苏科版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题06 二元一次方程组 认识、解方程组（含解析）

专题06二元一次方程组——认识、解方程组二元一次方程 二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.二元一次方程的解：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．二、二元一次方程组组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例也是二元一次方程组三、解二元一次方程组形式：（1）二元一次方程组的解是一组数对，必须同时满足方程组中每一个方程一般写成的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．消元：1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数.这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.代入：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．加减：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．四、三元一次方程组方法：（1）观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；（2）利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；（3）解这个二元一次方程组，求得两个未知数得值；（4）将这两个未知数得值代入原方程组中较简单得一个方程中，求出第三个未知数得值，从而得到原三元一次方程组得解。方法拓展二元一次方程取整已知关于x的方程SKIPIF1<0有整数解，求满足条件的所有整数k的值？方法：1.先移项使SKIPIF1<0；2.x和k都是整数，（9-k）是17的因数（分正负）；3.即可求解。二元一次方程组取整方程组SKIPIF1<0有正整数解，则正整数a的值为________．方法：1.解方程组SKIPIF1<0；2.x和y为正整数，a+4为13的正因数；3.求解即可。二元一次方程的新定义同以前的类型中的新定义二元一次方程组中换元思想用换元法解方程组SKIPIF1<0时，如果设SKIPIF1<0＝a，SKIPIF1<0＝b，那么原方程组可化为二元一次方程组___．方法：1.把题中的二元一次方程组转化成SKIPIF1<0；2.解出a和b的值，再代入求x和y的值即可。二元一次方程组中的误解已知方程组SKIPIF1<0，甲正确地解得SKIPIF1<0，而乙粗心地把C看错了，得SKIPIF1<0，试求出a，b，c的值．方法：1.由甲的条件可代入得SKIPIF1<0，c已求；2.由乙的条件得3a+6b=3，构造新的二元一次方程组SKIPIF1<0，求出ab即可。二元一次方程组中代换思想善于思考的小明在解方程组SKIPIF1<0时，采用了一种“整体代换”的解法：方法：1.将方程SKIPIF1<0变形：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0;2.把方程SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，求出x和y即可。二元一次方程组中有、无、无数解若方程组SKIPIF1<0无解，则SKIPIF1<0值是（

）SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2方法：1.把第二个方程整理得到SKIPIF1<0；2.然后利用代入消元法消掉未知数x得到关干y的一元一次方程；3.再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得．二元一次方程组中相反解求参若满足方程组SKIPIF1<0的x与y互为相反数，则m的值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．11 D．SKIPIF1<0方法一：直接用代入或加减消元求出x、y与m的关系式，构造关于m的一元一次方程方法二：直接构造x+y或其倍数，一步到位，构造关于m的方程为0.二元一次方程组中消元求参若关于x，y的二元一次方程组SKIPIF1<0的解满足2x+y＝3，求k的值．方法：运用消元法求出x、y和k的关系式，代入后面的二元一次方程，构造关于k的一元一次方程。二元一次方程组中换组求参方程组SKIPIF1<0和方程组SKIPIF1<0的解相同，则SKIPIF1<0____________方法：1.由解相同整理得SKIPIF1<0；2.求出x和y的解，代入SKIPIF1<0，求出a和b即可。【专题过关】类型一、认识二元一次方程与它的解【解惑】（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先判断选项中方程是否含有两个未知数并且未知数的次数都是1用排除法求出答案．【详解】解：①SKIPIF1<0属于二元二次方程，故不符合题意；②SKIPIF1<0符合二元一次方程的定义，故符合题意；③SKIPIF1<0不属于整式方程，故不符合题意；④SKIPIF1<0属于二元二次方程，故不符合题意；⑤SKIPIF1<0符合二元一次方程的定义，故符合题意；⑥SKIPIF1<0属于三元一次方程，故不符合题意．故选SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的概念，解题过程中需要注意的是熟练掌握二元一次方程的形式和特点：含有2个未知数以及未知数的次数都是1的整式方程．【融会贯通】1．（2023春·七年级单元测试）下列方程中，属于二元一次方程的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程.【详解】解：A、SKIPIF1<0，含有三个未知数，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；B、SKIPIF1<0，次数不为1，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；C、SKIPIF1<0，不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；D、SKIPIF1<0，是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键.2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下列是二元一次方程SKIPIF1<0的解为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】将各选项代入方程的左边计算，看是否等于5，如果等于5就是方程的解，如果不等于5，就不是方程的解．【详解】解：A．把SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不是二元一次方程SKIPIF1<0的解，故本选项不符合题意；B．把SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是二元一次方程SKIPIF1<0的解，故本选项符合题意；C．把SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不是二元一次方程SKIPIF1<0的解，故本选项不符合题意；D．把SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不是二元一次方程SKIPIF1<0的解，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．3.（2023春·浙江·七年级期中）若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一个解，则SKIPIF1<0的值为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】把SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0求出m，即可．【详解】解：把SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，属于基本题型，熟练掌握二元一次方程的解的概念是解题的关键．4.（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若方程SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的二元一次方程，则SKIPIF1<0的值为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据二元一次方程的定义可知：未知数的系数不能等于零，未知数的最高次数为SKIPIF1<0，然后进行求解即可．【详解】解：根据题意得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义问题，掌握定义是解题的关键．5.（2023春·湖南长沙·七年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是二元一次方程SKIPIF1<0的一个解，则代数式SKIPIF1<0的值是_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据SKIPIF1<0是二元一次方程SKIPIF1<0的一个解，得到SKIPIF1<0，利用整体思想代入代数式求值即可．【详解】解：∵SKIPIF1<0是二元一次方程SKIPIF1<0的一个解，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解是使等式成立的未知数的值，利用整体思想代入求值，是解题的关键．6.（2022春·广东佛山·七年级期中）把方程SKIPIF1<0改写成用含SKIPIF1<0的式子表示SKIPIF1<0的形式是_____．【答案】SKIPIF1<0【分析】通过移项，化系数为1的步骤将方程改写成用含SKIPIF1<0的式子表示SKIPIF1<0的形式，即可求解．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，根据等式的性质变形是解题的关键．类型二、二元与三元一次方程组的计算【解惑】（湖南省娄底市2021-2022学年七年级下学期期中考试作业（二）数学试题）解下列方程组：(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，然后将SKIPIF1<0的值代入SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0的值，进一步即可确定二元一次方程组的解；（2）由①得SKIPIF1<0，根据加减消元法SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，代入③可求出SKIPIF1<0的值，即可确定二元一次方程组的解．【详解】（1）将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，∴方程组的解为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，由①得SKIPIF1<0③，②SKIPIF1<0③得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入③，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴方程组的解SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元和代入消元法是解题的关键．【融会贯通】1．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列二元一次方程组：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）利用加减消元法进行计算即可；（2）利用加减消元法进行计算即可；（3）先利用去分母把方程组化简，再利用加减消元法进行计算即可．【详解】（1）解：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入②可得：SKIPIF1<0，所以原方程组的解为：SKIPIF1<0．（2）解：原方程组整理得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入①得：SKIPIF1<0，所以原方程组的解为：SKIPIF1<0．（3）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0③，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0④，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入①得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，故原方程组的解是SKIPIF1<0．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．2．（2023春·浙江·七年级期中）用适当的方法解下列方程组：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【分析】（1）利用加减消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可；（3）利用代入消元法求解即可；（4）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，解得：SKIPIF1<0，∴所以原方程组的解为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，解得：SKIPIF1<0，∴所以原方程组的解为SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，解得：SKIPIF1<0，∴所以原方程组的解为SKIPIF1<0；（4）方程组整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，解得：SKIPIF1<0，∴所以原方程组的解为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）解下列方程组：(1)SKIPIF1<0（代入消元）(2)SKIPIF1<0（加减消元）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用代入消元法计算即可；（2）利用加减消元法计算即可．【详解】（1）解：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，∴原方程组的解为SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴原方程组的解为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解本题的关键在熟练掌握加减消元法和代入消元法．4．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列方程或方程组：SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】方程组利用加减消元法求解即可．【详解】解：SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0③得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0③得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0原方程组的解为SKIPIF1<0．【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．5．（2023春·全国·七年级专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__．【答案】SKIPIF1<0【分析】将SKIPIF1<0看成已知数，解二元一次方程组即可【详解】解：方程组整理得：SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0①得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入②得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，将SKIPIF1<0看成已知数，转化为二元一次方程组是解题的关键．6．（2023春·全国·七年级专题练习）解方程组：SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据x、y、z的关系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后代入SKIPIF1<0求出k值即可解题．【详解】解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0原方程组的解为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解此题的关键是利用比的意义，设中间元解题代入简化解题过程．类型三、二元一次方程与方程组取整【解惑】（2023春·浙江·七年级期中）方程SKIPIF1<0的非负整数解有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】C【分析】把x看作已知数求出y，即可确定出非负整数解．【详解】解∶SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则方程的非负整数解为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故选∶C．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．【融会贯通】1．（2023春·全国·七年级专题练习）方程SKIPIF1<0的正整数解有（

）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】A【分析】先将方程化为SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0均为正整数进行分析即可得．【详解】解：方程SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为正整数，∴SKIPIF1<0，且是SKIPIF1<0的倍数，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为偶数，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0的正整数解为SKIPIF1<0，共有1组，故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）二元一次方程2x＋3y＝11的正整数解有（

）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】B【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．【详解】解：方程2x＋3y＝11，解得：y＝SKIPIF1<0，当x＝1时，y＝3；x＝4时，y＝1，则方程的正整数解有2组，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将x看做已知数求出y．3.（2019春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）已知a为正整数，关于x、y的方程组SKIPIF1<0的解都是整数，则a2＝（）A．1或16 B．4或16 C．1 D．16【答案】D【分析】根据加减法，可得（a+2）x＝6，根据a是正整数，x、y的值是整数，可得答案．【详解】SKIPIF1<0，①+②得，（a+2）x＝6，∵a为正整数，x为整数，∴a＝1，x＝2或a＝4，x＝1，又∵y是整数，∴a＝4，SKIPIF1<0，∴a2＝16．故选：D．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4.（2019春·浙江杭州·七年级校联考期中）使方程组SKIPIF1<0有自然数解的整数m（

）A．只有6个

B．只能是偶数

C．是小于12的自然数

D．是小于10的自然数【答案】A【分析】先解出含m的二元一次方程组，再根据有自然数解即可得到m的取值.【详解】解SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∵x,y为自然数解，故6+m=1，2,3,4,6,12，对应的m有6个，故选A.【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟知二元一次方程组的求解.5.（2022秋·云南文山·八年级统考期末）若SKIPIF1<0是关于x、y的二元一次方程SKIPIF1<0的正整数解，则SKIPIF1<0的值为__________．【答案】4或5或6．【分析】根据题意求出a、b，然后代入求解即可．【详解】解：∵SKIPIF1<0是关于x、y的二元一次方程SKIPIF1<0的正整数解，∴SKIPIF1<0，且a、b为正整数，∴符合条件的整数解为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：6或5或4．【点睛】本题考查二元一次方程的解、代数式求值；理解二元一次方程的解，正确求出a，b值是解答的关键．6.（2022春·江苏·七年级专题练习）SKIPIF1<0为正整数，已知二元一次方程组SKIPIF1<0有整数解，则SKIPIF1<0为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用加减消元法易得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的解，由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均为整数可解得SKIPIF1<0的值．【详解】解：解方程组SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程组SKIPIF1<0有整数解，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为正整数，SKIPIF1<0，故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟悉相关解法是解题的关键．类型四、二元一次方程的新定义【解惑】（2023春·浙江·七年级专题练习）定义新运算：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a，b的值分别为（

）A．2，3 B．2，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，3 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用新运算列出二元一次方程组SKIPIF1<0，进行解方程即可．【详解】解：由题意列方程组为：SKIPIF1<0，①×2+②得：5b=15，解得：b=3，将b=3代入①得：a=-2，故选：C．【点睛】本题主要考查的是利用新运算构造二元一次一次方程组并解方程组，利用合适的方法解方程组即可．【融会贯通】1．（2023春·全国·七年级专题练习）对于有理数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义一种新运算：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__．【答案】20【分析】先根据新定义得出方程组SKIPIF1<0，解之求出a、b值，再代入求解即可．【详解】解：根据题中的新定义化简得：SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入①得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则原式SKIPIF1<0．故答案为：20．【点睛】本题考查新定义，解二元一次方程组，根据新定义得出方程组SKIPIF1<0是解题的关键．2．（2023春·浙江·七年级阶段练习）定义运算“*”，规定x*y＝SKIPIF1<0，其中a，b为常数，且1*2＝5，2*3＝10，则4*5＝_____．【答案】26【分析】根据已知定义得出方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理后得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，再根据定义得出算式，最后求出答案即可．【详解】解：∵1*2＝5，2*3＝10，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：a＝1，b＝2，∴4*5＝SKIPIF1<0，故答案为：26．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．3．（2022秋·重庆·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）定义：对任意一个两位数SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为SKIPIF1<0．例如：SKIPIF1<0，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为SKIPIF1<0，和与11的商为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．根据以上定义，回答下列问题∶(1)下列两位数30，52，77中，“互异数”为；SKIPIF1<0________．(2)若“互异数”SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求所有“互异数”SKIPIF1<0．【答案】(1)52，6(2)14或23或32或41【分析】（1）根据题目中“互异数”的定义进行判断；再根据SKIPIF1<0的定义计算即可；（2）设“互异数”b的个位数字为x，十位数字为y，根据题目中“互异数”的定义列式求出SKIPIF1<0，即可得到所有“互异数”b的值；【详解】（1）解：由“互异数”的定义得，两位数30，52，77中，“互异数”为52，SKIPIF1<0，故答案为：52，6；（2）解：设“互异数”b的个位数字为x，十位数字为y，则SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴所有“互异数”b的值为14或23或32或41．【点睛】本题考查了新定义、二元一次方程的整数解、整式的加减运算，解答本题的关键是理解新定义及其运算方法．4．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）定义：数对SKIPIF1<0经过一种运算可以得到数对SKIPIF1<0，将该运算记作：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数）．例如，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0__________；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；(3)如果组成数对SKIPIF1<0的两个数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足二元一次方程SKIPIF1<0时，总有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________，SKIPIF1<0__________．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0；-1【分析】（1）根据新定义运算进行计算即可求解；（2）根据新定义运算列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（3）根据题意可得SKIPIF1<0，然后根据新定义运算列出二元一次方程组，解方程组即可求解．（1）解：依题意，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值分别为SKIPIF1<0，-1；（3）∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0；-1．【点睛】本题考查了新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键．5．（2022春·河南南阳·七年级统考期中）阅读理解：已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为有理数，且SKIPIF1<0，若关于SKIPIF1<0的一元一次方程SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0，我们就定义该方程为“和解方程”．例如：方程SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题：(1)方程SKIPIF1<0______“和解方程”；（填“是”或“不是”）(2)已知关于SKIPIF1<0的一元一次方程SKIPIF1<0是“和解方程”，求SKIPIF1<0的值；(3)已知关于SKIPIF1<0的一元一次方程SKIPIF1<0是“和解方程”，且它的解是x=b，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值．【答案】(1)不是(2)m=SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根据定义计算判断即可；（2）根据定义列方程求出m即可；（3）根据定义列方程组求解即可．（1）解：方程3x=-6的解为x=-2，∵-2≠-6+3，∴方程3x=-6不是“和解方程”，故答案为：不是；（2）由题意得SKIPIF1<0，解得m=SKIPIF1<0；（3）由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键．6．（2022春·江西新余·七年级统考期末）我们定义：若整式M与N满足SKIPIF1<0（k为整数）则称M与N为关于的平衡整式．例如，若SKIPIF1<0，我们称SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为关于4的平衡整式．(1)若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为关于1的平衡整式，求a的值；(2)若SKIPIF1<0与y为关于2的平衡整式，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为关于5的平衡整式，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)3【分析】（1）根据平衡整式的定义列出方程，解一元一次方程得到答案；（2）根据平衡整式的概念列出二元一次方程组，对方程组变形求解即可．(1)解：由题意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；(2)由题意得：SKIPIF1<0，①＋②得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是解一元一次方程，解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．类型五、二元一次方程组中的换元【解惑】（2023春·全国·七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组SKIPIF1<0的唯一解是SKIPIF1<0，则关于m，n的方程组SKIPIF1<0的解是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先将关于SKIPIF1<0的方程组变形为SKIPIF1<0，再根据关于SKIPIF1<0的方程组的解可得SKIPIF1<0，由此即可得出答案．【详解】解：关于SKIPIF1<0的方程组可变形为SKIPIF1<0，由题意得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：C．【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．【融会贯通】1．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）阅读探索：材料一：解方程组SKIPIF1<0时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，原方程组可化为SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0材料二：解方程组SKIPIF1<0时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②SKIPIF1<0，变形为SKIPIF1<0③，把方程①代入③得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；把SKIPIF1<0代入①得，SKIPIF1<0，所以方程组的解为：SKIPIF1<0根据上述材料，解决下列问题：(1)运用换元法解求关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组：SKIPIF1<0的解；(2)若关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0，求关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0的解．(3)已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）用换元法替换SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，解方程组即可；（2）用换元法替换SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根据已知条件解方程组即可；（3）仿照题意将方程①变形为SKIPIF1<0，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可．【详解】（1）解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴原方程可以化为SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入到①得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴方程组的解为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴原方程组的解为SKIPIF1<0；（2）解：设SKIPIF1<0，则方程化为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（3）解：将方程①SKIPIF1<0，变形为SKIPIF1<0，将方程②代入③得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解．2．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读探索解方程组SKIPIF1<0解：设a-1+x，b2y，原方程组可变为SKIPIF1<0解方程组得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．此种解方程组的方法叫换元法．(1)拓展提高运用上述方法解下列方程组：SKIPIF1<0(2)能力运用已知关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0，直接写出关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0的解为___________．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得出关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程组，即可求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，进而可求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据已知方程组的解确定出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值即可．【详解】（1）解：设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，原方程组可变形为SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，原方程组可变形为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0【点睛】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键．3．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组SKIPIF1<0，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的SKIPIF1<0看成一个整体，把SKIPIF1<0看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．原方程组化为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴原方程组的解为SKIPIF1<0．请你参考小明同学的做法解方程组：(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，原方程组变形为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，还原方程组得SKIPIF1<0，求解即可．(2)令SKIPIF1<0仿照原题的解法求解即可．【详解】（1）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方程组SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴原方程组的解为SKIPIF1<0．（2）令SKIPIF1<0原方程组化为SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0·【点睛】本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．类型六、二元一次方程组中的误解【解惑】（2023春·湖南常德·七年级校考阶段练习）已知方程组SKIPIF1<0，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为SKIPIF1<0，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为SKIPIF1<0，试求出a，b的值．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】由于甲看错了①，但甲的解仍满足②；乙看错了②，但乙的解仍满足①，分别代入即可求出．【详解】解：把SKIPIF1<0，代入②，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0把SKIPIF1<0，代入①，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了含参二元一次方程的错解问题，熟练掌握二元一次方程的解与方程的关系是解题的关键．【融会贯通】1．（2023春·浙江金华·七年级校考阶段练习）在解方程组SKIPIF1<0时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为SKIPIF1<0，乙同学因看漏了c，从而求得解为SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0的值．【答案】64【分析】把方程组的两组解分别代入原方程组，把所得到的等式联立组成三元一次方程组，求出a、b、c的数值，问题得以解决．【详解】由题意得方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解的问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组SKIPIF1<0时，由于粗心，甲看错了方程组中的SKIPIF1<0，得解为SKIPIF1<0，乙看错了方程组中的SKIPIF1<0，得解为SKIPIF1<0．(1)甲把SKIPIF1<0错看成了什么？乙把SKIPIF1<0错看成了什么？(2)求出原方程组的正解．【答案】(1)甲把SKIPIF1<0错看成了1，乙把SKIPIF1<0错看成了1；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）已知甲看错了方程组中的SKIPIF1<0，得解为SKIPIF1<0，所以把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0；乙看错了方程组中的SKIPIF1<0，得解为SKIPIF1<0，所以把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可解答；（2）将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的值代入方程组，求解即可．【详解】（1）∵解方程组SKIPIF1<0时，由于粗心，甲看错了方程组中的SKIPIF1<0，得解为SKIPIF1<0，∴把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，解方程组SKIPIF1<0时，由于粗心，乙看错了方程组中的SKIPIF1<0，得解为SKIPIF1<0，∴把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴甲把SKIPIF1<0错看成了1，乙把SKIPIF1<0错看成了1（2）由题意得：将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0