2023学年完整公开课版数学活动

数学活动

R·九年级上册新课导入导入课题问题:观察下列两个两位数的积，猜一猜其中哪个积最大.91×99,92×98,…,98×92,99×91.

这节课我们运用二次函数的知识探究和说明两数的积的最大值.(1)探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律.(2)建立二次函数模型证明猜想是否正确.(3)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力.重点：探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律,并建立二次函数模型论证猜想的正确性.难点：建模.学习目标学习重、难点:推进新课活动1关于两数乘积的猜想与证明猜想：下列式子中，哪个积最大？901×999，902×998，…，998×902,999×901.猜一猜先研究稍小一点的数，算一算，看你的猜想是否正确：91×99=

,92×98=

,93×97=

,94×96=

,95×95=

.90099016902190249025猜想：下列式子中，哪个乘积最大？901×999，902×998，…，998×902,999×901.猜测:950×950最大！这个猜测对不对呢？证明：设第一个数是900+x，则第二个数是(1000-x),设两数积为y.(1)求y与x的函数关系式；y=(900+x)(1000-x)=-x2+100x+900000(2)求y的最大值；y=-(x-50)2+902500∴y的最大值为902500，此时x=50.【对应训练】观察：5×5=0×1×100+25,15×15=1×2×100+25,25×25=2×3×100+25,35×35=3×4×100+25,…请猜测，第n个算式（n为正整数）的结果y应表示为什么解析式?此解析式是否为二次函数？解：y=(n-1)×n×100+25=100n2-100n+25.此解析式是二次函数.活动2曲线l的形状如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2).在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P.②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来.3yO-33xA(0,2)Ml1l2P（1）观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线？（2）对于曲线L上任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是（x,y）,你能由PA与PM的关系得到x、y满足的关系式吗？3yOxA(0,2)Ml1l2P（提示：根据勾股定理用含x,y的式子表示线段PA的长.）解：对于曲线L上任意一点P，连接PM、PA，则线段PA与线段PM的关系为：PA=PM,设点P的坐标为(x,y),则PA2=x2+(y-2)2，PM=|y|，由PA与PM的关系列等式x2+(y-2)2=y2，化简得y=x2/4+1.由此，点P在函数y=x2/4+1的图象上.即曲线L的形状是抛物线.3yOxA(0,2)Ml1l2P你能由此确定曲线L是哪种曲线吗？随堂演练基础巩固1.如图是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：(1)请你以上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在坐标系中画出y关于x的函数图象;解：(1)如图.xyO1020304050261014(2)当水面宽度为36米时，一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8米的货船能否在这个河段安全通过?为什么?解：设该函数解析式为y=ax2，∵抛物线过点(20，2)，∴2=a×202，解得a=0.005，∴y=0.005x2.当x=18时，y=1.62<1.8.∴该货船在这个河段不能安全通过.2.根据以下10个乘积，回答问题：1×399；2×398；3×397；4×396；…；398×2；399×1．(1)猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？(2)运用二次函数的知识说明你的猜想是正确的.解：(1)200×200的积最大.(2)设第一个乘数为x，第二个乘数为(400-x)，乘积为y.∴y=x(400-x)=-x2+400x.当x=200时，y有最大值.猜想正确.综合应用3.九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.小组讨论后，同学们做了以下三种试验:

(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m,当AB为1m,长方形框架ABCD的面积是

m2;请根据以上图案回答下列问题:(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为6m，设AB为xm,长方形框架ABCD的面积为S=

(用含x的代数式表示)；当AB=

m时,长方形框架ABCD的面积S最大;在图案③中，如果铝合金材料总长度为lm,设AB为xm，当AB=

m时，长方形框架ABCD的面积S最大.x(2-x)1(3)经过这三种情形的试验，他们发现对于图案④这样的情形也存在着一定的规律．探究:如图案④，如果铝合金材料总长度为lm共有n条竖档时，那么当竖档AB为多少时,长方形框架ABCD的面积最大.解：设AB=xm.

拓展延伸4.如图①是棱长为a的小正方体，图②、图③由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别把第一层、第二层、第三层…第n层的小正方体的个数记为S．解答下列问题：(1)填表：n12345…S1361015…(2)当n＝6时，S=

;21n＝6136101521(3)根据表中的数据，把S作为点的纵坐标，n作为点的横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；解：(3)如图xyO246810246810121412解：它们在同一函数图象上.设函数解析式为y=an2+bn+c,图象经过点(1,1),(2,3),(3,6).则(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗?如果在某一函