辽宁省名校联盟2023-2024学年高三上学期第三次联考数学模拟卷A（含解析）

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解析版

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合，则（）。

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】∵，，

∴，故选A。

2．已知复数满足：，则（）。

A、B、C、D、

【答案】B

【解析】设（），则，∴，

∴，解得、，∴，故选B。

3．命题：设为的内角，则“是的充分不必要条件”，命题：设，则“是的充分不必要条件”，命题：设两个非零向量、，则“且”是“”的充分不必要条件。则这三个命题中为真命题的个数是（）。

A、B、C、D、

【答案】B

【解析】（）或（），∴不一定成立，

反之若，则一定成立，∴“是的必要不充分条件”，∴命题是假命题，

，∴充分性成立，

反之，若，有可能，此时不成立，

∴“是的充分不必要条件”，∴命题为真命题，

非零向量、，“且”，则、可能是方向相反向量，∴推不出成立，

当时，一定有且，

∴“且”是“”的必要不充分条件，∴命题为假命题，

故选B。

4．瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：“日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川。飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为，沿山道继续走，抵达点位置测得瀑布顶端的仰角为。已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为，则该瀑布的高度约为（）。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】如图所示，设瀑布顶端为，底端为，瀑布高为，

该同学第一次测量时的所处的位置为，第二次测量时的位置为，

由题意可知，、，且，∴、，

在中，由余弦定理可知：，

即，解得，故选A。

5．已知函数，函数，用表示、中的最小值，设函数

，则函数的零点个数为（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】作出函数和函数的图像如图，两个图像的下面部分图像，

解得或，解得或，

∵，∴当时，函数的零点个数为个，故选C。

6．设定义在上的偶函数（，），对任意都有

，则当取最小值时，（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】，∵为偶函数，∴（），解得（），

∵，∴令，得，即，

由得，

把换成得，∴的最小正周期，∴，

∴，∴，故选C。

7．已知函数（，）为奇函数，（为常数），且，

恒成立。设与的图像在轴右侧的交点依次为、、……，为坐标原点，若的面积最小值为，且为钝角，则的取值范围为（）。

A、B、C、D、

【答案】D

【解析】∵为奇函数，∴，∴（），

又∵，∴，∴，

又（为常数），且，恒成立，

∴，∴，∴，∴，

做与的大致图像如图所示，

设的周期为，在轴右侧的第二个零点为，

四边形则是平行四边形，、，

则，解得，

又∵，∴，解得，

综上所述，的取值范围为，故选D。

8．已知、、满足：，，则（）。

A、、B、、

C、、D、、

【答案】B

【解析】由题意得，即，则，则，

令，，根据减函数加减函数为减函数的结论知：在上单调递减，

当时，可得，∴，

两边同取以为底的对数得，

对通过移项得，

两边同取以为底的对数得，

∴，∴，∴且、，∴，∴A、C选项错，

当时，、，，

，∴，且、，

∴，∴D选项错，故选B。

二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。

9．已知，则下列不等式正确的是（）

A、B、C、D、

【答案】ABC

【解析】A选项，∵，∴，对，

B选项，∵，，∴，对，

C选项，∵，∴，∴，对，

D选项，设，则，∴在上单调递增，

∵，∴，∴，错，

故选ABC。

10．已知平面向量、，则下列说法正确的是（）。

A、B、在方向上的投影向量为

C、与垂直的单位向量的坐标为D、若向量与向量共线，则

【答案】AD

【解析】A选项，由题意知、，，则，对，

B选项，在方向上的投影向量为，错，

C选项，与垂直的单位向量的坐标为或，错，

D选项，∵向量与向量共线，∴若存在，使得，则，

∴，对，

故选AD。

11．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则以下结论正确的是（）。

A、B、C、D、

【答案】AB

【解析】在中，，

∵，∴，∴A选项对，

由余弦定理得，，∴，

由正弦定理得，，∴，即，

∴或，若，可得，∴，

又，∴，此时，，满足，∴B选项对，

当、时，，∴C选项错，

由B选项可知，∴，即，∴D选项错，

故选AB。

12．在三棱锥中，，，，为的外心，则下列说法正确的是

（）。

A、当时，B、当时，平面平面

C、直线与平面所成角的正弦值为D、三棱锥的高的最大值为

【答案】ABC

【解析】A选项，当时，∵，，∴为等边三角形，

又，∴三棱锥为正三棱锥，∴，对，

二级结论：正三棱锥的侧棱与底面相对的底棱相互垂直。

B选项，∵为的外心，，

∴点在平面的射影为点，∴平面，

又、、，∴为直角三角形，，

∴点为的中点，又∵平面，∴平面平面，对，

C选项，由B选项可知平面，又平面，∴，

∴即为直线与平面所成角的平面角，

设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，∴，

∴，∴，对，

D选项，在中，，，

由余弦定理得，∴，

∴，

∴，

在中，由余弦定理得：

，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，

设三棱锥的高为，∵，∴，

∴，

∴三棱锥的高的最大值为，错，

故选ABC。

三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。

13．如图所示，有一电视塔，在地面上一点测得电视塔尖的仰角是，再向塔底方向前进米到达点，此时测得电视塔尖的仰角为，则此时电视塔的高度是米。（精确到米）

【答案】

【解析】由题得、、，设，则，

在中，，，∴米。

∴此时电视塔的高度是米。

14．已知，，则的取值范围为。

【答案】

【解析】设，，则，

同理，则的最小值为，

当且仅当且、同向时取等号，

，

则，

当且仅当，即，即时取等号，

∴的取值范围为。

不等式链：。

15．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程

（）有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围为。

【答案】

【解析】∵函数是定义域为的偶函数，当时，，

∴当时，，

作函数的图像，

由于关于的方程，

解得或，

当或时，，当或时，，

由，则有个实根，由题意，只要有个实根，

由图像可得当时，有个实根，当时，有个实根，

综上可得：或，即实数的取值范围为。

16．已知函数，函数，若，使得（）成立，则实数的取值范围为。

【答案】

【解析】当时，、，

当时，，

令，定义域为，，

令，定义域为，

，∴在内单调递增，而，

∴当时，，即，∴在内单调递减，

当时，，即，∴在内单调递增，

∴在处取得极小值也是最小值，∴，

∴，解得，即实数的取值范围为。

四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分分）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足。

（1）求；

（2）若，，是的中线，求的长。

【解析】（1）在中，，∵，

∴，2分

由正弦定理得：，∴，

∵、，∴、，∴，∴；4分

（2）∵，∴，∴，∴，5分

由余弦定理得：，∴，6分

又∵是的中线，∴，

∴，∴，9分

∴的长为。10分

18．（本小题满分分）设正项数列的前项和为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和。

【解析】（1）当时，，即，

解得（舍去）或（可取），2分

当时，，，

两式相减得：，

即，即，4分

∵恒成立，∴，∴，

∴是首项为，公差为的等差数列，∴；6分

（2）由（1）可得，7分

∵是首项为，公差为的等差数列，∴，9分

∴，11分

∴。12分

19．（本小题满分分）已知曲线（，）相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数的图像先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图像，且为奇函数。

（1）求函数的的解析式和其图像的对称中心；

（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围。

【解析】（1）由题意可知，∴，∴，1分

将函数的图像先向左平移个单位，再向下平移个单位后得到的新函数为：

，2分

又为奇函数，且定义域为，∴且，，，

∴，，∴，4分

令，，解得，，

∴的对称中心为，；5分

（2）由（1）可知，设，

∵，∴，∴，∴，

由关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，

可得在区间内有唯一一个实数根，7分

令，则，

当在内有两个根时，

只需，即，即，9分

当在内有唯一一个根时，

只需，即，即，11分

综上所述，或。12分

20．（本小题满分分）已知函数（）。

（1）若函数在处的切线的斜率为，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围。

【解析】（1）的定义域为，，1分

则，解得；3分

（2）由可得：，4分

令，则的定义域为，，5分

令，的定义域为，恒成立，6分

∴在上单调递增，又，且，7分

∴存在，使得，即，8分

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴为的极小值，也是最小值，，9分

令，两边同时取对数得：，

又由得，则，则，即，

∴，即，∴，

∴，解得，∴实数的取值范围为。12分

21．（本小题满分分）已知数列是各项为正数的等差数列，其中，且、、成等比数列，数列的前项和为，满足。

（1）求数列、的通项公式；

（1）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由。

【解析】（1）设的公差为，∵，∴，

∵、、成等比数列，∴，即，

∵，∴，即，

整理得，即，解得（舍去）或（可取），

∴，3分

当时，，∴，

当时，，∴，∴，

∴是首项为、公比为的等比数列，；5分

（2）由（1）可知，，6分

∴

，

，

∴，

∴，9分

∵，∴，整理得，

构造函数，，，

当时，恒成立，∴在内连续且单调递增，

又、，∴满足成立的的最小值为。12分

22．（本小题满分分）已知函数，。

（1）求函数的单调区间；

（2）若，求实数的取值范围。

【解析】（1）的定义域为，，1分

当时，令，解得，

当时，，∴在内单调递减，

当时，，∴在内单调递增，2分

当时，恒成立，∴在上单调递减，3分

当时，当时，，∴在内单调递增，

当时，，∴在内单调递减；4分

（2）原不等式为，即，

∵，∴，6分

设，定义域为，则在内单调递增，

又、，∴存在唯一一个使得，即，8分

设，定义域为，，令，解得，

当时，，∴在内单调递减，

当时，，∴在内单调递增，

∴在处取得极小值也是最小值，∴，∴，

∴，∴，10分

∴，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，

∴，∴实数的取值范围为。12分辽宁省名校联盟2023-2024学年高三上学期第三次联考数学模拟卷A

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合，则（）。

A、

B、

C、

D、

2．已知复数满足：，则（）。

A、

B、

C、

D、

3．命题：设为的内角，则“是的充分不必要条件”，命题：设，则“是的充分不必要条件”，命题：设两个非零向量、，则“且”是“”的充分不必要条件。则这三个命题中为真命题的个数是（）。

A、

B、

C、

D、

4．瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：“日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川。飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为，沿山道继续走，抵达点位置测得瀑布顶端的仰角为。已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为，则该瀑布的高度约为（）。

A、

B、

C、

D、

5．已知函数，函数，用表示、中的最小值，设函数

，则函数的零点个数为（）。

A、

B、

C、

D、

6．设定义在上的偶函数（，），对任意都有

，则当取最小值时，（）。

A、

B、

C、

D、

7．已知函数（，）为奇函数，（为常数），且，

恒成立。设与的图像在轴右侧的交点依次为、、……，为坐标原点，若的面积最小值为，且为钝角，则的取值范围为（）。

A、

B、

C、

D、

8．已知、、满足：，，则（）。

A、、

B、、

C、、

D、、

二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。

9．已知，则下列不等式正确的是（）

A、

B、

C、

D、

10．已知平面向量、，则下列说法正确的是（）。

A、

B、在方向上的投影向量为

C、与垂直的单位向量的坐标为

D、若向量与向量共线，则

11．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则以下结论正确的是（）。

A、

B、

C、

D、

12．在三棱锥