北师大版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题05 全等三角形证明方法：倍长中线（含解析）

专题05全等三角形证明方法——倍长中线基本模型：（1）条件：如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中线，作法：延长SKIPIF1<0至点E，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.（2）条件：如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中线，作法：过点C作SKIPIF1<0于点E，过点B作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点D，结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.（3）条件：如图，在SKIPIF1<0中，D为SKIPIF1<0的中点，M为SKIPIF1<0边上任意一点，作法：延长SKIPIF1<0至点N，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.

例题精讲：例1．如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0的取值范围为．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：延长SKIPIF1<0到E，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，理解倍长中线法，证明SKIPIF1<0是解题的关键．例2．证明：直角三角形斜边中线的长度等于斜边的一半．如图，D是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】见解析【详解】解：延长SKIPIF1<0到E，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∵D是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，理解倍长中线法，证明SKIPIF1<0是解题的关键．例3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线，求证：SKIPIF1<0．【答案】见解析【详解】证明：延长SKIPIF1<0到F，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外角，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明两个三角形全等．例4．如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线，E、F分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0．【答案】见解析【详解】证明：延长SKIPIF1<0至G，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，两边之和大于第三边，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知正确作出辅助线延长SKIPIF1<0至G，使得SKIPIF1<0是解题关键．例5．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：（1）【方法应用】如图①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0边上的中线SKIPIF1<0长度的取值范围是．（2）【猜想证明】如图②，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点E是SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，试猜想线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知SKIPIF1<0，点E是SKIPIF1<0的中点，点D在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直接写出线段SKIPIF1<0的长．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，理由见解析；（3）3【详解】解：（1）延长SKIPIF1<0到E，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．（2）结论：SKIPIF1<0．理由：如图②中，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点F，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）如图③，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点G，∵E是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例6．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为边，在SKIPIF1<0右侧作等边SKIPIF1<0．如图，E为SKIPIF1<0延长线上一点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，G为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】见解析【详解】证明：连接SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0至点F，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的垂直平分线．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，延长SKIPIF1<0至点F，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，构造全等三角形是利用线段中点解答问题常用的辅助线．专练过关：1．（1）如图1，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线，延长SKIPIF1<0至点E，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．①证明SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得x的取值范围是；（2）如图2，在SKIPIF1<0中，D是SKIPIF1<0边上的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F，连接SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）见解析【详解】（1）①证明：∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，②解：由①知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，根据三角形的三边关系得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；（2）证明：如图2，延长SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵D是SKIPIF1<0边上的中点，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键．2．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点M，点D在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，F是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0并延长，在SKIPIF1<0的延长线上有一点E，连接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度数．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，如图，延长SKIPIF1<0到点G，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉“倍长中线”模型添加辅助线，构造全等三角形．3．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是SKIPIF1<0的中点，点A在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证SKIPIF1<0，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长SKIPIF1<0到点F，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0；②如图2，分别过点B、C作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【答案】见解析【详解】证明：（1）①如图1，延长SKIPIF1<0到点F，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∵点E是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②如图2，分别过点B、C作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为点F，G，∴SKIPIF1<0，∵点E是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如图3，过C点作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点M，则SKIPIF1<0，∵E是SKIPIF1<0中点，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．4．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0边上的中线SKIPIF1<0的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长SKIPIF1<0到E，使SKIPIF1<0，请补充完整证明“SKIPIF1<0”的推理过程．（1）求证：SKIPIF1<0证明：∵延长SKIPIF1<0到点E，使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0（已作）SKIPIF1<0（）SKIPIF1<0（中点定义）∴SKIPIF1<0（）（2）探究得出SKIPIF1<0的取值范围是；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）对顶角相等，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【详解】解：（1）证明：延长SKIPIF1<0到点E，使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（已作）SKIPIF1<0（对顶角相等）SKIPIF1<0（中点定义）∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）故答案为：对顶角相等，SAS；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；（3）延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于F，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0边上的中线SKIPIF1<0的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长SKIPIF1<0到M，使得SKIPIF1<0；②连接SKIPIF1<0，通过三角形全等把SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0转化在SKIPIF1<0中；③利用三角形的三边关系可得SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请直接利用（2）的结论，试判断线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并加以证明．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，理由见解析【详解】解：（1）延长SKIPIF1<0到点M，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，理由是：由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（2）知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．6．如图，在SKIPIF1<0中，F为SKIPIF1<0中点，分别以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为底边向外作等腰三角形SKIPIF1<0和等腰三角形SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，如图，求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等于SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，①在图中补全图形；②试判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）SKIPIF1<0，理由见