,如果不等式|eq\o(BA,\s\up6(→))-teq\o(BC,\s\up6(→))|≥|eq\o(AC,\s\up6(→))|恒成立,则实数t的取值范围是________________.13.在四边形ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))=(1,1),eq\f(1,|\o(BA,\s\up6(→))|)eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\f(1,|\o(BC,\s\up6(→))|)eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\f(\r(3),|\o(BD,\s\up6(→))|)eq\o(BD,\s\up6(→)),则四边形ABCD的面积为________.14.(10分)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M是圆C上的任意一点,点N在线段MA的延长线上,且eq\o(MA,\s\up6(→))=2eq\o(AN,\s\up6(→)),求点N的轨迹方程.15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=coseq\f(3A,2),sineq\f(3A,2),n=coseq\f(A,2),sineq\f(A,2),且满足|m+n|=eq\r(3).(1)求角A的大小;(2)若|eq\o(AC,\s\up6(→))|+|eq\o(AB,\s\up6(→))|=eq\r(3)|eq\o(BC,\s\up6(→))|,试判断△ABC的形状.eq\a\vs4\al\co1(难点突破)16.(12分)[2012·杭州二模]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=a,eq\f(1,2),n=(cosC,c-2b),且m⊥n。(1)求角A的大小;(2)若a=1,求△ABC的周长的取值范围.
课时作业(二十七)【基础热身】1.D[解析]∵F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),∴|F1+F2|=eq\r(0+52)=5。2.B[解析]由eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))知四边形ABCD为平行四边形,又因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))=0,即▱ABCD的两条对角线垂直,所以四边形ABCD为菱形.3.A[解析]依题意,a1+a200=1,S200=eq\f(200(a1+a200),2)=100.4.x+2y-4=0[解析]∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))=4,∴(x,y)·(1,2)=4,∴x+2y-4=0。【能力提升】5.C[解析]因为a·b=0,所以m×1+1×(n-1)=0,即m+n=1.又m,n为正数,所以eq\f(1,m)+eq\f(1,n)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)+\f(1,n)))(m+n)=2+eq\f(n,m)+eq\f(m,n)≥2+2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n))=4,当且仅当eq\f(n,m)=eq\f(m,n),即m=n=eq\f(1,2)时等号成立.故eq\f(1,m)+eq\f(1,n)的最小值是4.6.A[解析]由题意,如图建立直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),∵eq\o(BM,\s\up6(→))=2eq\o(AM,\s\up6(→)),∴A是BM的中点,∴M(6,-3),eq\o(CM,\s\up6(→))=(6,-3),eq\o(CA,\s\up6(→))=(3,0),eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))=18.7.A[解析]记eq\o(OM,\s\up6(→)),eq\o(ON,\s\up6(→))的夹角为2θ.依题意得,圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于eq\f(|c|,\r(a2+b2))=1,∴cosθ=eq\f(1,3),∴cos2θ=2cos2θ-1=2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)-1=-eq\f(7,9),∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))=3×3cos2θ=-7,选A。8.C[解析]依题意得eq\r(3)sinAcosB+eq\r(3)cosAsinB=1+cos(A+B),eq\r(3)sin(A+B)=1+cos(A+B),eq\r(3)sinC+cosC=1,2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C+\f(π,6)))=1,sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C+\f(π,6)))=eq\f(1,2)。又eq\f(π,6)<C+eq\f(π,6)<eq\f(7π,6),因此C+eq\f(π,6)=eq\f(5π,6),C=eq\f(2π,3).9.C[解析]方法一:∵m⊥n,∴eq\r(3)cosA-sinA=0,∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,6)))=0,又∵0〈A<π,∴A+eq\f(π,6)=eq\f(π,2),∴A=eq\f(π,3).在△ABC中,结合正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,∴sin(A+B)=sin2C,又sin(A+B)=sinC≠0,∴sinC=1,∴C=eq\f(π,2),故B=eq\f(π,6)。方法二:接方法一中,A=eq\f(π,3),在△ABC中,由余弦定理得a·eq\f(a2+c2-b2,2ac)+b·eq\f(b2+c2-a2,2bc)=csinC,∴eq\f(2c2,2c)=c=csinC,∴sinC=1,∴C=eq\f(π,2),故B=eq\f(π,6)。10.18[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=2eq\r(3),∴bccosA=2eq\r(3),∵∠BAC=30°,∴bc=4,∴S△ABC=1,∴x+y=eq\f(1,2),eq\f(1,x)+eq\f(4,y)=eq\f(2(x+y),x)+eq\f(8(x+y),y)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2y,x)+\f(8x,y)))+10≥18。等号成立时,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2y,x)=\f(8x,y),,x+y=\f(1,2),))∴x=eq\f(1,6),y=eq\f(1,3),∴当x=eq\f(1,6)且y=eq\f(1,3)时,eq\f(1,x)+eq\f(4,y)取得最小值18.11.3[解析]由题意eq\o(OP,\s\up6(→))=(x,y),eq\o(OM,\s\up6(→))=(1,1),eq\o(ON,\s\up6(→))=(0,1),∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))=x+y,eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))=y,即在eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x+y≤1,,0≤y≤1))条件下,求z=eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))=2x+3y的最大值,由线性规划知当x=0,y=1时有最大值3。12.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2)))∪[1,+∞)[解析]由AB=eq\r(3),BC=2,∠A=90°可知∠B=30°,则由题意知|eq\o(BA,\s\up6(→))|2+t2|eq\o(BC,\s\up6(→))|2-2teq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))≥|eq\o(AC,\s\up6(→))|2,即4t2-6t+2≥0,解得t≥1或t≤eq\f(1,2)。13.eq\r(3)[解析]已知eq\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)+eq\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)=eq\r(3)eq\f(\o(BD,\s\up6(→)),|\o(BD,\s\up6(→))|),由单位向量得(如图)∠ABC=60°。∵eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))=(1,1),∠ABC=60°,AC⊥BD,∴S=2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2=eq\r(3).14.解:设M(x0,y0),N(x,y).由eq\o(MA,\s\up6(→))=2eq\o(AN,\s\up6(→))得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0=3-2x,,y0=3-2y.))∵点M(x0,y0)在圆C上,∴(x0-3)2+(y0-3)2=4,即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4.∴x2+y2=1。∴所求点N的轨迹方程是x2+y2=1。15.解:(1)由|m+n|=eq\r(3),得m2+n2+2m·n=3,即1+1+2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3A,2)cos\f(A,2)+sin\f(3A,2)sin\f(A,2)))=3,∴cosA=eq\f(1,2),∵0<A<π,∴A=eq\f(π,3)。(2)∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|+|eq\o(AB,\s\up6(→))|=eq\r(3)|eq\o(BC,\s\up6(→))|,∴b+c=eq\r(3)a,∴sinB+sinC=eq\r(3)sinA,∴sinB+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)-B))=eq\r(3)×eq\f(\r(3),2),即eq\f(\r(3),2)sinB+eq\f(1,2)cosB=eq\f(\r(3),2),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B+\f(π,6)))=eq\f(\r(3),2),又∵0<B<eq\f(2π,3),∴eq\f(π,6)<B+eq\f(π,6)<eq\f(5π,6),∴B+eq\f(π,6)=eq\f(π,3)或eq\f(2π,3),故B=eq\f(π,6)或eq\f(π,2),当B=eq\f(π,6)时,C=eq\f(π,2
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