高数曲线和方程

曲线与方程曲线与方程热身练习热身练习1．曲线C的方程为，则是点在曲线C上的 ( )A．充足不必要条件B．必要不充足条件C．充要条件D．既不充足又不必要条件2．方程的曲线是 ( )A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对3．若点在曲线上，则．4．若方程的曲线不是C，那么下列命题中对的的是 ( ) A．以方程的每一组解为坐标的点都不在曲线C上 B．方程有无限组解，以这些解为坐标的点都不在曲线C上 C．最少存在方程的一组解，以这组解为坐标的点不在曲线C上 D．以方程的每一组解为坐标的点，有可能都在曲线C上知识梳理1．曲线方程的定义：普通地，如果曲线C与方程之间有下列两个关系：①曲线C上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点．此时，把方程叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程的曲线．2．运用集合与对应的观点理解曲线方程的概念：设表达曲线上适合某种条件的点的集合；表达二元方程的解对应的点的坐标的集合．于是，方程叫做曲线C的方程等价于，即．3．求曲线方程的普通环节：（1）建立适宜的直角坐标系（如果已给出，本环节省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；（4）用坐标表达这个等式，并化简；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述五个环节可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．4．求曲线方程的办法；（1）直译法：根据条件中提供的等量关系，直接列出方程；（2）代入法：在变化过程中有两个动点，已知其中一种动点在定曲线上运动，求另一动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代人到已知曲线之中，得出所规定的轨迹方程；（3）参数法：单参数法；交轨法；坐标法；定形法．例题解析例题解析1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义【例1】如果曲线C上任意一点的坐标都是方程的解，那么下列命题中对的的是()A．曲线C的方程是 B．曲线C上的点都在方程的曲线上C．方程的曲线是C D．以方程的解为坐标的点都在曲线C上【例2】画出方程所对应的曲线：．【巩固训练】1．是点在曲线上的条件．2．如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上．”是不对的的．那么下列命题中对的的是（）坐标满足方程的点都不在曲线上；曲线上的点的坐标不都满足方程；坐标满足方程的点，有些在曲线上，有些不在曲线上；最少有一种不在曲线上的点，它的坐标满足方程．方程的曲线通过点中的（）4个；3个；2个；1个．3．方程(x2＋y2－4)eq\r(x＋y＋1)＝0的曲线形状是()．2、动点轨迹方程的求解【例3】已知点、，顶点在坐标平面上运动，且满足，求动点的轨迹方程．【例4】（1）已知两个定点，且，动点到点的距离与到点的距离之比为，求动点的轨迹方程；（2）的边长为，边上的中线长为，试求顶点的轨迹方程；（3）已知，动点在曲线上运动，求线段中点的轨迹方程；（4）求直线与直线的交点的轨迹方程．【例5】已知曲线C的方程是（1）曲线C有关点对称的曲线的方程；（2）曲线C有关直线对称的曲线的方程．【例6】设两点，求（1）觉得一条直角边的的顶点的轨迹方程；（2）满足面积为的点的轨迹方程；（3）觉得斜边的的顶点的轨迹方程；（4）觉得一条边的矩形（按逆时针方向排列）的顶点的轨迹方程．【巩固训练】1．动点到轴，轴的距离相等，则动点的轨迹方程是．2．动点到的距离为，则动点的轨迹方程是．3．已知定点和曲线上的动点，求线段中点的轨迹方程．4．若点M为直线上的一点，A（4，2）为一定点，又点P在线段AM上运动，且求动点P的轨迹方程．5．已知直线过点且与抛物线相交于、两点，求线段的中点的轨迹方程6．过点作互相垂直的两条直线，设直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的轨迹方程．7．已知点、，动点在轴上方．（1）若，求的外心的轨迹方程；（2）若，求的外心的轨迹方程．3、曲线的交点【例7】若直线与抛物线相交与不同的两点、，求：（1）实数的取值范畴；（2）的长； （3）线段的中点坐标．【例8】已知曲线的方程是，当为什么值时，直线与曲线有两个不同的交点？一种交点？没有交点？【例9】曲线与直线有两个交点时，试求出实数的取值范畴．【例10】若直线与曲线仅有一种公共点，则实数__________．【例11】曲线和，其中仅有一种公共点，求公共点的轨迹方程．【例12】(1)在平面直角坐标系内，方程表达的曲线与直线的交点个数为．(2)已知直线与有两个交点，则的取值范畴．(3)已知函数曲线，对，研究该曲线与曲线的图像交点的个数，并写出你的研究结论．【巩固训练】1．曲线C的方程是，点不在曲线C上，则方程表达的曲线与曲线C的关系是（）A．有一种交点 B．有无穷多个交点 C．无交点 D．皆有可能2．若直线与抛物线交于两点、，且，则____________．3．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范畴为________．4．若直线与曲线的两个交点正好有关直线对称，求的值．5．方程和表达的曲线有两个交点，求的取值范畴．综合应用【例13】以曲线与曲线的交点为顶点作多边形，则此多边形的面积为．【例14】动点到两定点距离之比为（1）求点的轨迹方程；（2）点在什么位置时，的面积最大？【例15】已知直线与曲线试问：与否存在非零整数，使直线与曲线含有横坐标为正整数的公共点．【例16】如图，在平面直角坐标系中，是一种与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么全部这样的点构成的集合是劣弧()A． B． C． D．【例17】（1）若两条曲线的方程是，证明：方程的曲线也通过为任意实数）；（2）求通过曲线的交点的直线方程．【巩固训练】1．若点在曲线上，是原点，则的最小值为．2．已知点，点在二次函数的图像上运动，表达与的面积之差，求的最小值，并求此时点的坐标．3．已知曲线，求曲线与线段有两个不同交点的充要条件．反思总结1．重要办法:

①曲线和方程的对的理解；②求轨迹方程的办法:定义法和待定系数法以及几何意义求法．2． 易错、易漏点:①曲线和方程的定义中，两个关系缺一不可；只有同时符合，才干将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题；②在求解轨迹方程的过程中要注意去掉不满足实际意义的点．课后练习1．方程的曲线过原点的条件是．2．若点在方程所示的曲线上，则．3．当变化时，曲线恒过定点．4．条件：点在直线上，条件：点在曲线上，则成立是成立的条件．5．到两坐标轴距离的积为2的动点轨迹方程是．6．若直线与曲线的两个交点的横坐标之和恰为零，则．7．若点在曲线上，为原点，则的最小值是．8．方程在平面直角坐标系中所围成的封闭图形的面积是9．命题：曲线上的点的坐标都是方程的解，命题：曲线是方程的曲线，则成立是成立的（）A．充足不必要条件 B．必要不充足条件 C．充要条件 D．既不充足也不必要条件10．已知两个点、B（