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文档简介
高一上学期期末数学试题本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由对数函数单调性解不等式,化简N,根据交集运算求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故选:D2.已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析】利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,即“SKIPIF1<0”可推出“SKIPIF1<0”;若SKIPIF1<0,结合SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0,或者SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,即“SKIPIF1<0”推不出“SKIPIF1<0”.故“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件.故选:A.3.SKIPIF1<0中,角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,那么满足条件的三角形的个数有()A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理求出SKIPIF1<0的值即可求解.【详解】因为在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由余弦定理可得:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,也即SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,所以满足条件的三角形的个数有2个,故选:SKIPIF1<0.4.已知曲线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则下面结论正确的是()A.把SKIPIF1<0上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移SKIPIF1<0个单位长度,得到曲线SKIPIF1<0B.把SKIPIF1<0上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移SKIPIF1<0个单位长度,得到曲线SKIPIF1<0C.把SKIPIF1<0上各点的横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移SKIPIF1<0个单位长度,得到曲线SKIPIF1<0D.把SKIPIF1<0上各点的横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移SKIPIF1<0个单位长度,得到曲线SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则,即可得解.【详解】已知曲线SKIPIF1<0,把曲线SKIPIF1<0上各点的横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0倍,纵坐标不变,得到曲线SKIPIF1<0,再把曲线SKIPIF1<0向左平移SKIPIF1<0个单位长度,得到曲线SKIPIF1<0,即曲线SKIPIF1<0.故选:C.5.用二分法判断方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的根(精确度0.25)可以是(参考数据:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)()A.0.825 B.0.635 C.0.375 D.0.25【答案】B【解析】【分析】设SKIPIF1<0,由题意可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上连续函数,由此根据函数零点的判定定理求得函数SKIPIF1<0的零点所在的区间.【详解】设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有零点,SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有零点,SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0根可以是0.635.故选:B.6.已知函数SKIPIF1<0,若函数SKIPIF1<0恰有两个零点,则实数SKIPIF1<0不可能是(
)A.SKIPIF1<0 B.-10 C.1 D.-2【答案】C【解析】【分析】依题意画出函数图像,函数SKIPIF1<0的零点,转化为函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的交点,数形结合即可求出参数SKIPIF1<0的取值范围;【详解】因为SKIPIF1<0,画出函数SKIPIF1<0的图像如下所示,函数SKIPIF1<0的有两个零点,即方程SKIPIF1<0有两个实数根,即SKIPIF1<0有两个实数根,即函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0有两个交点,由函数图像可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0不能为1,故选:C.7.已知SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值为()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.不存在【答案】B【解析】【分析】由SKIPIF1<0,代入已知条件解方程即可.【详解】SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,由三角函数的值域可知,SKIPIF1<0不成立,故SKIPIF1<0.故选:B8.已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】比较SKIPIF1<0,等价成比较SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0时的大小,结合函数的单调性,由数形结合即可判断;比较SKIPIF1<0,构造单位圆A如图所示,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于D,则比较SKIPIF1<0转化于比较SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的长度即可.【详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,函数图象如图所示,SKIPIF1<0均单调递增,且SKIPIF1<0,结合图象得在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0;如图,单位圆A中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于D,则SKIPIF1<0的长度SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则由图易得,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故当SKIPIF1<0时,有SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.综上,SKIPIF1<0.故选:D.【点睛】(1)比较对数式大小,一般可构造函数,根据函数的单调性来比较大小;
(2)比较非特殊角三角函数大小,可结合单位圆转化为比较长度,则可由数形结合解答.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在直角坐标系SKIPIF1<0中,角SKIPIF1<0的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】则题意可得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,A选项正确;SKIPIF1<0,B选项正确;SKIPIF1<0,C选项错误;由SKIPIF1<0,角SKIPIF1<0终边在第三象限,即SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即角SKIPIF1<0的终边在二、四象限,所以SKIPIF1<0,D选项正确.故选:ABD.10.下列说法正确的是()A.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0B.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0恒成立C.若正数a,b满足SKIPIF1<0,则ab有最小值D.若实数x,y满足SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0没有最大值【答案】BC【解析】【分析】对A举反例SKIPIF1<0即可判断,对B利用配方法即可判断,对C利用基本不等式得SKIPIF1<0,解出SKIPIF1<0范围即可,对D,利用正弦函数的有界性求出SKIPIF1<0的范围,再结合二次函数的最值即可判断.【详解】对A,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故A错误;对B,SKIPIF1<0,取等号的条件为SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,但SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0恒成立,故B正确;对C,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)所以SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时等号成立,则SKIPIF1<0,故C正确;对D,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故D错误.故选:BC.11.设函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0,最小值为SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值可能分别为()A.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0【答案】AC【解析】【分析】SKIPIF1<0可以表示为一个奇函数和常数之和,利用奇函数在对称区间上的最大值加最小值为SKIPIF1<0进行分析即可.【详解】记SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,定义域关于原点对称,由SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0为奇函数,设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值分别为SKIPIF1<0,根据奇函数性质,SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0,注意到SKIPIF1<0,经检验,AC选项符合故选:AC12.已知函数SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减,则下列结论正确的有()A.SKIPIF1<0的最小正周期是SKIPIF1<0B.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0恒成立,则满足条件的SKIPIF1<0有且仅有1个D.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半,求出周期范围,判断A,根据中心对称即可求值,知B正确,由周期的范围求出SKIPIF1<0的范围,利用函数平移求出周期,判断C,结合已知单调区间得出SKIPIF1<0范围后判断D.【详解】对于A,因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0的最小正周期的最小值为SKIPIF1<0,故A错误;对于B,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0对称,所以SKIPIF1<0,故B正确;对于C,若SKIPIF1<0恒成立,则SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的周期或周期的倍数,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即满足条件的SKIPIF1<0有且仅有1个,故C正确;对于D,由题意可知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0单调递减区间的子集,所以SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0,故D正确.故选:BCD第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设函数SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0______.【答案】12【解析】【分析】根据分段函数解析式,利用指数式和对数式的运算规则代入求值即可.【详解】函数SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故答案为:12.14.一艘轮船按照北偏东40°方向,以18海里/小时的速度直线航行,一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上,经过20分钟的航行,轮船与灯塔的距离为SKIPIF1<0海里,则灯塔与轮船原来的距离为_______海里.【答案】4【解析】【分析】先结合条件找出已知角及线段长,然后结合余弦定理即可直接求解.【详解】设轮船的初始位置为A,20分钟后轮船位置为B,灯塔位置为C,如图所示由题意得,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由余弦定理得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.则灯塔与轮船原来的距离为4海里故答案为:4.15.已知函数SKIPIF1<0.若函数SKIPIF1<0存在最大值,则实数a的取值范围是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】分段求出函数在不同区间内的范围,然后结合SKIPIF1<0存在最大值即可求解【详解】当SKIPIF1<0时,函数不存在最大值,故SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增,所以此时SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减,所以此时SKIPIF1<0,若函数SKIPIF1<0存在最大值,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0故答案:SKIPIF1<016.已知SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最大值为________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由SKIPIF1<0,通过研究函数SKIPIF1<0单调性可得SKIPIF1<0,后设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【详解】因SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.因函数SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上单调递增,则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,故有:SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时取等号,则此时SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0又函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时单调递减,在SKIPIF1<0时单调递增,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0【点睛】关键点点睛:本题涉及构造函数,含参二次函数的最值,难度较大.对于所给不等式,分离含x,y式子后,通过构造函数得到SKIPIF1<0.后将问题化为求含参二次函数的最值问题.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在SKIPIF1<0中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且SKIPIF1<0.(1)求角A的大小;(2)若SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的周长.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由SKIPIF1<0,根据正弦定理化简得SKIPIF1<0,利用余弦定理求得SKIPIF1<0,即可求解;(2)由SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,求得SKIPIF1<0,结合余弦定理,求得SKIPIF1<0,即可求解.【小问1详解】由题意及正弦定理知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【小问2详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0由①,②可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.18.已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值;(2)求SKIPIF1<0的值,并确定SKIPIF1<0的大小.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0,利用两角差的余弦公式求解SKIPIF1<0的值;(2)由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0,再求SKIPIF1<0,利用两角差的正切公式计算SKIPIF1<0的值,并得到SKIPIF1<0的大小.【小问1详解】SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【小问2详解】由(1)可知,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.19.已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的最小正周期和单调递增区间;(2)当SKIPIF1<0时,求SKIPIF1<0的值域.【答案】(1)SKIPIF1<0,单调递增区间为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由三角恒等变换化简解析式,由余弦函数的性质求解;(2)由余弦函数的性质得出SKIPIF1<0的值域.【小问1详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0,单调递增区间为SKIPIF1<0.【小问2详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.20.为了迎接亚运会,滨江区决定改造一个公园,准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草(如图).已知道路AB长为4km,四边形的另外两个顶点C,D设计在以AB为直径的半圆SKIPIF1<0上.记SKIPIF1<0.(1)为了观赏效果,需要保证SKIPIF1<0,若薰衣草的种植面积不能少于SKIPIF1<0km2,则SKIPIF1<0应设计在什么范围内?(2)若BC=AD,求当SKIPIF1<0为何值时,四边形SKIPIF1<0的周长最大,并求出此最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0,10km【解析】【分析】(1)由SKIPIF1<0,利用三角形面积公式得到SKIPIF1<0求解;(2)由BC=AD得到SKIPIF1<0,进而得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0,利用二次函数的性质求解.【小问1详解】解:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由题意,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0;【小问2详解】由BC=AD可知,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,从而四边形ABCD周长最大值是10km,当且仅当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时取到.21.已知函数SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为常数,且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是奇函数,求a的值;(2)证明:SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的零点;(3)设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零点为SKIPIF1<0,证明:SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)SKIPIF1<0是奇函数,由SKIPIF1<0恒成立,求a的值;(2)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是连续增函数,结合由零点存在定理可证;(3)把零点代入函数解析式,有SKIPIF1<0,由零点所在区间得SKIPIF1<0,化简变形可得结论.【小问1详解】由题意,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0,化简得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.【小问2详解】由题意,SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上都是连续增函数,∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是连续增函数,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以,由零点存在定理可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的零点.【小问3详解】由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,由(2)可知SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.【点睛】思路点睛:第3问的证明,可以从结论出发,经过变形,对数式换指数式,寻找与已知条件的关联.22.已知函数SKIPIF1<0满足:对SKIPIF1<0
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