2020年中考数学复习微专题：最值问题(垂线段最短)突破与提升-学案

2020年中考数学复习微专题最值问题（垂线段最短）突破与提升讲义类型解读模型一一动一定1.模型解读如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A、B之间距离的最小值，通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．2.练习反馈（1）.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是AB上的动点(点D可与点A、B重合)，若CD＝x，则x的取值范围是()A.2.4≤x≤3 B.2.4≤x<4C.2.4≤x≤4 D.2.4≤x≤5（2）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝40°，E是AB边上中点，点D是AB上一个动点，当CD取最小值时，∠DCE＝________．模型二两动一定模型解读点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋MN最小．要PN＋MN最小，设法将PN，MN转化在同一条直线上，想到作点P关于OB的对称点P′，即求P′N＋MN的最小值，因此只要P′M⊥OA，利用垂线段最短即可求解．练习反馈（1）如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M，N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是________．模型三两定一动(“胡不归”问题)模型解读“胡不归”问题即点P在直线BM上运动的“PA＋k·PB(0<k<1)”型最值问题：如图①，已知sin∠MBN＝k，点P为∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？分析：本模型的关键在于如何确定“k·PB”的大小，如图②，过点P作PQ⊥BN于点Q，则k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PQ”的最小值问题，即当A、P、Q三点共线时“PA＋k·PB”的值最小(如图③)，此时AQ⊥BN，利用垂线段最短求解即可．特殊情况：当求PA＋PB的最小值时，题干中∠MBN的度数一般为30°；当求PA＋PB的最小值时，题干中∠MBN的度数一般为45°；当求PA＋PB的最小值时，题干中∠MBN的度数一般为60°.2.练习反馈（1）如图，菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，P是对角线BD上的一个动点，则BP＋PC的最小值是()二．当堂过关检测1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝6，若P为线段AC上一点，连接PB，以PA、PB为边作平行四边形APBD，连接PD，交AB于点E，则PD的最小值为()A.2B.3C.4D.52．(2019泰安)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是()A.2B.4C.eq\r(2)D.2eq\r(2)3.如图，△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，点D为AC边上一动点，则eq\f(1,2)AD＋DB的最小值为()A.2B.3C.2eq\r(3)D.3eq\r(2)4．(2019长沙)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋eq\f(\r(5),5)BD的最小值是()A.2eq\r(5)B.4eq\r(5)C.5eq\r(3)D.105.(2019玉林)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值与最大值之和是()A.5B.6C.7D.86.(2019安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．7.(2019南通)如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB＋eq\f(\r(3),2)PD的最小值等于________．8.已知抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋2(a<0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，连接AB，在x轴上有一动点P(m，0)(0<m<4)，过点P作x轴的垂线交AB于点N，交抛物线于点M.(1)求a的值；(2)当PN∶MN＝1∶3时，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AP2、BP2，求AP2＋eq\f(3,2)BP2的最小值．参考答案1.C【解析】∵四边形APBD为平行四边形，∴AE＝BE，DE＝EP.∴当EP最小时，PD也最小．故当EP⊥AC时，EP最小．∵AE＝BE，∠APE＝∠ACB＝90°，∴EP＝eq\f(1,2)BC＝2.∴PD＝2EP＝4.即PD的最小值为4.2.D【解析】由题意得，点P一定在△CDE的中位线上，如解图，∴当BP⊥PM，即点P在CD的中点时，PB最小．此时点F与点C重合．∵AB＝CD＝4，P为CD的中点，∴PC＝2.∵BC＝2，∠BCD＝90°，∴PB＝2eq\r(2).3.C【解析】如解图，作∠DAE＝30°，DE⊥AE，在Rt△AED中，ED＝eq\f(1,2)AD，∴eq\f(1,2)AD＋BD＝ED＋BD，则由解图可知，当BF⊥AE时，BF的长即为eq\f(1,2)AD＋BD的最小值，在Rt△ABF中，∵∠FAB＝60°，AB＝4，∴BF＝2eq\r(3)，即eq\f(1,2)AD＋DB的最小值为2eq\r(3).4.B【解析】如解图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CQ⊥AB于点Q，易证△BDF∽△BAE，则∠BDF＝∠A，∴tan∠BDF＝tanA＝2.∴eq\f(BF,DF)＝2.设DF＝x，则BF＝2x，在Rt△BDF中，BD＝eq\r(（2x）2＋x2)＝eq\r(5)x，∴cos∠BDF＝eq\f(\r(5),5).∴DF＝BD·cos∠BDF＝eq\f(\r(5),5)BD.∴CD＋eq\f(\r(5),5)BD＝CD＋DF.∴CD＋eq\f(\r(5),5)BD的最小值即为点C到AB的垂线段CQ的长度，在Rt△AEB中，tanA＝2，AB＝10，∴BE＝4eq\r(5)，又∵AB＝AC，∴△ACQ≌△ABE.∴CQ＝BE＝4eq\r(5).5.B【解析】如解图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝5.∵点O是AB的三等分点，∴AO＝eq\f(5,3).设半圆O与AC相切于点D，交AB于点E，F，则OD⊥AD，∴△ADO∽△ACB，∴eq\f(DO,CB)＝eq\f(AO,AB)，即eq\f(DO,3)＝eq\f(1,3)，∴DO＝EO＝1.当N在点E处，M在点B处时MN最大，最大值为BE＝BO＋OE＝eq\f(10,3)＋1＝eq\f(13,3)，过点O作OM⊥BC于点M，交半圆O于点N，则此时MN最小．∵易得△BOM∽△BAC，∴eq\f(OM,AC)＝eq\f(OB,AB)＝eq\f(2,3)，∴OM＝eq\f(8,3)，∴MN的最小值为OM－ON＝eq\f(8,3)－1＝eq\f(5,3)，∴MN的最大值与最小值的和为eq\f(13,3)＋eq\f(5,3)＝6.6.eq\f(12,5)【解析】如解图，连接AD，∵∠BAC＝90°，DM⊥AB，DN⊥AC，∴四边形AMDN是矩形，∴MN＝AD，∴当线段AD最短时，MN最短，即当AD为BC边上的高时，AD最短，在Rt△ABC中，BC＝eq\r(32＋42)＝5，S△ABC＝eq\f(1,2)×AB·AC＝eq\f(1,2)×BC·AD，∴eq\f(1,2)×3×4＝eq\f(1,2)×5·AD，∴AD＝eq\f(12,5).∴线段MN的最小值为eq\f(12,5).7.3eq\r(3)【解析】如解图，过点P作PH⊥AD，交AD的延长线于点H.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠HDP＝∠DAB＝60°.∴PH＝PD·sin∠HDP＝eq\f(\r(3),2)PD.∴PB＋eq\f(\r(3),2)PD＝PB＋PH.∴当点B，P，H共线且BH⊥AD时，PB＋eq\f(\r(3),2)PD的值最小，此时PB＋eq\f(\r(3),2)PD＝P′B＋P′H′＝BH′.在Rt△ABH′中，∵BH′＝AB·sinA＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).∴PB＋eq\f(\r(3),2)PD的最小值为3eq\r(3).8.解：(1)将点A(4，0)代入y＝ax2＋(a＋2)x＋2中，得0＝16a＋4(a＋2)＋2，解得a＝－eq\f(1,2)；(2)由(1)可知抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2，令x＝0，得y＝2，∴B(0，2)，设直线AB的表达式为y＝kx＋b，将点A(4，0)，B(0，2)代入得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝0,b＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2),b＝2))，∴直线AB的表达式为y＝－eq\f(1,2)x＋2，∵PM⊥x轴，P(m，0)，∴N(m，－eq\f(1,2)m＋2)，M(m，－eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m＋2)，∴PN＝－eq\f(1,2)m＋2，MN＝－eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m＋2－(－eq\f(1,2)m＋2)＝－eq\f(1,2)m2＋2m，∵PN∶MN＝1∶3，∴－eq\f(1,2)m2＋2m＝3(－eq\f(1,2)m＋2)，解得m＝3或m＝4(舍去)，∴当PN∶MN＝1∶3时，OP1＝3.如解图，在y轴上取一点Q，使eq\f(OQ,OP2)＝eq\f(3,2)，连接QP2∴OQ＝eq\f(3,2)×3＝eq\f(9,2)，∴Q(0，eq\f(9,2))，∵P1(3，0)，且OB＝2，∴eq\f(OQ,OP2)＝eq\f(OP2,OB)＝eq\f(3,2)，又∵∠P2OB＝∠QOP2，∴△P2OB∽△QOP2，∴eq\f(QP2,P2B)＝eq