专题15函数的零点问题（原卷版）

专题15函数的零点问题【考点预测】1、函数的零点与方程的解（1）函数零点的概念对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点.（2）函数零点存在定理如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.2、用二分法求方程的近似解对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点的初始区间，验证.（2）求区间的中点.（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：=1\*GB3①若（此时），则就是函数的零点；=2\*GB3②若（此时），则令；=3\*GB3③若（此时），则令.（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）.由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.3、函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.【典型例题】例1．（2022·江苏宿迁·高一期中）我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝．(1)写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本）(2)当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？例2．（2022·江苏省洪泽高一期中）某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数满足：①对任意，均有；②当时，；③.”某同学提出一种解题思路，构造，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题.(1)求的解析式；(2)若方程恰有3个实数根，求实数m的取值范围.例3．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级高一期中）已知定义在区间上的函数．(1)求函数的零点；(2)若方程有四个不等实根，且，证明．例4．（2022·江苏·海安高级高一期中）设函数，（，）.(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.例5．（2022·北京市昌平区第二高一期中）已知函数．(1)画出此函数的图像；(2)求不等式的解集；(3)若函数有三个零点，求的取值范围．例6．（2022·北京·牛栏山高一期中）已知函数.(1)画出函数的图象，并写出的解析式；(2)设，（i）求出的零点，并直接写出函数的单调区间；（ii）若有四个不同的解，直接写出的取值范围.【过关测试】一、单选题1．（2022·北京高一阶段练习）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．2．（2022·辽宁·昌图县第一高级高一期中）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏盐城·高一期中）已知函数的两个零点分别为，，其中，，则（

）A． B．C． D．4．（2022·吉林·扶余市第一高一期中）函数的零点所在区间为，则整数k等于（

）A．2 B．1 C．0 D．-15．（2022·辽宁·沈阳市第十一高一期中）函数的零点个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．16．（2022·贵州遵义·高一期中）若函数的零点在区间内，则的取值范围为（

）A． B．C． D．7．（2022·上海市浦东复旦附中分校高一期中）已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（

）A．或 B．或 C．或 D．或8．（2022·四川·树德高一阶段练习）函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·湖南省岳阳县第一高一阶段练习）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则下列四个结论中正确的是（

）A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解10．（2022·全国·高一课时练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（

）A．的零点在区间内 B．的零点在区间内C．精确到0.1的近似值为1.4 D．精确到0.1的近似值为1.511．（2022·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（

）A．B．第5个月时，浮萍面积就会超过C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月D．浮萍每月增加的面积都相等12．（2022·江苏·苏州高一期中）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（

）A．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为B．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为C．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或D．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或三、填空题13．（2022·甘肃·永昌县第一高级高一期中）若函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围为___________.14．（2022·辽宁·大连高一期中）已知函数在区间中存在零点，在利用二分法求零点的近似值时，计算过程如下表格所示：零点区间区间中点重点对应的函数值计算到表格中的最后一步可推断零点属于区间________.15．（2022·辽宁鞍山·高一期中）已知，函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________.16．（2022·河南·濮阳一高高一期中）已知函数若互不相等的实数满足，则的取值范围______.四、解答题17．（2022·四川省射洪市太和高一期中）已知函数，且点在函数的图象上.(1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.18．（2022·重庆南开高一期中）党的二十大报告提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰、碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．在可再生能源发展政策的支持下，今年前8个月，我国光伏新增装机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦．某公司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生产x（单位：百台）发电机组需增加投入y（单位：万元），其中，该光伏发电机年产量最大为10000台．每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部售完．(1)将利润P（单位：万元）表示为年产量x（单位：百台）的函数；(2)当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入＝总成本＋利润）．19．（2022·江苏南通·高一期中）已知函数，，其中.(1)若的图象与直线没有公共点，求实数a的取值范围；(2)当时，函数的最小值为，求实数m的值.20．（2022·上海南汇高一期中）法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题.(1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；(2)关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；(3)已知集合有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值.21．（2022·吉林·长春吉大附中实验高一期中）已