常微分方程(第三版)课后答案

常微分方程(第三版)课后答案常微分方程1.=2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得-y解:对原式进行变量分离得:111y2─=─=x+3x+331x2)x2x2)x26：x-16：x-1u+1u+12yxyx=2xx2也是方程的解。y解：变量分离，得—dyyy23x3xxyx常微分方程(第三版)课后答案xyxdxyx21t2t22解2t2+-U2变量分离常微分方程(第三版)课后答案 222229,41652y22x- 333常微分方程(第三版)课后答案17.3=2y3-y2-1，，，，令当当，，常微分方程(第三版)课后答案xxy故此方程为此方程为变程。x2y20也包含在此通解中。f4(x)的一般表达式.01y0_y3-10110常微分方程(第三版)课后答案20.求具有性质x（t+s)=x(t)+x(s)的函数x(t）,已知x’(0)存在。1x(t)x(s)2(t))ΔtΔt[1x(t)x(Δt)dx(t)2(t))dx(t)=x'(0)dt两边积分得arctgx（t)=x’(0)x(t)=tg[x’(0）t］222.dx+3x=e2t解：原方程可化为:dx=-3x+e2t常微分方程(第三版)课后答案=e-3t=e-3t5=ce-3t+-52=e-sint(sintcostesintdt+c)4.dy-xy=exxn,n为常数.=xxn22==x4+x32x4+x32y2xx则=u+x-du常微分方程(第三版)课后答案-22133是原方程的解.x常微分方程(第三版)课后答案 P(x)dx22yy32yP(y)ydyP(y)y2yy32y3y32常微分方程(第三版)课后答案P(x)dxdxaa3xP(x)dx-dxxP(x)dx(=-(c=+-xc-x常微分方程(第三版)课后答案y3y3yyy3dx y=-2(-xy-2+x3)x2x2x212.(ylnx-2)ydx2两边除以y2x-x2++--1=-—e-e-x-常微分方程(第三版)课后答案2x)dx==yy-y2=x122=12xdxy2yy)2yyy2==+这是n=2时的伯努利方程。----2──==+─2常微分方程(第三版)课后答案P（x）=-3Q(x)=-1xx2x221=-x-1+cx-32-3)221-x2eyy321-x2+x3e-y=c2y33x3这是n=3时的伯努利方程。y3x2令x-2-3-Q(y)=-2y3-y2x2y2xy(t)dt0xxxe-xe-xdxxx0令t=s=0得Φ(0+0)=Φ(0)Φ(0)即Φ(0)=vte(-∞,+∞)Δt喻0Δt喻0常微分方程(第三版)课后答案Δt喻0Δt喻0Φ.28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)是(2.28)的解,则方程(2.28）(3)方程(2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程(2.3)的解.则是(2.28)的任意两个解12(12）得d(y-y) 12=P(x)(y-y)是满足方程(2.3)常微分方程(第三版)课后答案dy(x)=P(x)y(x)+Q(x)(4)1)先证y=cy+y是(2.28）的一个解。1=P(x)y+Q(x)(4’)1即y1P(x)dx13=P(x)y(6)43常微分方程(第三版)课后答案3334Y-y=y'(X-x)从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(yyx-,2y-x常微分方程(第三版)课后答案lnx((-x)e-lnxdx+c)x●2-________=1y--222-dx-)dx2121x2-2-1常微分方程_x2x_1dx=/x2_1/[x2_1_13/x2_1/2=+P(x)=1Q(x)＝sin2xe_习题2.3(x2常微分方程(第三版)课后答案3(xy)2xy(xy)2=(xy)4(xy)34(xy)3则则=(1)(2)(1)(2)=一2x2=一2(xy)2对(1)做x的积分,则u=(xy)2一x+常微分方程(第三版)课后答案+y对(3)做y=-+(x-y)2dy2_-y(x-y)2dyy(x-y)2(x-y)2y(x-y)2yyx-yxx-yxx-yxx-y2y=.-y=0-常微分方程(第三版)课后答案=-δN=- ny ---in-y)+dx+d(--1)=0-cosx＋x--1=C求下列方程的解：6．2x(yex2－1)dx+ex2dy=0x2,x2所以，d(yex2-x2)＝0=0xdx+3y2dx+2xydy=0常微分方程(第三版)课后答案dx+3x2y2dx＋2x3ydy=0＋1)dy=0x2y）+dy=0故方程的解为x2y+y=Cx2+y2同时，y=0也是方程的解。(常微分方程(第三版)课后答案—x2（x)-x+ -Nxdx)2-)x3314、x3常微分方程(第三版)课后答案?M丰?N?M?N-M解：两边同乘以x2y得：?(μM)?(μN)?M?μ-?N常微分方程(第三版)课后答案-μ()μMN一MN一__________=常微分方程(第三版)课后答案条件是它有仅依赖于x的积分因子.此方程有积分因子μ(x)=e-∫P(x)dx,μ(x)只与x有关.充分性若该方程有只与x有关的积分因子μ(x).则μ(x)dy-μ(x)f(x,y)dx=0为从而δ(-μ(x)f(x,y))=dμ(x)δfμ,(x)μ(x)μ(x)f=-μ(x)μ(x)μ(x)μ(x)即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u),g(u)连续、可微且f（u)牛g(u),＼,试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u＝(xy[f（xy)-g（xy)])-1证：在方程yf(xy)dx+xg(xy）dy=0两边同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0yx(f-g)+yx(f-g)+xyx2y2(f-g)2δyδyxy(fx2y2(f-g)2gyf-gyf-gyf-gyf-xy(f-g)2x(f-g)2(f-g)2常微分方程(第三版)课后答案而+=xy(f-g)+xy(f-g)-xgy(f-g)+xy-xyx2y2(f-g)2xy(f-g)2(f-g)221.假设方程(2.43）中得函数M(x,y)N(x，y)满足关系=Nf(x)-Mg（y),其中f（x),g(y)分别为x和y得连续函数,试证方程(2.43）+g(y)dy)证明:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0f(x)dx+y)常u(δM-f(x)dx+f(x)dx+两边同乘以y-n,令z=y-n,常微分方程(第三版)课后答案-- - iiμ2常微分方程(第三版)课后答案μ221-M1μ2-习题2.43323-x3(-x3(2-2-1)2-1)（t)（t)常微分方程(第三版y,epppp=pp)p2常微分方程(第三版)课后答案22t（t)（t)1-t1-t-t(解:两边同除以x2,得：1习题2.54,x2yxy即-+x121-y2=c2uuyyx-xy解：两边同除以x,得=yxyyxy2得到uyy-+x-+xyxy2x3常微分方程(第三版)课后答案-u22-1-1dy(dy)2dy(dy)2dx（dx)2p2-lnp22p2-lnpx（dx)x+yu-1u12故方程的解为常微分方程(第三版)课后答案1_________=_________那么________=x-y(3y-解：将方程变形后得2x3y-1==-x2=-─常微分方程(第三版)课后答案34y2322即原方程的解为x3322x(dy)2令常微分方程(第三版)课后答案2c==1==122yyxyxyzzzyzzzzzy一422常微分方程(第三版tt22322xy3xy3=________=u+41-=77-dx，2两边积分得9ln7272y(y2-x2)解:两边同除以x，方程可化为:2-x2)yx2(u2x2-x2)3u3-u常微分方程(第三版)课后答案两边积分得11x4u21-u─x那么——u2lnulnux2x21两边积分得x2+exy=c26y3)623y222)常微分方程(第三版)课后答案1_______________=y2y22y233y33y两边同加上1，得=（*)3y将(*)/(＊＊）得3y==uv33.求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。解:设p(x,y)为所求曲线上的任一点,则在p点的切线l在y轴上的截距为:常微分方程(第三版)课后答案x2xx即d(y)=dlnxx34.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机,过了20秒钟后,艇的速度减至1-又F=kv,m-1km3355即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。1F合常微分方程(第三版)课后答案t(*)(*)式为一阶非齐线性方程,根据其求解公式有kdtdtmkttk2et22又当t=0时,V=0，故c= 22et2xxy2(**)x2x(exxe3x(**)2xdx1xx+cx/x/常微分方程(第三版)课后答案2-,该式是一个n=2的伯努利方程两边同除以z2两边同除以z211114x2是常微分方程(第三版)课后答案1z1222+x2xxx1x33=两边同除以z2两边同除以z21常微分方程(第三版)课后答案24x333x(x3x(x3zd-zx(xexxx习题3.11求方程dy=x+y2通过点(0，0)的第三次近似解;0xxdx2x[xx[x21-x221x[x=-x2+x5+x81常微分方程(第三版)课后答案=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解;0x0x[xx0x[xx0xxdx2-(x2-x5)2]dx-x2-x5=-x2-x5+x8-x11的解的存在区间,并求解第二次近似解,给出在解的存在空间的误差估计;解：因为M=max{x2-y2}＝4则h=min(a，)=M40Ψ(x)=y+(x2--12242242-2=y32常微分方程(第三版)课后答案-y33y(0）=0所以:y=x2设K为非负整数,f(t)和g(t)为区间a<t<β上的连续非负函数,a则有:f(t）<kexp(a证明:令R(t)=∫tf(s)g(s)ds,则R'(T)＝f(t）g（t)aR'(T)-R(t)g(t）=f(t)g(t)－R(t）g(t)（t）g(t)<kg(t)；a则有:g(s)ds)-R(t)g(t)exp(-∫tg(s)ds)aaa两边从a到t积分:aaa常微分方程(第三版)课后答案asas<k(1－1+exp(-∫tg(r)dr)=kexp（g(r)dr)a7题假设函数f(x，y)于(x,y）的领域内是y的不增函数,试证方程则满足:000x0Ψ(x)=y＋f(x,Ψ(x))dx0x0而Φ（x)-Ψ(x)=f(x,Φ(x))dx-f(x,Ψ(x))dx0=[f(x,Φ(x))_f(x,Ψ(x))dxx0-f(x,Ψ（x))<0x0则Φ(x)-Ψ(x)<0常微分方程(第三版)课后答案习题3.3000对一切xe(x,x]有常微分方程(第三版)课后答案002.Proof：因f(x,y)及δf都在G内连续，从而f(x,y)在G内关于yx00x000x0x(f(x,x(f(x,x0000xx0 ，；x—00常微分方程(第三版)课后答案000-00-3.解：这里f(x,y)=p(x)y+Ψ(x)满足故:-f(x,y)exp0x0xp(x)dxx0p(x)dx(xQ(x)e-000x0常微分方程(第三版)0故y0x0xp(x)dx0x0p(x)(x,x,y)Q(x)xy(x,x,y)0y(x,x,y)000xyxy-dx-dx00xxx常微分方程(第三版)课后答案两边对x求导，得p=2p+2xdp+2xp4+4x2p3-dp3)32p34p2p2p332（dx)dpp-1=,且y=x+1也是方程的解,但不是奇解.2dx（dx)222常微分方程(第三版)课后答案（dx)dx2中消去c,(|dy)|2+2xdy-y=0（dx)dx31-1，3可知此方程没有奇解.（dx)（dx)dx(dy（dx)c22（dx)（dx)常微分方程(第三版)课后答案-p-p2+2,可知此方程没有奇解.（dx)（dx)x──可知此方程没有奇解.3两边对x求导,得p=2+dp-p2-dpp-2________=23常微分方程(第三版)课后答案（dx)dx2dxdx（dx)（二)求下列曲线族的包络.2解:对c求导,得x+2c＝0，c=-x,242-2y2常微分方程(第三版)课后答案解:对c求导，得-2（x-c）=4，c=x+2,它与X轴、Y轴的截距分别为X=x--y,证：克莱洛方程y=xp+f（p)的p-判别曲线就是用p-消去法，f(t)＋f(t)＋f(t)那么不妨设x(t)不为零，则有=-β2.证明非齐线形方程的叠加原理:设x(t)，x(t)分别是非齐线形方程dnxn-1xdtn1dtn1n的解,则x(t)+x(t)是方程dnxn-1xdtn1dtn-1n12证明:由题可知x(t)，x(t)分别是方程（1),(2）的解 dtn-1n11(3)dtn1dtn-1n22那么由(3(4）得:212dtn1dtn-1nd2x3.试验证-x=0的基本解组为et,e-td2xd2xd2x同理求得e-t也是该方程的解又显然et,e-t线形无关,故et,e-tt-t--t=cost2t－et=0,即et是该方程的解,d2x-t-1cost24.试验证+-x=0有基本解组t,et并求方程+dt21-tdt1解：由题将t代入方程2─+-─t=+─同理et也是该方程的解，又显然t,et线形无关，故t,et是方程故t,et是方程t+-t2121-et21-e-t1-et21-e-t222002t2(t-t+e-t)22d2xt-ce-t2-2-et+e-t00221-et21-e-t211-et1-et2x2-tx(t)=而此方程同时满足初始条件00,于是：,于是：000,,,==002=002,02,x-x+00e-t满足要求的解。2i常微分方程(第三版)课后答案1==0,,x…xx…xx…x,1,n,x…xx(n一2)…x(n一2)x1(n1)…xn(n1)x1(n)…xn(nx(n一2)…x(n一2)xkx…x,1,nx(n一2)…x(n一2)0tt02常微分方程(第三版)课后答案xx0””,,,”,,,2(2)因为x,x为方程的解,则由刘维尔公式x--=t0--=t011两边都乘以—1两边都乘以—则有:,于是:1x22x1t -a11,xx1xx2-a1xct08.试证n阶非齐线形微分方程(4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。)为(4.1)对应的齐线形方程的一个基本解组,x(t)是(4.1)的一个即:Σiiiii(*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！ii)为（4.1)对应的齐线形方程的一个基本解组，习题4.2常微分方程(第三版)课后答案t,a3x故通解为x=at45解:特征方程λ2故通解为t2231212t222常微分方程(第三版)课后答案a2261齐线性方程的通解为x=2t1tt程解得A=-4,B=-1故通解为x=2t1tt故齐线性方程的通解为x=tttt=11223故齐线性方程的通解为1112-t3tt2常微分方程(第三版)课后答案因为+-2i不是特征根5t特征方程的根,故=Atet代入原方程解得A=13tt3t22at，λ=1不是特征方程的根，故=Aet代入原方程解得A=12t22t2t常微分方程(第三版)课后答案2t代入原方程解得A=1原方程解得A=-5,B=_-4tsin2t+(5cost_4sint)e__t1A=_122sint_-tcost2132（*)2常微分方程(第三版)课后答案b）试验证w（t）＝cu(t)+cv(t）是方程组(*)的满足初始条件22因此u（t),v(t)分别是给定初值问题的解.22w'(t）=cu'(t)+cv'(t)2=1w(t)2.将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题:常微分方程(第三版)课后答案tlyx(0)=1，x‘（0)=0，y(0)=0,y‘解:a)令x=x,x=x‘,得(x'lx'1]1]-(|〈4x'422b）令x=x1b）令x=x1