安徽省舒城干汊河中学2023-2024学年高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

安徽省舒城干汊河中学2023-2024学年高二数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为()A B.C. D.2．下列说法中正确的是（）A.棱柱的侧面可以是三角形B.棱台的所有侧棱延长后交于一点C.所有几何体的表面都能展开成平面图形D.正棱锥的各条棱长都相等3．在空间直角坐标系中，若，，则（）A. B.C. D.4．已知定义在R上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.5．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知函数的定义域为，其导函数为，若，则下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.7．命题“存在，使得”的否定为（）A.存在， B.对任意，C.对任意， D.对任意，8．若抛物线的焦点为，则其标准方程为（）A. B.C. D.9．设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限内的点，直线交椭圆于点，为原点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为A. B.C. D.10．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A B.C. D.11．在等差数列中，，表示数列的前项和，则（）A.43 B.44C.45 D.4612．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．不大于100的正整数中，被3除余1的所有数的和是___________14．在数列中，，，则数列的前6项和为___________.15．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为_________.16．命题为假命题，则实数的取值范围为_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线，圆.（1）若l与圆C相切，求切点坐标；（2）若l与圆C交于A，B，且，求的面积.18．（12分）已知等差数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式及；（2）设，求数列的前n项和.19．（12分）已知等比数列的前项和为，，．数列的前项和为，且，（1）分别求数列和的通项公式；（2）若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的，，的值；若不存在，说明理由20．（12分）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成列联表.低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计（2）若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率：（3）根据列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：.21．（12分）如图，四边形是正方形，平面，，（1）证明：平面平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值22．（10分）已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.（1）若e＝，求椭圆的方程；（2）设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且<e≤，求k的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可计算.【详解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距离故选：C.2、B【解析】根据棱柱、棱台、球、正棱锥结构特征依次判断选项即可.【详解】棱柱的侧面都是平行四边形，A不正确；棱台是由对应的棱锥截得的，B正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，例如球不能展开成平面图形，C不正确；正棱锥的各条棱长并不是都相等，应该为正棱锥的侧棱长都相等，所以D不正确.故选：B.3、B【解析】直接利用空间向量的坐标运算求解.【详解】解：因为，，所以.故选：B4、B【解析】由可得，利用导数判断函数在上的单调性，由此比较函数值的大小确定正确选项.【详解】∵∴，当时，，∴，故∴在内单调递增，又，∴，所以故选：B5、A【解析】因为“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”成立的充分不必要条件．选A考点：充分必要条件的判断【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题.对于命题“若,则”是真命题,我们说,并且说是的充分条件，是的必要条件，命题“若,则”是假命题,我们说,由充分条件，必要条件的定义，可以判断出“”是“”成立的充分不必要条件．掌握充分条件，必要条件的定义是解题关键6、B【解析】令，求出函数的导数，得到函数的单调性，即可得到，从而求出答案【详解】解：令，则，又不等式恒成立，所以，即，所以在单调递增，故，即，所以，故选：B7、D【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.故选：D.8、D【解析】由题意设出抛物线的标准方程，再利用焦点为建立，解方程即可.【详解】由题意，设抛物线标准方程为，所以，解得，所以抛物线标准方程为.故选：D9、B【解析】如上图，设AC中点为M,连OM，则OM为的中位线，易得∽，且,即可得，选B.点睛：本题主要考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，本题的关键是利用中位线定理和相似三角形定理10、C【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案【详解】由题意，设椭圆的方程为，由椭圆的离心率为，面积为，∴，解得，∴椭圆的方程为，故选：C.11、C【解析】根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由等差数列中，满足，根据等差数列的性质，可得，所以，则.故选：C.12、D【解析】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1717【解析】利用等差数列的前项和公式可求所有数的和.【详解】100以内的正整数中，被3除余1由小到大构成等差数列，其首项为1，公差为3，共有项，它们的和为，故答案为：.14、129【解析】依次写出前6项，即可求得数列的前6项和.【详解】数列中，，则，，，则数列的前6项和为故答案为：12915、【解析】建立直角坐标系，设出P的坐标，求出轨迹方程，然后推出的表达式，转化求解最小值即可.【详解】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则设，由，则，所以两边平方并整理得，所以P点的轨迹是以(3，0)为圆心，为半径的圆，所以，，则有，则的最小值为.故答案为：.16、【解析】依据题意列出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】命题为假命题，则为真命题则判别式，解之得故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）求出直线的定点，再由定点在圆上得出切点坐标；（2）由（1）知，证明为直角三角形，求出，，最后由三角形的面积公式求出的面积.【详解】（1）圆可化为直线可化为，由解得即直线过定点，由于，则点在圆上因为l与圆C相切，所以切点坐标为（2）因为l与圆C交于A，B，所以点如下图所示，与相交于点，由以及圆的对称性可知，点为的中点，且由，则直线的方程为圆心到直线的距离为，即直线与圆相切即，则因为，所以【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是先确定直线过定点，再由定点在圆上，从而确定切点的坐标.18、（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用等差数列前n项和公式求出；（2）求得，利用裂项相消法即可求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，解得，所以，故数列的通项公式，；【小问2详解】由（1）可得，所以，所以.19、（1），；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）利用数列为等比数列，将已知的等式利用首项和公比表示，得到一个方程组，求解即可得到首项和公比，结合等比数列的通项公式即可求出；将已知的等式变形，得到数列为等差数列，利用等差数列通项公式求出，再结合数列的第项与前项和之间的关系进行求解，即可得到；（2）先利用等比数列求和公式求出，从而得到的表达式，然后利用裂项相消求和法求出，假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列，利用等比中项、等差中项以及进行化简变形，得到假设不成立，故可得到答案【详解】（1）因为数列为等比数列，设首项为，公比为，由题意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因为，所以，所以，所以，由，可得，所以数列为等差数列，首项为，公差为1，故，则，当时，，当时，也适合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列，则有，所以，则，即，因为，所以，即，所以，所以，则，所以，则，所以，即，所以，这与已知的，，互不相等矛盾，故不存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20、（1）列联表答案见解析；（2）；（3）没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.【解析】(1)根据给定表中数据列出列联表作答.(2)利用给定条件结合古典概率公式计算作答.(3)利用(1)中信息求出的观测值，再与临界值表比对作答.【小问1详解】列联表如下：低学历高学历合计不了解数字人民币150125275了解数字人民币250275525合计400400800【小问2详解】由(1)知，被调查者中低学历的有400，其中不了解数字人民币的有150，从400人中任取2人有个基本事件，它们等可能，被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的事件A有个基本事件，所以被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率.【小问3详解】由(1)知，的观测值为，所以没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接与交于点O，易得平面，取的中点M，易得为平行四边形，即，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理证明；（2）以A为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，根据与平面所成角为，由，解得，然后分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，由求解.【详解】（1）如图所示：连接与交于点O，因为为正方形，故，又平面，故，由，故平面，取的中点M，连接，注意到为的中位线，故，且，因此，且，故为平行四边形，即，因此平面，而平面，故平面平面（2）以A坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，由（1）可知平面，因此平面的一个法向量为，而，由与平面所成角为，得，即，解得；则，设平面的一个法向量为，则得令，则，故设平面的一个法向量，则得令，则，，故所以，注意到二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为22、（1）；（2）【解析】(1)根据右焦点为F2(3，0)，以及，求得a，b，c即可.(2)联立，根据M，N分别为线段AF2，BF2中点，且坐标原点O在以MN为直径的圆上，易得OM⊥ON，则四边形OMF2N为矩形，从而AF2⊥BF2，然后由0，结合韦达定理求解.【详解】(1)由题意得c＝3，，所以.又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭