(完整版)高一函数大题训练附答案解析

(完整版)高一函数大题训练附答案解析一、解答题1．已知函数满足，当时，，当时，的最大值为-4.（1）求时函数的解析式；（2）是否存在实数使得不等式对于时恒成立，若存在，求出实数的取值集合，若不存在，说明理由.2．已知偶函数满足：当时，，当时，.(1)求当时，的表达式；(2)试讨论：当实数满足什么条件时，函数有4个零点，且这4个零点从小到大依次构成等差数列.3．已知有穷数列、（），函数.（1）如果是常数列，，，，在直角坐标系中在画出函数的图象，据此写出该函数的单调区间和最小值，无需证明；（2）当，（）时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；（3）当，，时，求该函数的最小值.4．已知函数我们定义其中（1）判断函数的奇偶性，并给出理由；（2）求方程的实数根个数；（3）已知实数满足其中求实数的所有可能值构成的集合.5．对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；（3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围.6．对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：①在内是单调函数：②当定义域为时，的值域为，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”.（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；（2）若函数（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围；（3）对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.7．已知函数，，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类增周期函数，周期为，若恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为.（1）已知函数是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；（2）已知，是上级类周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由.8．已知函数（1）当时，求函数在的值域；（2）若存在零点，求的取值范围.9．已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若不等式至少有一个负解，求实数的取值范围.10．已知函数.（1）判断的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；（2）设，试讨论的零点个数情况.11．已知定义在上的偶函数和奇函数，且.（1）求函数，的解析式；（2）设函数，记.探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.12．已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为．⑴求，，并猜想不要求证明)；⑵令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；⑶已知数列满足：，数列满足：，求证：．13．记函数的定义域为D.如果存在实数、使得对任意满足且的x恒成立，则称为函数.（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；（2）设函数，其中常数，证明：是函数；（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（m为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.14．若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”．（1）若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；（2）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数,都有．15．已知函数

是奇函数.(1)判断函数在上的单调性,并用定义法证明你的结论;(2)若对于区间上的任意值,使得不等式恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】一、解答题1．（1）f（x）＝lnx－x；（2）{1}【解析】【详解】试题分析：（1）由已知得：f（x）＝2f（x＋2）＝4f（x＋4），设x∈（－4，－2）时，则x＋4∈（0，2），代入x∈（0，2）时，f（x）＝lnx＋ax（a＜−），求出f（x＋4）＝ln（x＋4）＋a（x＋4），再根据当x∈（－4，－2）时，f（x）的最大值为－4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a的值，进而求得结论；（2）假设存在实数b使得不等式对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式恒成立，利用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，即可求得b的值．试题解析：（1）由已知，f（x）＝2f（x＋2）＝4f（x＋4）当x∈（0，2）时，f（x）＝lnx＋ax（a＜－）当x∈（－4，－2）时，x＋4∈（0，2），∴f（x＋4）＝ln（x＋4）＋a（x＋4）∴当x∈（－4，－2）时，f（x）＝4f（x＋4）＝4ln（x＋4）＋4a（x＋4）∴f'（x）＝＋4a＝4a•，∵a＜−，∴−4＜−−4＜−2，∴当x∈（−4，−−4）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（−−4，−2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，∴f（x）max＝f（−−4）＝4ln（−）＋4a（−）＝−4，∴a＝－1∴当x∈（0，2）时，f（x）＝lnx－x（2）由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式恒成立，即为恒成立，①当x∈（0，1）时，⇒b＞x−lnx，令g（x）＝x−lnx，x∈（0，1）则g′（x）＝1−＝令h（x）＝2−lnx−2，则当x∈（0，1）时，h′（x）＝＝＜0∴h（x）＞h（1）＝0，∴g′（x）＝＞0，∴g（x）＜g（1）＝1，故此时只需b≥1即可；②当x∈（1，2）时，⇒b＜x−lnx，令φ（x）＝x−lnx，x∈（1，2）则φ′（x）＝1−＝令h（x）＝2−lnx−2，则当x∈（1，2）时，h′（x）＝＝＞0∴h（x）＞h（1）＝0，∴φ′（x）＝＞0，∴φ（x）＞φ（1）＝1，故此时只需b≤1即可，综上所述：b＝1，因此满足题中b的取值集合为：{1}考点：利用导数研究函数的单调性，最值，函数的周期性，不等式恒成立问题，分类讨论．2．（1）；（2）①时，；②时，；③时，.【解析】【详解】(1)因为f(x)为偶函数，只需用-x代替中的x即可得到当时，的表达式;(2)零点，与交点有4个且均匀分布.所以,然后再分或或或四种情况讨论求出m的值．解：（1）设则，又偶函数所以，………3分（2）零点，与交点有4个且均匀分布（Ⅰ）时，得，所以时，…………5分（Ⅱ）且时，，所以时，……………7分（Ⅲ）时m=1时符合题意………8分（IV）时，，,m此时所以（舍）且时，时存在………10分综上：①时，②时，③时，符合题意………12分3．（1）图象见解析；递减区间，递增区间，最小值；（2）单调递增；理由见解析；（3）.【解析】（1）根据条件采用零点分段的方法作出函数的图象，根据图象确定出的单调区间和最小值；（2）写出的解析式，根据分析函数的结构，从而判断出的单调性；（3）先根据条件证明出的单调性然后即可求解出的最小值.【详解】（1）如图所示，由图象可知：单调递减区间，单调递增区间，最小值；（2）因为且,所以，所以，所以，所以且，所以在上单调递增；（3）因为，显然当时，单调递增，当时，单调递减，设存在一个值，使得时递减，时递增，此时最小值即为，下面证明存在：因为若要时递减，时递增，则有，解得：，且，解得：，所以，所以，所以存在满足条件，故假设成立，综上可知：在上单调递减，在上单调递增，【点睛】本题考查数列与函数的综合应用，其中着重考查了函数单调性方面的内容，对学生的理解与分析能力要求较高，难度较难.4．（1）偶函数；答案见解析；（2）实数根个数为11；（3）.【解析】（1）由函数奇偶性的定义运算即可得解；（2）令，转化条件为或或或，再解方程即可得解；（3）按照、分类，结合函数的单调性可得，再代入验证即可得解.【详解】（1）因为的定义域关于原点是对称的，又，故函数是偶函数；（2）令，则，于是，于是或又，解得或或或，则方程的实数根个数即为或或或的根的总个数，解得或或或或或，所以方程的实数根个数为11；（3）因为，当时，在单调递减，且，，则的值域均为，①当时，，于是，因为当时，，所以，所以，即，注意到在单调递减，于是，于是，②当时，类比同理可得，于是当且时，，若，其中，，则，即，也就是；当时，因为的值域为，所以存在使得，又，所以，即，所以实数的所有可能值构成的集合为.【点睛】本题考查了函数奇偶性、函数与方程及函数单调性的应用，考查了运算求解能力，属于难题.5．(1)对于任意有为位差奇函数,不存在有为位差奇函数.(2);(3)【解析】【分析】(1)根据题意计算与,判断为奇函数的条件即可.(2)根据是位差值为的位差奇函数可得为R上的奇函数计算的值即可.(3)计算为奇函数时满足的关系,再根据对于任意都不是位差值为m的位差奇函数求解恒不成立问题即可.【详解】(1)由,所以为奇函数.故对于任意有为位差奇函数.又,设.此时,若为奇函数则恒成立.与假设矛盾,故不存在有为位差奇函数.(2)由是位差值为的位差奇函数可得,为R上的奇函数.即为奇函数.即,.(3)设.由题意对任意的均不恒成立.此时即对任意的不恒成立.故在无解.又,故.故【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,需要根据题意求所给的位差函数的表达式分析即可.属于中等题型.6．（1）证明见详解；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知，，转化为是方程的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题.【详解】（1）函数在时的值域为，不满足“保值函数”的定义，因此函数不是定义域上的“保值函数”.（2）因为函数在内是单调增函数，因此，，因此是方程的两个不相等的实根，等价于方程有两个不相等的实根.由解得或.（3），，即为对恒成立.令，易证在单调递增，同理在单调递减.因此，，.所以解得.又或，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.7．（1）；（2）；（3）当时，，；当时，，.【解析】【分析】（1）由题意f（x+1）＞2f（x）整理可求得a＜x﹣1，令x﹣1＝t（t≥2），由g（t）＝t在[2，+∞）上单调递增，即可求得实数a的取值范围；（2）由x∈[0，1）时，f（x）＝2x，可求得当x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m•2x﹣1，…当x∈[n，n+1）时，f（x）＝mn•2x﹣n，利用f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得m＞0且mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣（n﹣1），从而可求实数m的取值范围；（3）f（x+T）＝Tf（x）对一切实数x恒成立，即cosk（x+T）＝Tcoskx对一切实数恒成立，分当k＝0时，T＝1；当k≠0时，要使cosk（x+T）＝Tcoskx恒成立，只有T＝±1，于是可得答案．【详解】（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣x2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，整理得：（x﹣1）a＜x2﹣2x﹣1，∵x≥3，∴ax﹣1，令x﹣1＝t，则t∈[2，+∞），g（t）＝t在[2，+∞）上单调递增，∴g（t）min＝g（2）＝1，∴a＜1．（2）∵x∈[0，1）时，f（x）＝2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m•2x﹣1，…当x∈[n，n+1）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2f（x﹣2）＝…＝mnf（x﹣n）＝mn•2x﹣n，即x∈[n，n+1）时，f（x）＝mn•2x﹣n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m＞0且mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣（n﹣1），即m≥2．（3）由已知，有f（x+T）＝Tf（x）对一切实数x恒成立，即cosk（x+T）＝Tcoskx对一切实数恒成立，当k＝0时，T＝1；当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[﹣1，1]，又∵cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，故要使cosk（x+T）＝Tcoskx恒成立，只有T＝±1，当T＝1时，cos（kx+k）＝coskx得到k＝2nπ，n∈Z且n≠0；当T＝﹣1时，cos（kx﹣k）＝﹣coskx得到﹣k＝2nπ+π，即k＝（2n+1）π，n∈Z；综上可知：当T＝1时，k＝2nπ，n∈Z；当T＝﹣1时，k＝（2n+1）π，n∈Z．【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题，综合考查构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题．8．（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，函数，转化为二次函数问题，利用二次函数的性质，即可求解；（2）由（1）转化为二次函数存在零点，利用二次函数的图象与性质，即可求解．【详解】（1）当时，，令，，则，故，，故值域为.（2）关于的方程有解，等价于方程在上有解记当时，解为，不成立；当时，开口向下，对称轴，过点，不成立；当时，开口向上，对称轴，过点，必有一个根为正，所以，.【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，以及函数的零点问题的应用，其中解答中合理转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，属于基础题．9．（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，有，即，即可求得函数的零点；（2）不等式可化为，分别作出抛物线在轴上方的部分和抛物线在轴下方的部，结合图象求得两个临界位置，即可得到答案.【详解】（1）当时，函数，令，有，即，则，解得，即，故函数的零点为；（2）不等式可化为，如图所示，曲线段和分别是抛物线在轴上方的部分和抛物线在轴下方的部，因为不等式至少有一个负解，由图象可知，直线有两个临界位置，一个是与曲线段相切，另一个是通过曲线段和轴的交点，后者显然对应于；前者由可得到方程，由，解得，因此当时，不等式至少有一个负解，故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用函数的图象求解不等式的有解问题，其中解答中熟记函数零点的概念，以及合理利用函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.10．（1）的图象是中心对称图形，对称中心为：；（2）当或时，有个零点；当时，有个零点【解析】【分析】（1）设，通过奇偶性的定义可求得为奇函数，关于原点对称，从而可得的对称中心，得到结论；（2），可知为一个解，从而将问题转化为解的个数的讨论，即的解的个数；根据的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果.【详解】（1）设

定义域为：为奇函数，图象关于对称的图象是中心对称图形，对称中心为：（2）令，可知为其中一个解，即为一个零点只需讨论的解的个数即可①当时，无解有且仅有一个零点②当时，

为方程的解有，共个零点③当时，（i）若，即时，为方程的解有，共个零点（ii）若，即时，的解为：有且仅有一个零点（iii）若，即时，，方程无解有且仅有一个零点综上所述：当或时，有个零点；当时，有个零点【点睛】本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程根的个数的讨论，从而根据的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题.11．（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)已知，结合函数的奇偶性可得，解方程组即可得函数解析式；（2）由函数奇偶性的性质可知为奇函数，图象关于对称，则的图象关于点中心对称，利用对称性可得，然后利用恒成立问题解即可.【详解】（1），函数为偶函数，为奇函数，，，.（2）易知为奇函数，其函数图象关于中心对称，函数的图象关于点中心对称，即对任意的，成立.，.两式相加，得.即..，即..，恒成立.令，.则在上单调递增.在上单调递增..又已知，.【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数的对称性求值问题，考查恒成立问题的解法，属于中档题.12．⑴，,；⑵；⑶详见解析【解析】【分析】，，进而猜想出．.由，可得，，，，利用等比数列的求和公式即可得出.根据对任意恒成立即可得出范围．，记，可得，，记，可得，根据当时，即可得出．【详解】解：，猜想，由，，，，对任意恒成立⑶证明：，记，则，记，则，当时，可知：，【点睛】本题考查了数列与函数的关系、等比数列的通项公式与求和公式及其性质、三角函数求值及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13．(1)是函数(2)见解析(3)函数为周期函数【解析】【详解】试题分析：求出的定义域，对任意恒成立转化成对任意恒成立，解出，使得为函数只需证明存在实数，使得当且时，恒成立，化简求得，，满足条件图象关于直线对称，结合，整体换元得，从而证明结论解析：（1）是函数理由如下：的定义域为，只需证明存在实数，使得对任意恒成立.由，得，即.所以对任意恒成立.

即从而存在，使对任意恒成立.所以是函数.（2）记的定义域为，只需证明存在实数，使得当且时，恒成立，即恒成立.所以，化简得，.所以,.因为，可得，,即存在实数，满足条件，从而是函数.（3）函数的图象关于直线（为常数）对称，所以

（1），又因为

（2），所以当时，由（1）

由（2）

（3）所以（取由（3）得）再利用（3）式，.所以为周期函数，其一个周期为.当时，即，又，所以为常数.所以函数为常数函数，，是一个周期函数.综上，函数为周期函数点睛：本题主要考查知识点的是新定义函数，证明函数的特性，本题的解题关键是抓住新定义中的概念，可将问题迎刃而解．对于这类问题，我们要弄清问题的本质，在解题中适当的变形，已知条件的运用，函数周期性等的证明即可得证，本题有一定难度14．(